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Terminale S septembre 2009
France & La Réunion
1. Exercice 1
6 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; par f x ln x^2 4 .
Partie A
1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; .
2. Soit g la fonction définie sur l’intervalle 0 ; par g x f x x.
a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle 0 ; .
b. Montrer que sur l’intervalle [2 ; 3] l’équation g x 0 admet une unique solution que l’on notera .
Donner la valeur arrondie de à 10−^1 près.
c. Justifier que le nombre réel est l’unique solution de l’équation f x x.
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On considère la suite ( un ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n par : un 1 f un .
La courbe C représentative de la fonction f et la droite d’équation y = x sont tracées sur le graphique donné ci-dessous.
- À partir de u 0 , en utilisant la courbe C et la droite , on a placé u 1 sur l’axe des abscisses.
De la même manière, placer les termes u 2 et u 3 sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.
2. Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse .
- a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n , on a 1 un .
b. Démontrer que la suite ( un ) converge.
c. Déterminer sa limite.
2. Exercice 2
5 points
L’espace est muni d’un repère ( O ; i , j k , )orthonormal.
- On désigne par P le plan d’équation x y 1 0 et par P’ le plan d’équation y z 2 0.
Justifier que les plans P et P’ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite D, dont une
représentation paramétrique est :
x t y t z t
^ ^
, où t désigne un nombre réel.
- a. Déterminer une équation du plan R passant par le point O et orthogonal à la droite D.
b. Démontrer que le point I , intersection du plan R et de la droite D, a pour coordonnées (0 ; 1 ; 1).
- Soient A et B les points de coordonnées respectives
et (1 ; 1 ; 0).
a. Vérifier que les points A et B appartiennent au plan R.
b. On appelle A ’ et B ’ les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I.
Justifier que le quadrilatère ABA ’ B ’ est un losange.
c. Vérifier que le point S de coordonnées (2 ; −1 ; 3) appartient à la droite D.
d. Calculer le volume de la pyramide SABA ’ B ’.
On rappelle que le volume V d’une pyramide de base d’aire b et de hauteur h est :
(^) V b h.
3. Exercice 3
4 points
Partie A
Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par f (^) x (^) ex.
On appelle C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( O ; i , j ).
- Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe C f au point M d’abscisse a coupe l’axe
des abscisses au point P d’ abscisse a − 1.
- Soit N le projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses. Démontrer que NP i.
Partie B
Soit g une fonction dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle que g ' (^) x (^) 0 pour tout nombre
réel x.
On appelle C g la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal ( O ; i , j ).
Soit a un nombre réel. On considère le point M de la courbe C g d’abscisse a et le point N projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses.
Soit P le point d’intersection de la tangente Ta à la courbe C g au point M avec l’axe des abscisses.
Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.
- On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le
nombre An 2 n p. On note dn le PGCD de An et An +1.
a. Montrer que dn divise 2 n.
b. Déterminer la parité de An en fonction de celle de p. Justifier.
c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer la parité de dn en fonction de celle de p.
En déduire le PGCD de 2^2009 + 2009 et 2^2010 + 2009.
