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MATEMATICA DISCRETA
Simulazione Quiz — Sessione 3: Permutazioni e Aritmetica Modulare
10 domande • Tempo consigliato: 30 minuti • Obiettivo: 6/ NOME:
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DATA: //______
📋 ISTRUZIONI Una sola risposta corretta per domanda. Corretta: +1pt. Errata o non data: 0pt. Obiettivo minimo: 6/10. Riporta le risposte nella griglia, poi controlla a fine file. Griglia delle risposte: Dom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Risp.
DOMANDE
Domanda 1 Sia S = {1, 2, 3, 4, 5}. Quale delle seguenti affermazioni e' VERA?
- {3,4} ∈ S
- 1 ∉ S
- {0,5} ⊂ S
- 2 ⊂ S
- 6 ∉ S Domanda 2 Siano A = {f,g,h} e B = {α,β,γ}. Quale delle seguenti e' VERA?
- (h,α,β) ∉ A×B×B
- (f,α,h) ∈ B×B×A
- (β,g,β) ∈ A×A×B
- (f,g,γ) ∉ A×B×A
- (γ,h,h) ∈ B×A×B Domanda 3
Quanti cicli di lunghezza 3 esistono in S8?
- C(8,3) = 56
- 8^3 = 512
- 3^8 = 6561
- C(8,3) × 2! = 112
- C(8,3) × 3! = 336 Domanda 4 Di una certa permutazione π sappiamo che π^18 = π^2. Quale delle situazioni seguenti NON e' possibile?
- π ha tipo (3,4)
- π e' un ciclo di lunghezza 8
- π e' un ciclo di lunghezza 4
- π ha tipo (4,4)
- π ha tipo (2,2,2) Domanda 5 Di una certa permutazione π sappiamo che π^42 = π^2. Quale dei seguenti NON puo' essere ord(π)?
- 10
- 20
- 40
- 12
- 8 Domanda 6 Quale delle seguenti e' la scrittura binaria del numero 101?
- 1010011
- 1100101
- 1001111
- 1011001
- 1100011 Domanda 7 Quale tra le classi seguenti genera (Z84, +)?
- 33
- 44
SOLUZIONI E SPIEGAZIONI
⚠️ LEGGI SOLO DOPO AVER RISPOSTO A TUTTO Segna il punteggio qui: ___/10. Obiettivo: almeno 6! Soluzione 1 — Insiemi 📋 Risposta corretta: 5 — 6 ∉ S S = {1,2,3,4,5}.
- {3,4} ∈ S: FALSO. {3,4} e' un sottoinsieme, non un elemento.
- 1 ∉ S: FALSO. 1 e' in S.
- {0,5} ⊂ S: FALSO. 0 non e' in S.
- 2 ⊂ S: FALSO. 2 e' un elemento, non un insieme.
- 6 ∉ S: VERO. 6 non e' in S = {1,2,3,4,5}. ✓ Soluzione 2 — Prodotto cartesiano 📋 Risposta corretta: 4 — (f,g,γ) ∉ A×B×A A={f,g,h}, B={α,β,γ}.
- (h,α,β)∉A×B×B: h∈A ✓, α∈B ✓, β∈B ✓→ CI STA. L'affermazione ∉ e' FALSA.
- (f,α,h)∈B×B×A: f∈B? NO. FALSO.
- (β,g,β)∈A×A×B: β∈A? NO. FALSO.
- (f,g,γ)∉A×B×A: g∈B? NO (g∈A). Quindi NON sta in A×B×A. L'affermazione ∉ e' VERA. ✓
- (γ,h,h)∈B×A×B: h∈B? NO. FALSO. Soluzione 3 — Combinatorio — cicli in Sn 📋 Risposta corretta: 4 — C(8,3) × 2! = 112 Per formare un ciclo di lunghezza 3 in S8:
- Scelgo 3 elementi tra 8: C(8,3) = 56 modi.
- Con quei 3 elementi, quanti cicli di lunghezza 3 posso formare? I cicli distinti con {a,b,c} sono: (a b c) e (a c b). Sono 2 = (3-1)! = 2!.
- Totale: C(8,3) × 2! = 56 × 2 = 112. ✓ Formula generale: cicli di lunghezza k in Sn = C(n,k) × (k-1)! Soluzione 4 — Permutazioni — tipo impossibile 📋 Risposta corretta: 1 — π ha tipo (3,4) π^18 = π^2 → π^16 = id → ord(π) divide 16.
Divisori di 16: 1, 2, 4, 8, 16.
- Tipo (3,4): ord = mcm(3,4) = 12. 12 divide 16? NO. IMPOSSIBILE. ✓
- Ciclo lung. 8: ord=8. 8|16. Possibile.
- Ciclo lung. 4: ord=4. 4|16. Possibile.
- Tipo (4,4): ord=mcm(4,4)=4. 4|16. Possibile.
- Tipo (2,2,2): ord=mcm(2,2,2)=2. 2|16. Possibile. Soluzione 5 — Permutazioni — ordine impossibile 📋 Risposta corretta: 4 — 12 π^42 = π^2 → π^40 = id → ord(π) divide 40. 40 = 2^3 × 5. Divisori: 1,2,4,5,8,10,20,40.
- 10: divide 40. Possibile.
- 20: divide 40. Possibile.
- 40: divide 40. Possibile.
- 12: 40/12 = 3.33. NON divide 40. IMPOSSIBILE. ✓
- 8: divide 40. Possibile. Soluzione 6 — Aritmetica — binario 📋 Risposta corretta: 2 — 1100101 Converto 101 in binario: 101/2=50 r.1, 50/2=25 r.0, 25/2=12 r.1, 12/2=6 r.0, 6/2=3 r.0, 3/2=1 r.1, 1/2=0 r. Dal basso: 1100101. Verifica: 64+32+4+1 = 101. ✓ Soluzione 7 — Gruppi — generatori 📋 Risposta corretta: 3 — 25 [k] genera Z84 ⟺gcd(k,84)=1. 84 = 2^2 × 3 × 7. Quindi k non deve essere multiplo di 2, 3 o 7.
- 33=3×11. Mult. di 3. No.
- 44=4×11. Pari. No.
- 25=5^2. Non mult. di 2,3,7. gcd(25,84)=1. GENERA. ✓
- 40=8×5. Pari. No.
- 35=5×7. Mult. di 7. No. Soluzione 8 — Aritmetica — inverso 📋 Risposta corretta: 3 — 9 3^-2 in Z20 = (3^2)^-1. 3^2 = 9.
