Appunti di Matematica discreta, Sintesi del corso di Matematica Discreta

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Rosario Terranova

v 1. 2. 3

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Appunti di

Matematica Discreta

Sommario

Concetti algebrici di base

Insiemi

Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di classe, totalità. La nomenclatura nella Teoria degli insiemi è: 𝑎 ∈ 𝐴  a è un elemento dell’insieme A 𝐴 ⊆ 𝐵  A è un sottoinsieme di B, ogni elemento di A è un elemento di B ∅  insieme vuoto 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴  due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi 𝐴 ⊂ 𝐵  A è un sottoinsieme stretto di B se 𝐴 ≠ 𝐵

Insieme delle parti P(A): L’insieme i cui elementi sono tutti sottoinsiemi di A ( 2 𝑛^ insiemi totali)

Es. 𝐴 = {1,2,3}. Allora 𝑃(𝐴) = {{∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,2,3}}.

Operazioni sugli insiemi Unione: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵} insieme degli elementi che stanno in A oppure in B

Intersezione: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵} insieme degli elementi comuni ad A e B

Differenza: 𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∉ 𝐵} insieme degli elementi di A che non sono elementi di B

Complemento: Il complemento di A rispetto a B è formato dai soli elementi di B che non sono di A, e si indica con 𝐴𝐶.

Due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è l’insieme vuoto.

Prodotto cartesiano: 𝐴 × 𝐵 Il prodotto cartesiano è l’insieme i cui elementi sono coppie ordinate (𝑎, 𝑏) Es. 𝐴 = {0,1} 𝐴 × 𝐴 = {00,01,10,11}

Proprietà degli insiemi 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (proprietà commutativa) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴, 𝐴 ∩ ∅ = ∅ 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶, 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 (proprietà associativa) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)^ (proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) (proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione) 𝐶(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶𝐴 ∪ 𝐶𝐵, 𝐶(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐶𝐴 ∩ 𝐶𝐵 (formule di De Morgan)

Funzioni

Si dice funzione (o applicazione) di A in B, e si denota con 𝑓: 𝐴 → 𝐵, una corrispondenza che associa ad ogni elemento 𝑥 ∈ 𝐴 uno ed uno solo elemento 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵. f è la legge che ad ogni elemento 𝑎 ∈ 𝐴 associa uno ed uno solo elemento 𝑏 ∈ 𝐵. Tale unico elemento è indicato con 𝑓(𝑎). L’insieme A è detto dominio della funzione; L’insieme B è detto codominio della funzione Un’applicazione si dice:

Iniettiva: ∀𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐴, 𝑥 1 ≠ 𝑥 2 ⇒ 𝑓(𝑥 1 ) ≠ 𝑓(𝑥 2 ) ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B

Suriettiva: ∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃𝑥 ∈ 𝐴:𝑦 = 𝑓(𝑥) ogni elemento di B è il corrispondente di almeno qualche elemento di A Biiettiva: se è iniettiva e suriettiva allo stesso tempo; un’applicazione biiettiva è detta pure biunivoca.

Tipi di funzioni Applicazione identica: La funzione identità su un insieme A è la funzione che associa ad ogni elemento l’elemento stesso. L’applicazione 𝑖𝐴: 𝐴 → 𝐴, definita dalla legge 𝑖(𝑎) = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐴, dicasi applicazione identica o unità, essa è biiettiva ed ha A come dominio e codominio.

Immagine di f: 𝐼𝑚𝑓 è l’immagine di f costituita dal sottoinsieme di tutti gli elementi di B che hanno qualche corrispondenza in A 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ 𝐵|∃𝑥 ∈ 𝐴: 𝑦 = 𝑓(𝑥)}

Funzione composta: Siano 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , 𝑔: 𝐵 → 𝐶 funzioni. Il prodotto di f e g è la funzione di A in C ottenuta

applicando successivamente prima f e poi g. (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) ∀𝑥 ∈ 𝐴

Proprietà delle funzioni composte

𝑓 𝑔 𝑔 ∘ 𝑓 𝑔 ∘ 𝑓 𝑓 𝑔 i = iniettiva i i i s s s = suriettiva s s s i i b = biiettia b b b b i s

Funzione inversa: Se l’applicazione 𝑓: 𝐴 → 𝐵 è biiettiva allora si può definire l’ inversa 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 come segue: ∀𝑦 ∈ 𝐵, 𝑓−1(𝑦) è l’unico elemento 𝑥 ∈ 𝐴 tale che 𝑓(𝑥) = 𝑦 Chiaramente avremo:  𝑓 ∘ 𝑓−1^ = 𝑖𝐵  𝑓−1^ ∘ 𝑓 = 𝑖𝐴  (𝑓−1)−1^ = 𝑓

Funzione caratteristica: Dato 𝐼 ⊆ 𝐴, possiamo definire un’applicazione 𝑓𝐼: 𝐴 → {0,1} che caratterizza gli elementi di 𝐼, detta funzione caratteristica di 𝐼, nel seguente modo: 𝑓𝐼(𝑥) = {

Chiaramente 𝑓𝐴: 𝐴 → {0,1}^ è definita da 𝑓𝐴(𝑥) = 1 ∀𝑥 ∈ 𝐴, mentre 𝑓∅: 𝐴 → {0,1}^ è definita da 𝑓∅(𝑥) = 0.

Relazioni di equivalenza

Dicasi relazione binaria definita su un insieme non vuoto A, un elenco di coppie ordinate di elementi appartenenti ad A, e quindi un sotto insieme 𝑅 del prodotto cartesiano di A con se stesso; cioè 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐴 = {(𝑎, 𝑏), 𝑎 ∈ 𝐴 𝑒 𝑏 ∈ 𝐴}

Due elementi a e b sono messi in relazione da R se (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, ed in tale caso scriviamo 𝑎𝑅𝑏 e diciamo che a sta nella relazione R con b.

Una relazione binaria gode delle seguenti proprietà:  RIFLESSIVA: se aRa per ogni 𝑎 ∈ 𝐴  SIMMETRICA: se aRb segue bRa per 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴  ANTISIMMETRICA: se da aRb e bRa segue 𝑎 = 𝑏 per 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴  TRANSITIVA: se da aRb e bRc segue aRc per 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴

Equivalenza: Una relazione binaria definita sull'insieme non vuoto A si chiama relazione di equivalenza su A se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Invece di aEb scriveremo 𝑎 ≡ 𝑏 (𝐸) “a equivalente a b in E” oppure semplicemente 𝑎 ≡ 𝑏.

Partizione: Sia A un insieme non vuoto. Dicasi partizione di A una famiglia di sottoinsiemi non vuoti di A tale che ogni elemento di A sta in uno ed uno solo dei sottoinsiemi della famiglia (classi della partizione). Una partizione di A definisce una relazione di equivalenza su A e viceversa.

Insieme quoziente: Sia E una relazione di equivalenza definita su A. Dicasi insieme quoziente di A rispetto ad E l’insieme, denotato con 𝐴/𝐸 che ha come elementi le classi della partizione di A associata ad E. 𝐴/𝐸 = {𝐶(𝑎)|𝑎 ∈ 𝐴}d

L’operazione f viene indicata, a seconda del caso, con i simboli {+, −,∗,/, … }. Per esempio si scrive 𝑎 ∗ 𝑏 invece di 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑐, ecc.

Es. la somma e il prodotto in N sono operazioni algebriche binarie, mentre la sottrazione e la divisione non lo sono poiché possono dare come risultato numeri non appartenenti all’insieme N.

Operazione binaria: un’operazione binaria è una funzione che richiede due argomenti dello stesso insieme X e restituisce un elemento di X.

Struttura algebrica: Dicasi struttura algebrica un insieme non vuoto M su cui sono definite una o più operazioni algebriche binarie. Indichiamo con (𝑀,∗) una struttura algebrica dov’è definita l’operazione

• ; con (𝑀,∗, +) una struttura algebrica dove sono definite le operazioni * e +.

Semigruppo: Dicasi semigruppo una struttura algebrica (M,*) dove * è un’operazione associativa su M.

Elemento neutro: Dicasi elemento neutro di (M,*) un elemento 𝑒 ∈ 𝑀 tale che ∀𝑎 ∈ 𝑀 si ha: 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎

Elemento simmetrico: Dicasi elemento simmetrico di 𝑎 ∈ 𝑀 un elemento 𝑎′^ ∈ 𝑀 tale che 𝑎 ∗ 𝑎′^ = 𝑎′^ ∗ 𝑎 = 𝑒

Monoide: Dicasi monoide un semigruppo (𝑀,∗) dotato di elemento neutro.

Gruppi

Un gruppo è un insieme non vuoto M con una operazione algebrica binaria definita su di esso che gode delle proprietà: associatività, esistenza dell’elemento neutro, ogni elemento 𝑎 ∈ 𝑀 è simmetrizzabile.

Un gruppo (𝑀,∗) si dice abeliano o commutativo se l’operazione gode della proprietà commutativa: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀. In un gruppo le equazioni 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 e 𝑦 ∗ 𝑎 = 𝑏 hanno una ed una sola soluzione; in generale quelle soluzioni non sempre sono uguali; se invece il gruppo è abeliano, le due soluzioni coincidono.

Gruppo finito: un gruppo si dice finito se ha un numero finito di elementi. Il numero dei suoi elementi si dice ordine del gruppo

Gruppo simmetrico: Sia M un insieme non vuoto. L’insieme delle funzioni biiettive di M in M è un gruppo e si chiama il gruppo simmetrico su M.

Sottogruppi: Dicasi sottogruppo di un gruppo (G,⋅) un sottoinsieme A non vuoto di G che risulta essere un gruppo rispetto alla stessa operazione definita in G.

In ogni gruppo esistono almeno due sottogruppi, i cosiddetti sottogruppi banali o impropri. Essi sono il gruppo stesso e il sottogruppo che ha come unico elemento l’elemento neutro; ogni altro sottogruppo è detto proprio.

Campi

Dicasi campo 𝕂 una terna (𝕂, +,×) dove 𝕂 è un insieme non vuoto mentre + e × sono due operazioni binarie su 𝕂 tali che valgono le seguenti proprietà: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕂,

Chiusura: 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝕂 e 𝑎 × 𝑏 ∈ 𝕂 Associatività: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 e 𝑎 × (𝑏 × 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) × 𝑐 Commutatività: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 e 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎 Identità: Esistono due elementi in K, denotati con 0 e 1 e detti rispettivamente le zero e l’unità di campo, tali che 0 ≠ 1 e, per ogni 𝑎 ∈ 𝐾, 𝑎 + 0 = 𝑎 𝑒 𝑎 × 1 = 𝑎 Opposto: ∀𝑎 ∈ 𝕂 ∃𝑏 ∈ 𝕂 (detto opposto di a) : 𝑎 + 𝑏 = 0 Inverso: ∀𝑎 ∈ 𝕂∗^ = 𝕂{0} ∃𝑐 ∈ 𝕂: 𝑎 × 𝑐 = 1 Distributività: 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑐

Omomorfismi fra strutture

Un omomorfismo è una funzione tra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva le operazioni in esse definite. Siano (𝐺,∗)𝑒 (𝐺′,∘) due gruppi. Un’applicazione 𝑓: 𝐺 → 𝐺′ si dice un omomorfismo di G in G’ quando, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, è 𝑓(𝑎 × 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∘ 𝑓(𝑏).

Un omomorfismo biiettivo fra G e G’ si dice isomorfismo. Se G’=G l’isomorfismo si dice automorfismo.

Nucleo: Sia 𝑓: 𝐺 → 𝐺′ un omomorfismo di gruppi. Definiamo nucleo di f e lo denotiamo con Ker f il sottoinsieme di G così definito: 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = {𝑎 ∈ 𝐺|𝑓(𝑎) = 𝑒′}

Immagine: Definiamo immagine di f e lo denotiamo con Imf , il sottoinsieme di G’ definito con: 𝐼𝑚𝑓 = {𝑎′^ ∈ 𝐺′|∃ 𝑎 ∈ 𝐺 ∶ 𝑓(𝑎) = 𝑎′}

Omomorfismi di campi: Siano (𝕂, +,⋅) e (𝕂′, ⨁, ∘) due campi. Una funzione 𝑓: 𝕂 → 𝕂′ è un omomorfismo di 𝕂 in 𝕂′ se ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝕂 risulta: o 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) ⊕ 𝑓(𝑏) o 𝑓(𝑎 ⋅ 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∘ 𝑓(𝑏)

Tipi di matrici

Matrice triangolare: matrice i cui elementi al di sopra della diagonale principale sono tutti zeri. Es. 𝐴 = [

1 0 0 4 6 0 5 8 9

]

Matrice scalare: nella diagonale principale abbiamo lo stesso numero. Es. 𝐴 = [

3 0 7 4 3 0 5 6 3

]

Matrice identica: matrice quadrata in cui gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1,

(o unità) mentre i restanti elementi dal numero 0. 𝐼𝑛 = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

Matrice diagonale: una matrice quadrata 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) di ordine n tale che 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀𝑖 ≠ 𝑗, cioè una matrice

quadrata in cui solamente i valori della diagonale principale possono essere diversi da 0

𝐴 = [

𝑎 11 0 0 0 𝑎 22 0 0 0 𝑎𝑛𝑚

]

Matrice trasposta: La matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne di A diventano le righe di 𝐴𝑇^ e le righe di A diventano le colonne di 𝐴𝑇.

Es. 𝐴 = [

(^1 2 3 ) 5 6 7 8 (^9 10 11 )

] 𝐴𝑇^ = [

1 5 9 2 6 10 3 4

7 8

11 12

]

Matrice simmetrica: Una matrice quadrata A di ordine n si dice simmetrica se 𝐴𝑇^ = 𝐴, cioè se ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa. Quindi se 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ∀𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Es. 𝐴 = [

1 2 3 4 (^2 5 6 ) 3 4

6 7

8 1 9 10

]

Matrice invertibile: Una matrice quadrata 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛; 𝕂) si dice invertibile se esiste una matrice 𝑋 ∈ 𝑀(𝑛; 𝕂) tale che 𝐴 ⋅ 𝑋 = 𝑋 ⋅ 𝐴 = 𝐼𝑛 Es. Verificare che 𝐴 = [^2 3 −

] è invertibile.

Bisogna quindi trovare una matrice 𝑋 = [𝑎^ 𝑏 𝑐 𝑑

] tale che 𝐴 ⋅ 𝑋 = [^1 0 1

]

𝐴 × 𝑋 = [2𝑎 + 𝑐^ 2𝑏 + 𝑑

] = [^1

] il quale riscritto in forma lineare vale:

1 5 𝑐 = (^35)

𝑑 = − (^25)

scriviamo la matrice inversa 𝑋 = 𝐴−1^ = [

1 5

1 5 3 5 −^

2 5

]

Se il rango è ≠ 0 la matrice è sempre invertibile. Teorema di unicità: se A ammette inversa, essa è unica.

Proprietà delle matrici

Siano 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀(𝑚, 𝑛; 𝕂), 𝐶, 𝐷 ∈ 𝑀(𝑛, 𝑝; 𝕂), 𝐸 ∈ 𝑀(𝑝, 𝑞; 𝕂) e 𝜆 ∈ 𝕂.  (𝐴 + 𝐵) ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐶 + 𝐵 ⋅ 𝐶  𝐴 ⋅ (𝐶 + 𝐷) = 𝐴 ⋅ 𝐶 + 𝐴 ⋅ 𝐷  𝜆(𝐴 ⋅ 𝐶) = (𝜆𝐴) ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ (𝜆𝐶)  (𝐴 ⋅ 𝐶) ⋅ 𝐸 = 𝐴 ⋅ (𝐶 ⋅ 𝐸)  𝐴 ⋅ 𝐼𝑛 = 𝐼𝑚 ⋅ 𝐴 = 𝐴  se 𝐶 = 𝐷 allora 𝐴 ⋅ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐷  se 𝐴 = 𝐵 allora 𝐴 ⋅ 𝐶 = 𝐵 ⋅ 𝐶  (𝐴 + 𝐵)𝑇^ = 𝐴𝑇^ + 𝐵𝑇  (𝜆𝐴)𝑇^ = 𝜆(𝐴𝑇)  (𝐴 ⋅ 𝐶)𝑇^ = 𝐶𝑇^ ⋅ 𝐴𝑇

 (𝐴𝑇)𝑇^ = 𝐴

 𝐼𝑛𝑇^ = 𝐼𝑛

Indichiamo con 𝐺𝐿(𝑛; 𝕂) l’insieme delle matrici invertibili di 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛; 𝕂)  𝐴 ⋅ 𝐵 ∈ 𝐺𝐿(𝑛; 𝕂) e (𝐴 ⋅ 𝐵)−1^ ∈ 𝐺𝐿(𝑛; 𝕂 )  𝐴−1^ ∈ 𝐺𝐿(𝑛; 𝕂) e (𝐴−1)−1^ = 𝐴  𝐴𝑇^ ∈ 𝐺𝐿(𝑛; 𝕂) e (𝐴𝑇)−1^ = (𝐴−1)𝑇  𝐼𝑛 ∈ 𝐺𝐿(𝑛; 𝕂) e (𝐼𝑛)−1^ = 𝐼𝑛

Sistemi lineari

Dato un campo 𝕂 e 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝕂, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 e 𝑗 = 1,2, … , 𝑛; posto un 𝑏𝑖 ∈ 𝕂, diremo che la scrittura

{

𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 2 𝑎𝑚1𝑥 1 + 𝑎𝑚2𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

rappresenta un sistema lineare di m equazioni nelle n variabili 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥𝑛.

Gli elementi 𝑎𝑖𝑗 e 𝑏𝑖 si dicono rispettivamente i coefficienti e i termini noti del sistema lineare. Possiamo quindi

riscrivere il sistema nella matrice 𝐴 = [

𝑎 11 … 𝑎1𝑛 … … … 𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛

|

𝑏 1 … 𝑏𝑚

]. La prima parte (prima del |) comprendente solo i coefficienti

e si dice matrice incompleta , mentre con l’aggiunta dei termini noti si dice matrice completa.

Soluzione del sistema: Dicasi soluzione del sistema una qualsiasi n-upla ordinata (𝑛 1 , 𝑛 2 , … , 𝑛𝑛) di elementi di 𝕂 tale che associati ai coefficienti l’equazione di identità ha senso. Un sistema che non ha soluzioni è impossibile, in tal caso l’insieme delle soluzioni coincide con l’insieme vuoto.

Equivalenti: Due sistemi si dicono equivalenti se i loro insiemi di soluzioni coincidono.

Omogeneo: Un sistema lineare si dice omogeneo se i suoi termini noti sono tutti nulli.

Es. {

𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0 𝑎𝑚1𝑥 1 + 𝑎𝑚2𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0

Risoluzione delle matrici

Sostituzioni di righe di una matrice: Per determinare l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare è ben noto il metodo di Gauss di eliminazione delle variabili: Fissati 𝜆, 𝜇 ∈ 𝕂 con 𝜆 ≠ 0, è equivalente al sistema che si ottiene sostituendo l’equazione i-esima con la seguente: 𝜆 ⋅ (𝑟𝑖𝑔𝑎) ± 𝜇(𝑎𝑙𝑡𝑟𝑎 𝑟𝑖𝑔𝑎) = 0 Tale sostituzione avviene in modo da avere nella prima riga 𝑥 1 , nella seconda 𝑥 2 , terza 𝑥 3 ,…

Es. Che ha come unica soluzione (0,0,0,0).

si usa per indicare che nel sistema sostituisco con l’equazione i-esima con l’equazione avente il primo membro formato dalla somma del primo membro della i-esima con il primo membro della j-esima rispettivamente moltiplicati per 𝜆 e 𝜇.

Matrici ridotte per righe: Una matrice si dice ridotta per righe se in ogni riga appare almeno un elemento speciale. Un elemento di una riga è speciale se ha "sotto di lui" (cioè nelle righe successive della matrice , in corrispondenza della stessa colonna) solo elementi nulli

Es. [

−𝟏 1 2 0 5 𝟖 0 𝟕 0

]

Proprio per questo dobbiamo prima ridurre la matrice e poi studiare caso per caso il suo comportamento al variare di k (parametro arbitrario).

Es. [

1 0 1 2 𝑘 3 −1 2𝑘 0

|

𝑘 2 2

] → [[

𝟏 0 1 0 𝑘 1 0 2𝑘 1

|

𝑘 2 − 2𝑘 2 + 𝑘

] → [

𝟏 0 1 0 𝒌 3 0 0 0

|

𝑘 2(1 − 𝑘) 3𝑘

]

Caso 𝑘 ≠ 0 sistema determinato

Caso 𝑘 = 0 [

𝟏 0 1 0 0 1 0 0 0

|

0 2 0

] → {𝑥 + 𝑧 = 0𝑧 = 2 → {𝑥 = −2𝑧 = 2 (−2, 𝑦, 2) ∞^1

Metodo per ricavare la matrice inversa attraverso le riduzioni

Es. Determinare l’eventuale inversa della matrice 𝐴 = [^20 13 ]

Con il vecchio metodo, diremo che essa è invertibile se esiste una matrice 𝑋 = [𝑎𝑐^ 𝑏𝑑] tale che 𝐴𝑋 = 𝐼 2 , cioè [^20 13 ] ⋅ [𝑎𝑐 𝑏𝑑] = [^10 01 ] la quale equivale a [2𝑎 + 𝑐3𝑐 2𝑏 + 𝑑3𝑑 ] = [^10 01 ] A ha inversa se il seguente sistema ha

soluzioni: {

2𝑎 + 𝑐 = 1 2𝑏 + 𝑑 = 0 3𝑐 = 0 3𝑑 = 1 Con questo metodo invece, si riduca per righe la seguente matrice formata nella prima parte da coefficienti delle incognite, e nella seconda dalle tre colonne dei termini noti.

[^20 13 |^10 01 ] → 𝑅 1 = 12 𝑅 1 − 16 𝑅 2 → [^10 03 |

1 2 −^

1 6 0 1

] → 𝑅 2 = 13 𝑅 2 + 𝑅 1 → [^10 01 |

1 2 −^

1 6 (^0 )

] → 𝑅 2 = 𝑅 2 − 𝑅 1 → [^10 01 |

1 2 −^

1 6 (^0 )

]

Le soluzioni delle quattrp incognite sono dunque (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = (

1 2 , −^

1 6 , 0,^

1 3 ) La matrice inversa di A è 𝐵 = [

1 2 −^

1 6 0 1

]

Dunque i passi da seguire per determinare l’eventuale matrice inversa della matrice A sono:

1. Si forma la matrice (𝐴 |𝐼𝑛) in cui 𝐼𝑛 denota la matrice identica di ordine n.
2. Si applichi il metodo di riduzione a (𝐴 |𝐼𝑛) a) Se non è possibile trasformare A nella matrice 𝐼𝑛, allora A non è invertibile b) Se A viene trasformata in 𝐼𝑛 avremo trasformato (𝐴 |𝐼𝑛) in (𝐼𝑛|𝐵). In tal caso A è invertibile e B è la sua inversa.

Determinanti e complementi algebrici

Minore complementare: Dicasi minore complementare di un elemento 𝑎𝑖𝑗 la matrice che si ottiene dalla A sopprimendo in essa la riga i-esima e la colonna j-esima.

Es. 𝐴 = [

1 3 3 5 (^5 6 0 ) 4 6 1 4

] il minore complementare di 𝑎 23 è [^14 36 54 ]

Determinante: Una funzione 𝑀(𝑛; 𝕂) associa ad ogni matrice quadrata A di ordine n, un elemento 𝐴 ∈ 𝕂, detto il determinante di A. Il determinante di A si indica con detA oppure con |A|.  𝐴 = [𝑎 11 ] → 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎 11  𝐴 = [

𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 ]^ →^ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎^11 𝑎^22 − 𝑎^12 𝑎^21  𝐴 = [

𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33

] → 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎 11 𝑎 22 𝑎 33 + 𝑎 12 𝑎 23 𝑎 31 + 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 32 − 𝑎 13 𝑎 22 𝑎 31 − 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 33 − 𝑎 11 𝑎 23 𝑎 32

Es. Calcolare il determinante di det [

] scegliamo una riga a caso, per esempio la seconda, e calcoliamo il

minore complementare del termine corrispondente, facendo attenzione ai segni (termine nel posto dispari della matrice (𝑒𝑠. 𝑎 21 = 2 − 1 = 1), segno meno, posto pari segno positivo): −2 [^0 0 2

] + 1 [^1

] − (−1) [^1

]

calcoliamo ora il determinante = −2 ⋅ [(0 ⋅ 1)(1 ⋅ 0)] + 1 ⋅ [(1 ⋅ 2) + (1 ⋅ 0)] + 1 ⋅ [(1 ⋅ 0) + (0 ⋅ 0)] = 2 Il determinante di questa matrice 3 × 3 è uguale a 2.

Complemento algebrico: Sia 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) una matrice quadrata di ordine n, dicasi complemento algebrico

dell’elemento 𝑎𝑖𝑗 e si indica con 𝐴𝑖𝑗, il numero (−1)𝑖+𝑗^ moltiplicato per il determinante del minore complementare di 𝑎𝑖𝑗.

Es. 𝐴 = [

2 3 1 −1 4 0 1 3 5

] il complemento algebrico di 𝑎 23 è

(−1)2+3^ det [^2 1 3 ] = −(6 − 3) = −

Teorema di Laplace: Comunque si scelgano 2 righe differenti di una matrice quadrata A di ordine 𝑛 ≥ 2, la somma dei prodotti degli elementi di una linea per i rispettivi complementi algebrici è uguale per entrambe le linee scelte.

Definizione ricorsiva di determinante: Data una matrice quadrata A di ordine 𝑛 ≥ 2, si dice determinante di A la somma dei prodotti degli elementi di una linea di A per i rispettivi complementi algebrici.

Proprietà dei determinanti: Sia A una matrice quadrata di ordine 𝑛 ≥ 2. Allora  Se in A esiste una linea con gli elementi tutti nulli, det A = 0.  Se si scambiano fra loro di posto due linee parallele si ottiene una nuova matrice A’ per la quale si ha 𝑑𝑒𝑡 𝐴’ = −𝑑𝑒𝑡 𝐴.  Se in A vi sono due linee parallele uguali, allora det A = 0.  Se si moltiplicano tutti gli elementi di una linea di A per 𝛼 ∈ 𝕂, si ottiene una nuova matrice A’ per la quale si ha det A’ = 𝛼 det A.  Se in A vi sono due linee parallele proporzionali, allora det A = 0.  Se gli elementi di una linea di A sono binomi, allora det A = det B+det C, essendo B e C rispettivamente le matrici ottenute da A sostituendo ad ogni binomio il suo primo addendo ed il suo secondo addendo.

Es. 𝐴 = [

𝑏 11 + 𝑐 11 𝑏 12 + 𝑐 12 𝑏 13 + 𝑐 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 33 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33

] → 𝑑𝑒𝑡𝐴 = det [

𝑏 11 𝑏 12 𝑏 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33

] + det [

𝑐 11 𝑐 12 𝑐 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33

]

 Se agli elementi di una linea di A si aggiungono gli elementi corrispondenti di altre linee parallele, moltiplicate per costanti qualsiasi, il valore del det A non cambia.  Se in A tutti gli elementi al di sopra (o al di sotto) della diagonale principale sono tutti nulli, allora il det A è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale.

Es. 𝐴 = [

𝑎 11 0 0 𝑎 21 𝑎 22 0 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33

] oppure 𝐴 = [

𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 0 𝑎 22 𝑎 23 0 0 𝑎 33

] si ha 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎 11 𝑎 22 𝑎 33

 La somma dei prodotti degli elementi di una linea di A per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di un'altra linea ad essa parallela, è 0.  Il determinante di A coincide col determinante della sua trasposta, cioè det A =det AT^.

Teorema di Binnet: Siano A e B due matrici quadrate di ordine n. |𝐴 ⋅ 𝐵| = |𝐴| ⋅ |𝐵|

Matrice ridotta in senso stretto: Dato una matrice ridotta per righe A’, diremo che la matrice A’ è la matrice ridotta in senso stretto dalla A se A’ può essere ottenuta dalla A mediante la regola di riduzione in senso stretto: 𝑅𝑖 → 𝑅𝑖 + 𝜇𝑅𝑗, ∀𝜇 ∈ 𝕂, 𝑖 ≠ 𝑗 La matrice ridotta in senso stretto si indica con 𝐴, inoltre 𝐴 = |𝐴|f

Rango di una matrice: Si dice rango di una matrice l’ordine massimo dei minori di A aventi determinante diverso da zero. Il rango di A si indica con r(A); esso coincide col numero degli elementi speciali di una matrice ridotta per righe.

Riduzione per colonne: Ridurre per colonne la matrice A equivale a ridurre per righe la sua trasposta 𝐴𝑇. Inoltre, se A’ è una matrice ridotta per colonne di A, esiste una matrice ridotta per righe di 𝐴𝑇^ che coincide con (𝐴′)𝑇.

Vettori

Vettori applicati del piano

Sia O un punto fissato del piano. Si chiama vettore applicato in O un segmento orientato OP, dove P è un punto del piano diverso da O. Un vettore applicato è individuato da tre elementi:

• Direzione, cioè la retta passante per i punti O e P;
• Verso, quello che va da O a P (verso della freccia);
• Modulo, il numero reale non negativo che misura la lunghezza del segmento OP. Il vettore avente modulo = 0 e direzione e verso indeterminati dicasi vettore nullo

𝑶⃗⃗. Due vettori applicati in O sono uguali se e solo se entrambi hanno modulo zero, oppure hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo.

Un vettore si indica con 𝑶𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oppure con 𝒗⃗⃗. Il modulo del vettore si indica con |𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗| oppure |𝑣 |.

Somma di vettori: Per trovare la somma di due vettori 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ usiamo il

metodo del parallelogramma ; troveremo il vettore 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗. Se invece i due vettori hanno la stessa direzione(giacenti sulla stessa retta) :  Se hanno anche lo stesso verso, il vettore 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ sarà uguale alla somma 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;  Se i vettori hanno verso opposto e moduli diversi, il modulo è uguale alla differenza dei moduli;  Se i vettori hanno verso opposto e stesso modulo, la somma è il vettore nullo 𝑂⃗.

Opposto del vettore: Dicasi opposto del vettore 𝑣 ≠ 𝑂⃗ il vettore avente la stessa direzione e lo stesso modulo di 𝑣 , ma verso opposto. L’opposto di 𝑣 si indica con −𝒗⃗⃗.

Differenza di vettori: Uguale alla somma, solo che invece di sommare un vettore con lo stesso verso, si somma un vettore con un altro di verso opposto 𝑣 + (−𝑤⃗⃗ ).

Prodotto di uno scalare per Siano 𝑣 un vettore non nullo e a uno scalare con 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0. Dicasi prodotto di a un vettore: per 𝑣 il vettore 𝒂𝒗⃗⃗ con:

1. Modulo = |𝑎| ⋅ |𝑣 |
2. Direzione = quella di 𝑣
3. Verso = quello di 𝑣 se 𝑎 > 0, altrimenti l’opposto. Proprietà del prodotto scalare per un vettore: o Distributiva rispetto agli scalari : (𝜆 + 𝜇)𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝜇𝑣 o Distributiva rispetto ai vettori : 𝜆(𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) = 𝜆𝑣 + 𝜆𝑤⃗⃗ o Associativa : 𝜆(𝜇𝑣 ) = (𝜆𝜇)𝑣 o Esistenza dell’elemento neutro : 1𝑣 = 𝑣

Componenti di un vettore: Dato un vettore 𝑣 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗, le coordinate (a,b) del punto P sull’asse cartesiano si chiamano le componenti di 𝑣. Valgono le seguenti proprietà:

1. Due vettori sono uguali se hanno le componenti ordinatamente uguali.
2. Le componenti di 𝑣 si indicano con 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 e scriveremo 𝑣 = (

Se 𝑣 = (

𝑣𝑦)^ allora si ha che il modulo è^ |𝑣^ | = √𝑣𝑥

𝑦

2

Versore: Dicasi versore un vettore di modulo 1. Quindi nel caso |𝑣 | = √𝑣𝑥^2 + 𝑣𝑦^2 , 𝑣 è un versore. Inoltre per

ogni vettore non nullo esisto uno ed uno solo versore avente la stessa direzione e lo stesso verso di 𝑣 , esso è chiamato versore associato ed è dato da

1 |𝑣⃗ | 𝑣^. I vettori 𝑖 = (^1 0

) e 𝑗 = (^0 1

) sono due versori, detti i versori fondamentali del sistema di coordinate 𝑂𝑥 𝑦.

Scomposizione: Per ogni vettore 𝑣 si ha 𝑣 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 Cioè, ogni vettore si può scomporre nella somma di un vettore avente la direzione dell’asse 𝑥 e di un vettore avente la direzione dell’asse 𝑦; questi due vettori si ottengono moltiplicando i versori fondamentali per le componenti di 𝑣. Siano 𝑣 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 e 𝑤⃗⃗ = 𝑤𝑥𝑖 + 𝑤𝑦𝑗 e sia a uno scalare 𝑎 ∈ ℝ. Allora:

1. a𝑣 = (𝑎𝑣𝑥)𝑖 + (𝑎𝑣𝑦)𝑗
2. 𝑣 + 𝑤⃗⃗ = (𝑣𝑥 + 𝑤𝑥)𝑖 + (𝑣𝑦 + 𝑤𝑦)𝑗

Vettori paralleli: Siano 𝑣 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑤⃗⃗ = 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ due vettori non nulli. Essi si dicono paralleli (si scrive 𝑣 //𝑤⃗⃗) se hanno la stessa direzione. o 𝑣 //𝑤⃗⃗ se e solo se esiste 𝑡 ∈ ℝ, 𝑡 ≠ 0, ∶ 𝑤⃗⃗ = 𝑡𝑣. Inoltre 𝑡 = |𝑤⃗⃗|𝑣⃗ || se i 𝑤⃗⃗ e 𝑣 hanno lo stesso

verso, oppure 𝑡 = −

|𝑤⃗⃗ | |𝑣⃗ | se hanno verso opposto o 𝑣 //𝑤⃗⃗ se e solo se 𝑣𝑥𝑤𝑦 − 𝑣𝑦𝑤𝑥 = 0 Es. Siano 𝑣 = 3𝑖 + 4𝑗 e 𝑤⃗⃗ = 6𝑖 + ℎ𝑗. Trovare i valori di ℎ ∈ ℝ per cui 𝑣 //𝑤⃗⃗ Per la (2) preposizione deve essere 𝑣𝑥𝑤𝑦 − 𝑣𝑦𝑤𝑥 = 0; dato che 𝑣𝑥𝑤𝑦 vuol dire prendere 3 ⋅ ℎ e 𝑣𝑦𝑤𝑥 vuol dire 4 ⋅ 6, risulterà 𝑣𝑥𝑤𝑦 − 𝑣𝑦𝑤𝑥 = 3ℎ + 24 = 0. Quindi ℎ = 8.

Teorema di Pitagora: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Si consideri il triangolo rettangolo ABC

̅ 𝐴̅̅𝐵̅̅^2 ̅^ = 𝐴̅̅𝐶̅̅^2 ̅^ + 𝐶̅̅̅𝐵̅̅^2 ̅

oppure 𝐴𝐵 = √𝐴𝐶^2 + 𝐶𝐵^2

Sia POQ un triangolo qualsiasi. Posto 𝛼 come l’angolo 𝑃𝑂̂ 𝑄 si ha che:

1. 𝑃̅̅̅𝑂̅̅^2 ̅^ + 𝑄̅̅̅𝑂̅̅^2 ̅^ > 𝑃̅̅̅𝑄̅̅^2 ̅^ se e solo se 0 < 𝛼 < 90°
2. 𝑃̅̅̅𝑂̅̅^2 ̅^ + 𝑄̅̅̅𝑂̅̅^2 ̅^ = 𝑃̅̅̅𝑄̅̅^2 ̅^ se e solo se 𝛼 = 90°
3. 𝑃̅̅̅𝑂̅̅^2 ̅^ + 𝑄̅̅̅𝑂̅̅^2 ̅^ < 𝑃̅̅̅𝑄̅̅^2 ̅^ se e solo se 90° < 𝛼 < 180°

Prodotto scalare: Siano 𝑣 = (

𝑣𝑦)^ e^ 𝑤⃗⃗ = (

𝑤𝑦)^ due vettori del piano. Il prodotto scalare^ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗^ è così definito: 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ = (𝑣𝑥𝑣𝑦) ⋅ (

𝑤𝑦) = 𝑣𝑥𝑤𝑥^ + 𝑣𝑦𝑤𝑦.

Il prodotto scalare gode delle proprietà:  Associativa: (𝑎𝑣 ) ⋅ 𝑤⃗⃗ = 𝑎(𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ )  Commutativa: 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ = 𝑤⃗⃗ ⋅ 𝑣  Distributiva: 𝑣 ⋅ (𝑢⃗ ⋅ 𝑤⃗⃗ ) = 𝑣 ⋅ 𝑢⃗ + 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗

Vettori applicati dello spazio

Fissiamo nello spazio il sistema di coordinate 𝑂𝑥 𝑦𝑧, le coordinate (a,b,c) di P si chiamano le componenti di 𝑣 e si indicano con 𝑣𝑥, 𝑣𝑦 𝑒 𝑣𝑧.

|𝑣 | = √𝑣𝑥^2 + 𝑣𝑦^2 + 𝑣𝑧^2 i cui versori fondamentali sono 𝑖 = (

Scomposizione: Per ogni vettore 𝑣 si ha: 𝑣 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧𝑘⃗

• Concetti algebrici di base
  • Insiemi
  • Funzioni
  • Relazioni di equivalenza
  • Relazioni di ordinamento parziale
  • Cardinalità di un insieme
  • Operazioni algebriche binarie
  • Gruppi
  • Campi
  • Omomorfismi fra strutture
• Matrici
  • Operazioni tra matrici
  • Tipi di matrici
  • Proprietà delle matrici
  • Sistemi lineari
  • Risoluzione delle matrici
  • Sistemi lineari dipendenti da un parametro
  • Metodo per ricavare la matrice inversa attraverso le riduzioni
  • Determinanti e complementi algebrici
  • Teoremi sulle matrici
• Vettori
  • Vettori applicati del piano...........................................................................................................................................
  • Vettori applicati dello spazio.......................................................................................................................................
  • Vettori liberi
• Rette del piano e loro equazioni
• Isometrie e similitudini nel piano
  • Traslazione
  • Rotazione
  • Rototraslazione
  • Riflessione
  • Glicoriflessione o antitraslazione
• Piani e rette dello spazio e loro equazioni
  • Equazioni parametriche di una retta
  • Retta passante per due punti......................................................................................................................................
  • Intersezioni..................................................................................................................................................................
  • Angoli
• Punti e rette improprie nello spazio
  • Distanze.......................................................................................................................................................................
  • Rette sghembe
• Spazi vettoriali.................................................................................................................................................................
  • Sottospazi vettoriali
  • Combinazione lineare
  • Generatori di uno spazio vettoriale
  • Base di uno spazio vettoriale
  • Dimensione di una base
• Calcolo combinatorio
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• Risoluzione degli Esercizi.................................................................................................................................................
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  • Calcolo combinatorio
• Definizioni e Teoremi di MATEMATICA DISCRETA
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  • GEOMETRIA - RETTE....................................................................................................................................................
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  • GEOMETRIA – PIANI E RETTE DELLO SPAZIO
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  • GEOMETRIA – SPAZI VETTORIALI
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  • AUTOVALORI ED AUTOVETTORI
  • ENDOMORFISMI..........................................................................................................................................................
  • CALCOLO COMBINATORIO
  • TEORIA DEI NUMERI....................................................................................................................................................
  • TEORIA DEI GRAFI
• |𝑣 | = |𝐴𝐵| = √(𝑥 2 − 𝑥 1 )^2 + (𝑦 2 − 𝑦 1 )^2 + (𝑧 2 − 𝑧 1 )

Rette del piano e loro equazioni

Una retta r del piano si può individuare assegnando una di queste azioni:

• un punto 𝑃 0 di r e un vettore 𝑣 ortogonale ad r
• un punto 𝑃 0 di r e un vettore 𝑤⃗⃗ parallelo ad r
• due punti distinti 𝑃 1 e 𝑃 2 di r

Caso 1: siano 𝑃 0 = (𝑥 0 , 𝑦 0 ) un punto di r e 𝑣 = (

𝑏)^ un vettore ortogonale ad r. Un punto^ 𝑃 = (𝑥, 𝑦)^ del piano appartiene ad r se e solo se il vettore 𝑃 − 𝑃 0 è ortogonale a 𝑣 , cioè se e solo se 𝑣 ⋅ (𝑃 − 𝑃 0 ) = 0, ovvero l’equazione vettoriale della retta , dalla quale segue (𝑎 𝑏) ⋅ (

𝑦 − 𝑦 0 ) = 0 → 𝑎(𝑥 − 𝑥^0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦^0 ) = 0 → 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑥^0 − 𝑏𝑦^0 = 0

dal quale posto 𝑐 = −𝑎𝑥 0 − 𝑏𝑦 0 si ha 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 detta equazione cartesiana della retta. Se 𝑏 ≠ 0, essa può scriversi 𝑦 = −

𝑎 𝑏 𝑥 −^

𝑐 𝑏, la quale posto 𝑚 = − 𝑎𝑏 e 𝑛 = − 𝑐𝑏 diventa 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

Caso 2: sia r la retta passante per il punto 𝑃 0 = (𝑥 0 , 𝑦 0 )^ e parallela al vettore non nullo 𝑤⃗⃗ = ( 𝑙 𝑚

Il punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) appartiene ad r se e solo se 𝑃 − 𝑃 0 // 𝑤⃗⃗ , cioè 𝑃 − 𝑃 0 = 𝑡𝑤⃗⃗. Quindi si ha (

𝑦 − 𝑦 0 ) = 𝑃 − 𝑃^0 = 𝑡𝑤⃗⃗ = (

) da cui

{

detta equazione parametrica della retta.

Caso 3: dati due punti 𝐴 = (𝑥 1 , 𝑦 1 ) e 𝐵 = (𝑥 2 , 𝑦 2 ). Un vettore parallelo ad r è 𝑤⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (

Quindi r ha le seguenti equazioni parametriche

{

dalle quali si può ricavare, col procedimento scritto sopra, l’equazione cartesiana. L’equazione della retta del piano passante per due punti distinti è:

|

Es. Scrivere l’equazione della retta r passante per 𝑃 0 = (1, −3)^ e parallela a 𝑤⃗⃗ = (^21 ).

Siamo nel caso 2, si ha {

𝑦 = −3 + 𝑡 da cui eliminando t^

𝑥− 2 = 𝑦 + 3

Distanza tra un punto ed una retta: La distanza fra il punto 𝑃 0 = (𝑥 0 , 𝑦 0 )^ dalla retta r di equazione 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 è data da 𝑑(𝑃 0 , 𝑟) =

|𝑎𝑥 0 +𝑏𝑦 0 +𝑐| √𝑎^2 +𝑏^2 se 𝑏 ≠ 0 l’equazione della retta può essere riscritta nella forma esplicita 𝑦 = −

𝑎 𝑏 𝑥 −^

𝑐 𝑏. Il numero 𝑚 = −

𝑎 𝑏 dicasi^ coefficiente angolare^ di r. Se^ 𝑏 = 0^ r non ha coefficiente angolare.

Ortogonalità: Le due rette 𝑟)𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 e 𝑟′)𝑦 = 𝑚′𝑥 + 𝑛′ sono ortogonali se e solo se 𝑚𝑚′^ = −

Coordinate omogenee del piano: Ogni punto P del piano, rispetto al sistema 𝑂𝑥 𝑦, viene identificato tramite le sue coordinate (x,y); esse verranno dette le coordinate non omogenee del punto P, e P viene detto punto proprio. Ad ogni punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) possiamo associare