Télécharge Exercitations de mathématique 12 et plus Exercices au format PDF de Mathématiques Appliquées sur Docsity uniquement!
Terminale S septembre 2009
Antilles Guyane
1. Exercice 1 (4 points)
VRAI OU FAUX
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
PARTIE A
Soit ( un ) la suite définie pour tout n *par 1
n un .
- La suite ( un ) est bornée.
- La suite ( un ) converge.
- La suite de terme général
un
n
converge.
- Toute suite ( vn ) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.
PARTIE B
- Si A et B sont deux évènements indépendants avec p B 0 et p B 1 , alors p A B pB A .
- Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alors p (^) X 0,1 ; 0,6 0,6.
- Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et
, alors
100 2 1 1 3
p X
2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes)
L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O ; i , j k , ).
On considère les points A (1 ; −1 ; 4), B (7 ; −1 ; −2) et C (1 ; 5 ; −2).
- a. Calculer les coordonnées des vecteurs AB , AC et BC.
b. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
c. Montrer que le vecteur n (1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan ( ABC ).
d. En déduire que x + y + z − 4 = 0 est une équation cartésienne du plan ( ABC ).
- Soit (D) la droite de représentation paramétrique
x t
y t t
z t
^
^ ^
^
a. Montrer que la droite (D) est perpendiculaire au plan ( ABC ).
b. Montrer que les coordonnées du point G , intersection de la droite (D) et du plan ( ABC ) sont (3 ; 1 ; 0).
c. Montrer que G est l’isobarycentre des points A , B et C.
- Soit (S) la sphère de centre G passant par A.
a. Donner une équation cartésienne de la sphère (S).
b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection E et F , de la droite (D) et de la sphère (S).
3. Exercice 2 (5 points, spécialistes)
L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O ; i , j k , ).
On considère la surface S 1 d’équation z = x^2 + y^2 , et la surface S 2 d’équation z = xy + 2 x.
PARTIE A
On note P le plan d’équation x = 2, E 1 l’intersection de la surface S 1 et du plan P et E 2 l’intersection de la
surface S 2 et du plan P.
- a. Déterminer la nature de l’ensemble E 1.
b. Déterminer la nature de l’ensemble E 2.
- a. Représenter les ensembles E 1 et E 2 dans un repère (^) A ; , j k du plan P où A est le point de
coordonnées (2 ; 0 ; 0).
b. Dans le repère (^) ( O ; i , j k , )donner les coordonnées des points d’intersection B et C des ensembles E 1
et E 2.
PARTIE B
On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante : « soient a , b et c des entiers avec a
premier. Si a divise bc alors a divise b ou a divise c. »
L’objectif de cette partie est de déterminer les points d’intersection M ( x ; y ; z ) des surfaces S 1 et S 2 où y
et z sont des entiers relatifs et x un nombre premier. On considère un tel point M ( x ; y ; z ).
- a. Montrer que y ( y − x ) = x ( z − x ).
b. En déduire que le nombre premier x divise y.
- On pose y = kx avec k .
a. Montrer que x divise 2, puis que x = 2.
b. En déduire les valeurs possibles de k.
- Déterminer les coordonnées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A,
question 2. b.
4. Exercice 3 (5 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u v , )d’unité graphique 1 cm.
Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions.
- Placer les points A , B et C d’affixes respectives z (^) A 11 4 i , zB 3 4 i et zC 5 4 i.
- Calculer le module et un argument du quotient A B
C B
z z
z z
et en déduire la nature du triangle ABC.
- Soit E l’image du point C par la rotation R de centre B et d’angle 4
. Montrer que l’affixe de E vérifie
z (^) E 3 (^) 8 2 (^4) i. Placer le point E.
- Soit D l’image du point E par l’homothétie h de centre B et de rapport
. Montrer que D est le
centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Placer le point D.
- Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative, même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Soit ( ) la droite parallèle à la droite ( EC ) passant par le point D. On note F le point d’intersection de la
droite ( ) et de la droite ( BC ), I le milieu du segment [ EC ] et J le milieu du segment [ DF ].
Montrer que B , I et J sont alignés.
Correction
2. a. Calculer f ' x pour tout nombre réel x 0 ;1.
b. Vérifier que la droite T est tangente à la courbe C au point d’abscisse 1.
3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel x 0 ;1par g x 1 x ln x x.
a. Étudier les variations de g sur l’intervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de variation de g. On ne
cherchera pas la limite de g en 0.
b. En déduire les positions relatives de la courbe C et de la droite T.
4. Soit un nombre réel tel que 0 1. On pose
1 I 1 f x dx
^
a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que
2 2 1 ln 2 4 4
I
b. Déterminer
0
lim I
c. Interpréter graphiquement le résultat précédent.
d. À l’aide des résultats précédents, déterminer, en unités d’aire, l’aire du domaine compris entre la
courbe C, la droite T et l’axe des ordonnées.
Correction
f x 1 x ln x.
1. a. Quand x tend vers 0, x ln x tend également vers 0 et
0
lim 1 x
f x
b. Sur ]0 ; 1] x ln x est négatif car ln x l’est ; on a donc 1 x ln x 1.
2. a.
f ' x ln x x ln x 1 x
b. Tangente en 1 : y f ' 1 x 1 f 1 1 x 1 1 x.
3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel x 0 ;1par g x 1 x ln x x.
a.
g ' x 0 ln x x 1 ln x x
. Donc g est décroissante sur ]0 ; 1] et comme g 1 1 0 1 0 ,
g x 0.
b. Le signe de f x x g x est positif donc C est au-dessus de T.
4. a.
1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ln ln ln 2 2 2 4 4
I x xdx x x x dx x
b.
2 2 0 0
lim lim ln 0 0 2 4 4 4 4
I
c. Aire comprise entre la courbe C, la droite y = 1, la droite x = 1 et l’axe vertical.
d. L’aire en question est l’aire du triangle − l’aire précédente, soit 1/2−1/4=1/4.
