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MATEMATICA DISCRETA
Simulazione Quiz — Sessione 1
10 domande • Tempo consigliato: 30 minuti • Risposte: vedi ultima pagina NOME:
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DATA: //______
📋 ISTRUZIONI Per ogni domanda una sola risposta e' corretta. Risposta corretta: +1 punto. Risposta errata o non data: 0 punti. Obiettivo minimo: 6/10 per superare la prova quiz. Riporta le risposte nella griglia qui sotto, poi controlla le soluzioni a fine file. Griglia delle risposte: Dom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Risp.
DOMANDE
Domanda 1 Sia S = {w, x, y, z}. Quale delle seguenti affermazioni e' VERA?
- z ⊂ S
- {x, y} ∈ S
- y ∉ S
- w ∈ S
- {a, z} ⊂ S Domanda 2 Siano A = {p, q, r} e B = {2, 3, 4}. Quale delle seguenti affermazioni e' VERA?
- (4, q, q) ∈ B × A × B
- (p, r, 3) ∈ A × A × B
- (r, 4, 2) ∈ A × B × A
- (r, 3, 2) ∉ A × B × B
- (4, 4, r) ∉ B × B × A
Domanda 3 Sia F: Z × Z → Z la funzione F(m, n) = |m| - n. Quale delle seguenti affermazioni e' VERA?
- F e' iniettiva
- F^-1(0) = {(0,0)}
- F(m,n) = F(m,-n) per ogni m,n ∈ Z
- F(Z × {0}) = Z
- F e' suriettiva Domanda 4 Siano A e B insiemi con |A| = 7, |B| = 4 e A ∩ B = ∅. Quanti sono i sottoinsiemi di A ∪ B formati da 5 elementi di A e 2 di B?
- C(11,7)
- (11!/7!) × (4!/2!)
- C(7,5) + C(4,2)
- 5! × 2!
- C(7,5) × C(4,2) Domanda 5 Di una certa permutazione π sappiamo che π^20 = π^4. Quale delle seguenti situazioni NON e' possibile?
- π ha tipo (4, 4)
- π e' un ciclo di lunghezza 8
- π ha tipo (6, 2)
- π e' un ciclo di lunghezza 4
- π ha tipo (2, 2, 2, 2) Domanda 6 Quale delle seguenti e' la scrittura binaria del numero 89?
- 1010011
- 1100101
- 1001111
- 1011001
- 1100011 Domanda 7 Quale tra le classi seguenti genera (Z75, +)?
- 24
SOLUZIONI E SPIEGAZIONI
⚠️ LEGGI PRIMA DI CONTROLLARE Hai completato il quiz senza guardare qui sotto? Se si: ottimo! Ora controlla e segna quante ne hai azzeccate. Se no: riprova domani con lo stesso quiz — e' il modo migliore per imparare. Punteggio: _____ / 10. Obiettivo minimo: 6/10. Soluzione Domanda 1 Risposta corretta: 4 — w ∈ S Argomento: Insiemi — ∈ vs ⊂ Analizziamo ogni opzione:
- z ⊂ S: FALSO. z e' un elemento, non un insieme. Non si puo' usare ⊂.
- {x,y} ∈ S: FALSO. {x,y} e' un sottoinsieme, non un elemento di S.
- y ∉ S: FALSO. y e' elencato in S, quindi y ∈ S.
- w ∈ S: VERO. w e' uno degli elementi di S = {w,x,y,z}. ✓
- {a,z} ⊂ S: FALSO. 'a' non e' in S, quindi {a,z} non e' sottoinsieme. REGOLA: ∈ = 'e' un elemento'. ⊂ = 'e' un sottoinsieme'. Non confonderli! Soluzione Domanda 2 Risposta corretta: 2 — (p, r, 3) ∈ A × A × B Argomento: Prodotto cartesiano Per ogni opzione, controllo ogni componente separatamente: A = {p,q,r}, B = {2,3,4}
- (4,q,q) ∈ B×A×B: q ∈ B? NO (q ∈ A). FALSO.
- (p,r,3) ∈ A×A×B: p∈A ✓, r∈A ✓, 3∈B ✓. VERO. ✓
- (r,4,2) ∈ A×B×A: 2 ∈ A? NO (2 ∈ B). FALSO.
- (r,3,2) ∉ A×B×B: r∈A? SI, ma stiamo guardando B×A×? Aspetta: A×B×B richiede: r∈A ✓, 3∈B ✓, 2∈B ✓. Quindi CI STA → l'affermazione '∉' e' FALSA.
- (4,4,r) ∉ B×B×A: 4∈B ✓, 4∈B ✓, r∈A ✓. Quindi CI STA → '∉' e' FALSA. REGOLA: controlla OGNI componente. Basta un errore per escludere la coppia. Soluzione Domanda 3
Risposta corretta: 5 — F e' suriettiva Argomento: Funzioni — iniettiva/suriettiva F(m,n) = |m| - n. Analizziamo ogni opzione:
- F iniettiva? F(1,0) = 1 e F(-1,0) = 1, ma (1,0)≠(-1,0). NON iniettiva. FALSO.
- F^-1(0) = {(0,0)}? Serve |m|-n=0, cioe' n=|m|. Ci sono molte soluzioni: (1,1),(2,2),(-1,1),(-3,3),... Non solo (0,0). FALSO.
- F(m,n)=F(m,-n)? |m|-n vs |m|-(-n)=|m|+n. Solo se n=0. FALSO in generale.
- F(Z×{0}) = Z? F(m,0) = |m| ≥ 0. L'immagine e' solo N, non Z. FALSO.
- F suriettiva? Per ogni k∈Z: scelgo m=0, n=-k. F(0,-k) = 0-(-k) = k. ✓ Ogni intero k e' raggiunto. VERO. ✓ Soluzione Domanda 4 Risposta corretta: 5 — C(7,5) × C(4,2) Argomento: Calcolo combinatorio — combinazioni Devo scegliere 5 elementi da A (7 elementi) E 2 elementi da B (4 elementi). L'ordine non conta (si parla di 'sottoinsiemi'), quindi uso combinazioni.
- Scelgo 5 da A: C(7,5) modi.
- Scelgo 2 da B: C(4,2) modi.
- Per il principio del prodotto (AND): C(7,5) × C(4,2). ✓ Perche' le altre sono sbagliate?
- C(11,7): non separa i vincoli (5 da A, 2 da B).
- Formula con fattoriali al denominatore sbagliata.
- C(7,5)+C(4,2): la somma si usa per l'OR, non l'AND.
- 5!×2!: questo sarebbe il numero di ORDINAMENTI, non sottoinsiemi. Soluzione Domanda 5 Risposta corretta: 2 — ciclo di lunghezza 8 Argomento: Permutazioni — ordine e tipo impossibile π^20 = π^4 → π^16 = id → ord(π) divide 16. I divisori di 16 sono: 1, 2, 4, 8, 16. Per ogni opzione calcolo ord(π) = mcm delle lunghezze dei cicli:
- Tipo (4,4): ord = mcm(4,4) = 4. 4 divide 16? SI. Possibile.
- Ciclo di lunghezza 8: ord = 8. 8 divide 16? SI. Possibile. Aspetta, allora quale non e' possibile? Ricontrollo...
- Tipo (6,2): ord = mcm(6,2) = 6. 6 divide 16? NO! 16/6 = 2.67. IMPOSSIBILE. ✓
Argomento: Aritmetica modulare — inverso Devo calcolare 7^-2 in Z15, cioe' (7^-1)^2 oppure (7^2)^-1. PASSO 1: Calcolo 7^2 in Z15. 7^2 = 49. 49 mod 15 = 49 - 3×15 = 49 - 45 = 4. Quindi 7^2 ≡ 4 (mod 15). PASSO 2: Calcolo l'inverso di 4 in Z15. gcd(4,15) = 1 (4 e 15 coprimi). Cerco x: 4x ≡ 1 (mod 15). 4×4 = 16 ≡ 1 (mod 15). Quindi 4^-1 = 4! (4 e' il suo stesso inverso in Z15) 7^-2 = (7^2)^-1 = 4^-1 = 4 (mod 15). ✓ Verifica: 7^2 × 4 = 49 × 4 = 196. 196 mod 15 = 196 - 13×15 = 196-195 = 1. ✓ Soluzione Domanda 9 Risposta corretta: 3 — 10X ≡ 7 (mod 55) Argomento: Aritmetica modulare — congruenze lineari Una congruenza aX ≡ b (mod n) e' risolubile ⟺gcd(a,n) divide b. Calcolo gcd per ogni opzione:
- 16X ≡ 18 (mod 22): gcd(16,22)=2. 2|18? SI. Risolubile.
- 36X ≡ 45 (mod 63): gcd(36,63)=9. 9|45? SI (45/9=5). Risolubile.
- 10X ≡ 7 (mod 55): gcd(10,55)=5. 5|7? NO (7/5 non e' intero). NON risolubile. ✓
- 11X ≡ 36 (mod 70): gcd(11,70)=1. 1|36? SI. Risolubile.
- 26X ≡ 14 (mod 81): gcd(26,81)=1. 1|14? SI. Risolubile. RISPOSTA: 3. gcd(10,55)=5 e 5 non divide 7. Soluzione Domanda 10 Risposta corretta: 1 — 10 Argomento: Gruppi — ordine di un elemento g^26 = g^2 → g^24 = id → ord(g) divide 24. I divisori di 24 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Cerco il valore che NON e' un divisore di 24:
- 10: 24/10 = 2.4. NON divide 24. → IMPOSSIBILE. ✓
- 24: divide 24. Possibile.
- 6: divide 24. Possibile.
- 2: divide 24. Possibile.
- 8: divide 24. Possibile. RISPOSTA: 1. Il periodo 10 non puo' essere, perche' 10 non divide 24.
Il tuo punteggio: _____ / 10
0-5: ripassa gli argomenti sbagliati | 6-7: sulla buona strada! | 8-10: ottimo! In bocca al lupo per il 1 luglio! 📋
