Télécharge Calcul avancé - exercice 18 et plus Exercices au format PDF de Calcul avancé sur Docsity uniquement!
[ Baccalauréat C Orléans–Tours juin 1973 \
EXERCICE 1
Soit Z/4Z l’ensemble des classes d’entiers modulo 4 :
Z/4Z = {˙0, ˙1, ˙2, ˙3}
1. Rappeler la structure de Z/4Z 2. Résoudre dans cet ensemble le système { (^) ˙ 3 x + y = ˙ 3 x + y = ˙ 1
EXERCICE 2
Soit f la fonction numérique définie sur R par : { f (0) = 0 f ( x ) = e−^
1 x^2 si x 6 = 0
1. Montrer que f est continue sur R. 2. Montrer que f est dérivable en tout point x non nul. Calculer f ′( x ). 3. À l’aide de la définition, montrer que f est dérivable au point x = 0. 4. Étudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
N.B. : Pour la construction de la courbe, on utilisera le tableau des valeurs appro- chées suivantes :
x^1449 1 32
e− x^ 0,78 0,60 0,37 0,22 0,
PROBLÈME
Soit F l’ensemble des fonctions numériques f définies pour tout x réel par :
f ( x ) = a cos2 x + b sin 2 x + c où a , b , et c décrivent R.
Partie A
1. a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions numériques définies sur R. b. Soient f 1 , f 2 , f 3 les trois éléments de F définis par :
f 1 ( x ) = cos2 x ; f 2 ( x ) = sin 2 x ; f 3 ( x ) = 1.
Montrer que
f 1 , f 2 , f 3
constitue une base de F , notée B.
2. a. Montrer que tout élément f de F est intégrable sur [0 ; π ].
Calculer
∫ π
0
fi ( x ) f (^) j ( x ) d x pour i ∈ {1;2;3} et j ∈ {1;2;3}.
Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.
b. Soient( f et g deux éléments de F de composantes respectives ( a , b , c ) et a ′, b ′, c ′
dans la base B. On considère l’application I de F × F dans R définie par :
I ( f ; g ) =
π
∫ π
0
f ( x ) g ( x ) d x.
Exprimer I ( f ; g ) puis I ( f ; f ) en fonction des composantes de f et de g dans la base B. c. Déduire des résultats précédents que l’application I définit sur F un produit scalaire (c’est-à-dire une forme bilinéaire symétrique positive). Montrer que B est une base orthogonale de F. Est-elle orthonormée?
Partie B
1. Montrer par récurrence que, quel que soit n élément de N, tout élément f de F possède une dérivée d’ordre n , notée f ( n ), qui appartient aussi à F ; (par convention f (0)^ = f ). Montrer que l’application qui à tout élément f de F associe f ( n )^ est un endomorphisme de F. Est-ce un automorphisme de F? 2. F muni du produit scalaire I est un espace vectoriel euclidien. Soit F ′^ le plan vectoriel engendré par f 1 et f 2 qui en constituent une base orthonormée B′. On considère l’endomorphisme ϕ de F défini par :
ϕ ( f ) = f (2)^ = f ′′
Montrer que ϕ est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une projec- tion vectorielle orthogonale sur F ′.
Partie C
Soit ϕn l’endomorphisme de F ′^ défini par ϕn ( f ) =
2 n^
f ( n ).
On pose Φ =
ϕ 0 , ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3
1. Montrer que ϕn est un automorphisme de F ′^ pour n = 0, 1, 2 ou 3. 2. Écrire les matrices respectives de ϕ 0 , ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 dans la base B′. Reconnaître ces automorphismes. 3. Montrer que Φ muni de la composition des applications est un sous-groupe du groupe des automorphismes de F ′^ isomorphe à Z/4Z muni de l’addition.
Orléans–Tours 2 juin 1973
