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Terminale S septembre 2009
Polynésie
1. Exercice 1
4 points On considère le cube OABCDEFG d’arête de longueur 1 représenté ci-contre. Il n’est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie.
Soient !es points P et Q tels que OP 2 DA et OQ 4 OC.
On appelle R le barycentre des points pondérés ( B , −1) et ( F , 2).
L’espace est muni du repère orthonormal (^) O ; OA OC OD , , .
- a. Démontrer que le point R a pour coordonnées (1 ; 1 ; 2). b. Démontrer que les points P , Q et R ne sont pas alignés. c. Quelle est la nature du triangle PQR?
- a. Démontrer qu’une équation du plan ( PQR ) est 4 x + 2 y + z − 8 = 0. b. Vérifier que le point D n’appartient pas au plan ( PQR ).
- On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan ( PQR ). a. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite ( DH ). b. Déterminer les coordonnées du point H. c. Démontrer que le point H appartient à la droite ( PR ). 2. Exercice 2
4 points Pour chaque question, deux propositions sont énoncées. Il s’agit de dire, sans le justifier, si chacune d’elles est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE. Pour chaque question, il est compté 1 point si les deux réponses sont exactes, 0, point pour une réponse exacte et une absence de réponse et 0 point sinon. Question A Proposition 1 Proposition 2 Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les évènements : A : « les deux boules tirées sont de la même couleur » ; B : « une seule des deux boules tirées est rouge ».
La probabilité de A est égale à^3 7
La probabilité de B est égale à^1 7
Question B Proposition 3 Proposition 4 Soient A , B et C trois évènements d’un même univers muni d’une probabilité P. On sait que : A et B sont indépendants ;
P A ^ ;
(^) P A B ;
P C ; 1 10
P A C .
P B 2 5
P A C ,
A C désigne l’événement contraire de A C. Question C Proposition 5 Proposition 6 Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p où n est égal à 4 et p appartient à ]0 ; 1[.
Si P (^) X (^1) 8 P (^) X (^0) , alors 2 3 p ^.
Si^1 5
p alors
P (^) X (^1)
P (^) X (^0) .
Question D Proposition 7 Proposition 8 La durée de vie, exprimée en années, d’un appareil est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,07sur (^) 0 ; .
La probabilité que l’appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à 0,5 à 10−^2 près.
Sachant que l’appareil a fonctionné 10 ans, la probabilité qu’il fonctionne encore 10 ans est égale à 0,5 à 10−^2 près.
3. Exercice 3 (corrigé)
5 points Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u v , ), unité graphique 2 cm.
On appelle ( ) le cercle de centre O et de rayon 1. On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice. On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différent de O , d’affixe z ,
associe le point M ' F (^) M d’affixe z ’ définie par : z ' z i^1 z
- On considère les points A et B d’affixes respectives a = i et^6
i b e
et leurs images A ’ et B ’ par F d’affixes respectives a ’ et b ’. a. Calculer a ’ et b ’. b. Placer les points A , A ’, B et B ’.
c. Démontrer que
b i b b
d. En déduire la nature du triangle OBB ’.
- On recherche l’ensemble (E) des points du plan P privé du point O qui ont pour image par F , le point O.
a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z ,^2
z iz z i z i
b. En déduire les affixes des points de l’ensemble (E). c. Démontrer que les points de (E) appartiennent à ( ).
- Soit un réel.
a. Démontrer que si z ei^ alors z ' (^) 2sin (^1) i.
b. En déduire que si M appartient au cercle ( ) alors M ’ appartient au segment [ A ’ C ] où C a pour affixe − i. Correction
- a. 2
i a a i i i i i i a i (^) i
^
2 sin 2 2 6 2
i i b b i e i e i i i i i b
car
^
sin e^ e 2
i i i
pour tout réel .
^ ^ ^ ^
z i z i , soit
7 (^3 1) e 6 ou 3 1 e 6 2 2 2 2
i i (^) z i z i.
Par conséquent, les affixes des points de l’ensemble (^) E sont
e^ i^6 et
7 e^ i^6.
c. On sait que
7 e^ i^^6 1 et e i^61 , c’est-à-dire les points de (^) E appartiennent à (^) .
- a. Supposons que z e i . Alors^ e (^1) e ^ e 2 sin e
i i i z i (^) i i i i. Par conséquent, si z ei
alors z (^) 2sin (^1) i.
b. Si M appartient au cercle (^) alors OM 1. D’où M a pour affixe z e i où est un réel. D’après la
question précédente, (^) z (^) 2sin (^1) i. Or pour tout réel , 1 sin 1 , d’où 1 2sin 1 3.
Donc M se trouve sur l’axe des imaginaires purs et sa partie imaginaire est un réel de l’intervalle 1 ; 3^ , si^ M^ appartient au cercle^ alors^ M ’^ appartient au segment^ A C où^ C^ a pour affixe^ i.
4. Exercice 4
7 points
Pour tout entier naturel n , on considère la fonction fn définie sur (^) 0 ; par : fn (^) x (^) nx x ln x.
On note (C n ) la courbe représentative de la fonction fn , dans un repère orthonormal ( O ; i , j ).
Les courbes (C 0 ), (C 1 ) et (C 2 ) représentatives des fonctions f 0 , f 1 et f 2 sont données ci-dessous.
On rappelle que 0 lim ln 0 x x x
Partie A : Étude de la fonction f 0 définie sur (^) 0 ; par f 0 (^) x (^) x ln x.
- Déterminer la limite de f 0 en +∞.
- Étudier les variations de la fonction f 0 sur (^) 0 ; .
Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction fn , n entier naturel.
- Démontrer que pour x 0 ; , f ' (^) n x n 1 ln x où f ' n désigne la fonction dérivée de fn.
- a. Démontrer que la courbe (C n ) admet en un unique point An d’abscisse e n^1 une tangente parallèle à l’axe des abscisses. b. Prouver que le point An appartient à la droite d’équation y = x. c. Placer sur la figure les points A 0 , A 1 , A 2.
- a. Démontrer que la courbe (C n ) coupe l’axe des abscisses en un unique point, noté Bn , dont l’abscisse est e n. b. Démontrer que la tangente à (C n ) au point Bn a un coefficient directeur indépendant de l’entier n. c. Placer sur la figure les points B 0 , B 1 , B 2. Partie C : Calculs d’aires. Pour tout entier naturel n , on considère le domaine du plan D n délimité par l’axe des abscisses, la courbe (C n ) et les droites d’équation x e n^1 et x e n. On note In l’aire en unités d’aires du domaine D n.
- Hachurer sur la figure les domaines D 0 , D 1 , D 2.
- a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer
1 1 ln e
x xdx.
b. En déduire que (^0 )
I
e
c. On admet que le domaine D n +1 est l’image du domaine D n par l’homothétie de centre O et de rapport 1 e
. Exprimer I 1 et I 2 en fonction de I 0.
