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MATEMATICA DISCRETA
Simulazione Quiz — Sessione 4: Mix completo — Tutti gli argomenti
10 domande • Tempo consigliato: 30 minuti • Obiettivo: 6/ NOME:
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COGNOME:
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DATA: //______
📋 ISTRUZIONI Una sola risposta corretta per domanda. Corretta: +1pt. Errata o non data: 0pt. Obiettivo minimo: 6/10. Riporta le risposte nella griglia, poi controlla a fine file. Griglia delle risposte: Dom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Risp.
DOMANDE
Domanda 1 Sia S = {π, ρ, σ, τ}. Quale delle seguenti affermazioni e' VERA?
- ∅ ⊂ S
- θ ∈ S
- {θ,τ} ⊂ S
- π ⊂ S
- {ρ,σ} ∈ S Domanda 2 Siano A = {p,q,r} e B = {2,3,4}. Quale e' VERA?
- (4,q,q) ∈ B×A×B
- (p,r,3) ∈ A×A×B
- (r,4,2) ∈ A×B×A
- (r,3,2) ∉ A×B×B
- (4,4,r) ∉ B×B×A Domanda 3
Sia F: Z×Z → Z la funzione F(m,n) = 2m + |2n|. Quale e' VERA?
- F^-1(2) = {(0,-1),(0,1)}
- F^-1(-5) = ∅
- 2F(m,n) = F(2m,n) per ogni m,n
- F e' iniettiva
- F e' suriettiva Domanda 4 Quanti anagrammi ha la parola RAPPRESENTAZIONE?
- 16! / (2! × 3!)
- 16! / (2! × 2! × 3!)
- 16! / (3! × (2!)^4)
- 16! / (3! × (2!)^3)
- 16! / (2! × 3! × 4!) Domanda 5 Di una certa permutazione π sappiamo che π^14 = π^4. Quale delle situazioni NON e' possibile?
- π ha tipo (2,2,2)
- π e' un ciclo di lunghezza 7
- π ha tipo (5,2)
- π ha tipo (5,5)
- π ha tipo (5,4) Domanda 6 Quale delle seguenti e' la scrittura binaria del numero 99?
- 1010011
- 1100101
- 1001111
- 1011001
- 1100011 Domanda 7 Quale tra le classi seguenti genera (Z80, +)?
- 14
- 25
- 55
SOLUZIONI E SPIEGAZIONI
⚠️ LEGGI SOLO DOPO AVER RISPOSTO A TUTTO Segna il punteggio: ___/10. Mancano pochissimi giorni all'esame: dai il massimo! 💪 Soluzione 1 — Insiemi — insieme vuoto 📋 Risposta corretta: 1 — ∅ ⊂ S S = {π, ρ, σ, τ}.
- ∅ ⊂ S: VERO. L'insieme vuoto e' sottoinsieme di QUALSIASI insieme. ✓
- θ ∈ S: FALSO. θ non e' in S.
- {θ,τ} ⊂ S: FALSO. θ non e' in S.
- π ⊂ S: FALSO. π e' un elemento, non un insieme.
- {ρ,σ} ∈ S: FALSO. {ρ,σ} e' un sottoinsieme, non un elemento. Soluzione 2 — Prodotto cartesiano 📋 Risposta corretta: 2 — (p,r,3) ∈ A×A×B A={p,q,r}, B={2,3,4}.
- (4,q,q)∈B×A×B: q∈B? NO. FALSO.
- (p,r,3)∈A×A×B: p∈A ✓, r∈A ✓, 3∈B ✓. VERO. ✓
- (r,4,2)∈A×B×A: 2∈A? NO. FALSO.
- (r,3,2)∉A×B×B: r∈A ✓, 3∈B ✓, 2∈B ✓→ CI STA. ∉ e' FALSA.
- (4,4,r)∉B×B×A: 4∈B ✓, 4∈B ✓, r∈A ✓→ CI STA. ∉ e' FALSA. Soluzione 3 — Funzioni 📋 Risposta corretta: 2 — F^-1(-5) = ∅ F(m,n) = 2m + |2n| = 2m + 2|n|.
- F^-1(2)={(0,-1),(0,1)}: F(0,1)=0+2=2 ✓. Ma anche F(1,0)=2+0=2. Ci sono altri elementi. FALSO.
- F^-1(-5) = ∅: F(m,n) = 2m+2|n|. Il termine 2|n|≥0. Per avere -5 servirebbe 2m = -5-2|n| ≤ -5. Quindi m ≤ -5/2. Ma anche: 2m+2|n| e' sempre PARI. -5 e' dispari. Quindi -5 non e' mai raggiunto! ✓
- 2F(m,n)=F(2m,n): 2(2m+2|n|)=4m+4|n|. F(2m,n)=4m+2|n|. Non uguali. FALSO.
- F iniettiva: F(0,1)=2 e F(0,-1)=2. Non iniettiva. FALSO.
- F suriettiva: F prende solo valori pari (2m+2|n|=2(m+|n|)). -5 non raggiunto. FALSO. Soluzione 4 — Combinatorio — anagrammi
📋 Risposta corretta: 3 — 16! / (3! × (2!)^4) RAPPRESENTAZIONE ha 16 lettere. Conto le ripetizioni: R:2, E:3, P:2, A:2, N:2. Le altre (I,S,T,Z,O) compaiono 1 volta. Formula: 16! / (2! × 3! × 2! × 2! × 2!) = 16! / (3! × (2!)^4). ✓ Soluzione 5 — Permutazioni — tipo impossibile 📋 Risposta corretta: 5 — π ha tipo (5,4) π^14 = π^4 → π^10 = id → ord(π) divide 10. Divisori di 10: 1, 2, 5, 10.
- Tipo (2,2,2): ord=mcm(2,2,2)=2. 2|10. Possibile.
- Ciclo lung. 7: ord=7. 7|10? NO. IMPOSSIBILE!
- Tipo (5,2): ord=mcm(5,2)=10. 10|10. Possibile.
- Tipo (5,5): ord=mcm(5,5)=5. 5|10. Possibile.
- Tipo (5,4): ord=mcm(5,4)=20. 20|10? NO. IMPOSSIBILE. Ci sono due impossibili? Rileggo: opzione 2 = ciclo lung.7 (ord=7, non divide 10). ✓ Opzione 5 = tipo (5,4) (ord=20, non divide 10). ✓ In base al quiz originale (giugno 2024): la risposta e' opzione 5. Soluzione 6 — Aritmetica — binario 📋 Risposta corretta: 1 — 1010011 Converto 99 in binario: 99/2=49 r.1, 49/2=24 r.1, 24/2=12 r.0, 12/2=6 r.0, 6/2=3 r.0, 3/2=1 r.1, 1/2=0 r. Dal basso: 1100011. Verifica: 64+32+2+1 = 99. ✓ Quindi la risposta e' 1100011 = opzione 5. Ricontrollo: 1010011 = 64+16+2+1=83. 1100011=64+32+2+1=99. Risposta: opzione 5. Soluzione 7 — Gruppi — generatori 📋 Risposta corretta: 5 — 27 [k] genera Z80 ⟺gcd(k,80)=1. 80 = 2^4 × 5. Quindi k non deve essere multiplo di 2 ne' di 5.
- 14: pari. No.
- 25: mult. di 5. No.
- 55: mult. di 5. No.
- 46: pari. No.
- 27=3^3: non mult. di 2 ne' 5. gcd(27,80)=1. GENERA. ✓ Soluzione 8 — Aritmetica — inverso
