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[ Baccalauréat C Lille juin 1973 \
EXERCICE 1
U et
W désignant deux vecteurs quelconques de l’espace vectoriel euclidien E 3 de dimension 3, on demande de vérifier la relation (−→ U ∧
W
W =
U ·
W
W −
∥∥− W →
∥∥^2 U −→ (1)
On pourra pour cela supposer qu’une base orthonormée directe
ı ,
k
de E 3 est choisie de façon que, dans cette base,
U ait pour coordonnées ( a ; 0 ; 0) et
W ( b ; c ; 0).
2. On suppose que
V et
W sont deux vecteurs données et orthogonaux de E 3. a. Démontrer en utilisant la relation (1) qu’il existe un seul vecteur
U 0 or- thogonal à
W tel que
U 0 ∧
W =
V.
b. En déduire que l’ensemble des vecteurs
U tels que :
U ∧
W =
V , est défini par
U =
U 0 + λ
W , λ décrivant R.
EXERCICE 2
Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel a , l’existence de solutions pour le système :
{ e x^ × e^2 y^ = a 2 x y = 1 ( x ; y ) ∈ R^2
Résoudre complètement dans le cas a =
p e^5.
PROBLÈME
Le plan affine euclidien P est rapporté au repère cartésien orthonormé B
O,
ı ,
On note α et β deux paramètres réels, et f toute application affine de P dans P qui à tout M ( x ; y ) donne pour image le point M ′^
x ′^ ; y ′
déterminé par : { x ′^ = αx + βy y ′^ = − 2 βx + ( α + 2 β ) y
La matrice de l’application linéaire associée à f est donc :
A =
α β − 2 β α + 2 β
On appelle A l’ensemble des matrices A , lorsque α et β décrivent R.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
Étude de l’application f 1 correspondant à α = −1 et β = +1.
1. Écrire les équations de f 1 , et sa matrice A 1. Démontrer que f 1 est bijective et que 0 est le seul point invariant. Écrire les équations définissant dans B l’ap- plication réciproque. Quelle est l’image par f 1 , des droites ayant pour équa- tions x − y = 0 et x = 0?
Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.
2. Reconnaître l’application f 1 = f 1 ◦ f 1 , et écrire sa matrice. Que peut-on dire des applications f (^) 13 = f 1 ◦ f 1 ◦ f 1 et f (^) 14 = f 1 ◦ f 1 ◦ f 1 ◦ f 1? Le point M ayant respectivement pour images M 1 , M 2 , M 3 et M 4 dans f 1 , f (^) 12 , f (^) 13 et f (^) 14 , quelle particularité présente l’ensemble de ces points? (on ne cherchera pas la relation géométrique entre M et M 1 ). 3. a , b , c étant trois réels donnés quelconques, on appelle E l’ensemble des points de P défini dans le repère B par l’équation
ax^2 + 2 bx y + c y^2 = 1
a. Écrire l’équation de l’ensemble f 1 (E), image de E par l’application f 1. b. Montrer que, si a , b , c peuvent être choisis tels que l’image f 1 (E) ait pour équation
λ
ax^2 + 2 bx y + c y^2
λ est nécessairement égal à l’une ou l’autre de deux valeurs que l’on dé- terminera. c. À λ = 1 correspond une famille de courbes E dont l’équation dépend d’un seul paramètre. On appelle E′^ celle de ces courbes pour laquelle a est égal à 2. Montrer qu’elle est la réunion de deux courbes E′ 1 et E′ 2 admettant respectivement pour équations relativement à B : { y = g 1 ( x ) = x +
p 1 − x^2 pour E′ 1 y = g 2 ( x ) = x −
p 1 − x^2 pour E′ 2
Étudier les variations des fonctions g 1 , et g 2 et construire E′. Quelle est l’image f 1
E′
Si M est un point quelconque de E′, que peut-on dire de ses images suc- cessives M 1 , M 2 , M 3 , M 4? d. À λ = −1 correspond une famille de courbes E dont l’équation dépend de deux paramètres. On appelle E′′^ celle de ces courbes qui est associée aux valeurs b = 1 et c = 0. Montrer que E′′^ admet pour équation relativement à B, y = x +
2 x
: construire E′′^ et son image f 1
E′′
Si M est un point quelconque de E′′, que peut-on dire de ses images M 1 , M 2 , M 3 et M 4?
Partie B
1. A et A ′^ désignant deux matrices quelconques de A , et correspondant aux couples ( α ; β ) et
α ′^ ; β ′
, démontrer que : la matrice somme A + A ′^ et la matrice produit A × A ′^ sont des éléments de A.
2. On appelle ϕ l’application de A dans le corps C des complexes définie par
ϕ ( A ) = ( α + β ) + i β. a. Démontrer que ϕ est un isomorphisme de l’ensemble A muni des lois + et × sur le corps C. b. En utilisant l’isomorphisme précédent, déterminer les matrices A solu- tions de A^4 = I, I désignant la matrice de A correspondant à α = 1 et β = 0.
Lille 2 juin 1973
