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[ Baccalauréat C Paris septembre 1972 \
EXERCICE 1
Calculer les intégrales
U =
∫ π 4 0
sin^4 x d x et V =
∫ π 4 0
sin^4 x cos x d x.
EXERCICE 2
Soit (E) un espace vectoriel sur R, de dimension 2, et une base
ı ,
de (E), et soit
a un nombre réel, fixé. Montrer que, parmi toutes les applications linéaires f de (E) dans lui-même pour
lesquelles f
ı
= a
ı −
, il en existe une, et une seule, telle que ( f ◦ f )
ı
= f
ı
on montrera à cet effet qu’on peut déterminer f
Vérifier que, pour cette application, ( f ◦ f )
= f
; comparer f ◦ f et f ; vérifier
alors que, pour tout vecteur
u de (E), le vecteur
n =
u − f
u
appartient au noyau
de f.
PROBLÈME
N. B. - Les paragraphes a, b et c de la deuxième question peuvent être traités indé- pendamment du reste du problème.
On désigne par (P) le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé d’axes O x , O y (unité de longueur : 3 cm).
1. a. Soit f la fonction de la variable réelle x définie par :
f ( x ) = ( x − 1)
p 2 x. Quel est son domaine de définition? Est-elle dérivable en tout point de ce domaine? Étudier la variation de cette fonction f et tracer dans (P) la portion ( C 1 ) de sa courbe représentative correspondant aux valeurs de x telles que
0 6 x 6 2.
b. Soit ( C ) l’ensemble des points M de (P) dont les coordonnées x et y sa- tisfont à l’équation
y^2 − 2 x ( x − 1)^2 = 0 à la condition 0 6 x 6 2.
Montrer que ( C ) est l’union de ( C 1 ) et d’une courbe ( C 2 ), que l’on dessi- nera, déduite de ( C 1 ) par une transformation simple de (P). Préciser les coordonnées des points communs à ( C ) et à la droite (∆) d’équation y = x. c. Soit (Γ) l’ensemble des points M de (P) dont les coordonnées x et y sa- tisfont à l’équation ( y^2 + 4 x^2
− 4 x^2
x^2 + 1
= 0 et à la condition − 2 6 x 6 2.
Montrer que (Γ) est l’union de ( C ) et d’une courbe ( C ′), transformée de ( C ) dans une symétrie, que l’on précisera. Dessiner (Γ) sur une figure distincte de la figure utilisée aux paragraphes a et b.
Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.
d. On considère enfin l’ensemble
des points M de (P) dont les coor-
données x et y satisfont à l’équation et à la condition − 2 6 x 6 2.
Montrer que (Γ′) se déduit de (Γ) par une symétrie, que l’on précisera (on ne dessinera pas (Γ), dans cette question).
2. a. À tout nombre complexe non nul, α , on associe l’application fα , de C dans C, définie par
fα ( z ) = αz
et l’application gα de C dans C définie par gα ( z ) = αz , où z est le conju- gué de z. On désigne par E l’ensemble de toutes les applications fα et gα ainsi définies. Soit λ et μ deux nombres complexes non nuls, distincts ou non. Déterminer les images de z par les applications composées
fμ ◦ fλ , gμ ◦ gλ , gμ ◦ fλ et fμ ◦ gλ
et vérifier que ces applications composées appartiennent à E. Montrer que l’ensemble E constitue un groupe pour la composition des applications (on précisera l’application réciproque de fλ et celle de gλ. b. Montrer que l’ensemble K = {1, −1, i, −i} est un groupe pour la multipli- cation. En déduire que l’ensemble (E) des huit applications f 1 , f − 1 , f i, f −i, g 1 , g − 1 , g i, g −i est un groupe pour la composition des applications (sous-groupe de E ) ; on ne demande pas d’écrire la table de ce groupe. c. À chaque application fα correspond une transformation Tα du plan (P) qui à M d’affixe z associe le point Tα ( M ) d’affixe fα ( z ). De même à chaque application gα correspond une transformation Sα du plan (P) qui à M d’affixe z associe le point Sα ( M ) d’affixe gα ( z ). Quelle est la nature géométrique des transformations Tα et Sα? Préciser la nature géométrique des huit transformations T 1 , T − 1 , T i, T −i, S 1 , S − 1 , S i, S −i qui correspondent aux huit applications de (E). Déduire du 2. b. que ces huit transformations forment un groupe ( G ) pour la composition des transformations. d. Vérifier que l’ensemble (Γ)∪(Γ′) de la première question est invariant par l’une quelconque des transformations du groupe ( G ). En remarquant que Ti = Si ◦ S 1 , montrer que Ti transforme (Γ) en (Γ′). Dessiner alors (Γ′) sur le même graphique que (Γ) (le candidat pourra utiliser à cet effet l’une ou l’autre des transformations Si et Ti à son choix).
Paris 2 septembre 1972
