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MATEMATICA DISCRETA
Simulazione Quiz — Sessione 5: SFIDA FINALE — Stile esame 1 luglio
10 domande • Tempo consigliato: 30 minuti • Obiettivo: 6/ NOME:
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📋 ISTRUZIONI Una sola risposta corretta per domanda. Corretta: +1pt. Errata o non data: 0pt. Obiettivo minimo: 6/10. Riporta le risposte nella griglia, poi controlla a fine file. Griglia delle risposte: Dom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Risp.
DOMANDE
Domanda 1 Sia S = {a, e, i, o, u}. Quale delle seguenti affermazioni e' VERA?
- a ⊂ S
- {e,u} ∈ S
- {e,o} ⊂ S
- ∅ ∈ S
- {i,j} ⊂ S Domanda 2 Siano A = {1,2,3} e B = {x,y,z}. Quale e' VERA?
- (2,2,t) ∈ A×A×B
- (z,1,1) ∉ B×A×A
- (2,x,1) ∈ A×B×A
- (x,3,z) ∈ B×B×A
- (y,3,x) ∉ B×A×B Domanda 3
Sia F: Z×Z → Z la funzione F(m,n) = |m-n|. Quale e' VERA?
- F^-1(5) = ∅
- F(m,0) = m per ogni m∈Z
- F(m,n) = F(n,m) per ogni m,n∈Z
- F e' iniettiva
- F e' suriettiva Domanda 4 Siano A e B insiemi con |A|=10, |B|=8, A∩B=∅. Quanti sono i sottoinsiemi di A∪B formati da 3 elementi di A e 5 di B?
- 3! + 5!
- (10!/3!) × (8!/5!)
- C(18,8)
- C(10,3) × C(8,5)
- C(10,3) + C(8,5) Domanda 5 Di una certa permutazione π sappiamo che π^16 = π^4. Quale delle situazioni NON e' possibile?
- π ha tipo (4,4)
- π e' un ciclo di lunghezza 8
- π e' un ciclo di lunghezza 6
- π ha tipo (4,3)
- π ha tipo (2,2,2,2) Domanda 6 Quale delle seguenti e' la scrittura binaria del numero 83?
- 1101011
- 1001101
- 1000111
- 1100111
- 1010011 Domanda 7 Quale tra le classi seguenti genera (Z90, +)?
- 32
- 77
SOLUZIONI E SPIEGAZIONI
📋 ULTIMA SIMULAZIONE PRIMA DELL'ESAME! Queste domande sono tratte dai quiz REALI degli anni passati (giugno 2024 e gennaio 2024). Se prendi 6+ qui, sei pronto per il 1 luglio. In bocca al lupo! 🍀 Soluzione 1 — Insiemi 📋 Risposta corretta: 3 — {e,o} ⊂ S S = {a,e,i,o,u}.
- a ⊂ S: FALSO. a e' un elemento, non un insieme.
- {e,u} ∈ S: FALSO. {e,u} e' un sottoinsieme, non un elemento.
- {e,o} ⊂ S: VERO. e∈S ✓ e o∈S ✓ ✓.
- ∅ ∈ S: FALSO. ∅ non e' elencato come elemento di S.
- {i,j} ⊂ S: FALSO. j non e' in S. Soluzione 2 — Prodotto cartesiano 📋 Risposta corretta: 3 — (2,x,1) ∈ A×B×A A={1,2,3}, B={x,y,z}. t non e' definito, quindi t∉A e t∉B.
- (2,2,t)∈A×A×B: t∈B? t non definito. FALSO.
- (z,1,1)∉B×A×A: z∈B ✓, 1∈A ✓, 1∈A ✓→ CI STA. ∉ e' FALSA.
- (2,x,1)∈A×B×A: 2∈A ✓, x∈B ✓, 1∈A ✓. VERO. ✓
- (x,3,z)∈B×B×A: 3∈B? NO. FALSO.
- (y,3,x)∉B×A×B: y∈B ✓, 3∈A ✓, x∈B ✓→ CI STA. ∉ e' FALSA. Soluzione 3 — Funzioni 📋 Risposta corretta: 3 — F(m,n) = F(n,m) per ogni m,n F(m,n) = |m-n|.
- F^-1(5)=∅: F(5,0)=5. Non vuoto. FALSO.
- F(m,0)=m: |m-0|=|m|. Se m<0: |m|=-m≠m. FALSO.
- F(m,n)=F(n,m): |m-n|=|n-m|. SEMPRE VERO. ✓
- F iniettiva: F(1,0)=1 e F(0,1)=1. Non iniettiva. FALSO.
- F suriettiva: F≥0 sempre, -1 non raggiunto. FALSO. Soluzione 4 — Combinatorio 📋 Risposta corretta: 4 — C(10,3) × C(8,5)
Scelgo 3 da A E 5 da B. Ordine non conta → combinazioni. C(10,3) × C(8,5). ✓ C(10,3) = 120, C(8,5) = 56. Totale = 6720. Errori comuni: somma invece di prodotto; formule con fattoriali sbagliati. Soluzione 5 — Permutazioni — tipo impossibile 📋 Risposta corretta: 3 — ciclo di lunghezza 6 π^16 = π^4 → π^12 = id → ord(π) divide 12. Divisori di 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Tipo (4,4): ord=4. 4|12. Possibile.
- Ciclo lung. 8: ord=8. 8|12? NO. Impossibile!
- Ciclo lung. 6: ord=6. 6|12. Possibile.
- Tipo (4,3): ord=mcm(4,3)=12. 12|12. Possibile.
- Tipo (2,2,2,2): ord=2. 2|12. Possibile. Ciclo di lunghezza 8 ha ord=8. 8 non divide 12. IMPOSSIBILE. Risposta: 2. Soluzione 6 — Aritmetica — binario 📋 Risposta corretta: 5 — 1010011 Converto 83 in binario: 83/2=41 r.1, 41/2=20 r.1, 20/2=10 r.0, 10/2=5 r.0, 5/2=2 r.1, 2/2=1 r.0, 1/2=0 r. Dal basso: 1010011. Verifica: 64+16+2+1 = 83. ✓ Soluzione 7 — Gruppi — generatori 📋 Risposta corretta: 2 — 77 [k] genera Z90 ⟺gcd(k,90)=1. 90 = 2×3^2×5. k non deve essere multiplo di 2, 3 o 5.
- 32: pari. No.
- 77=7×11: non mult. di 2,3,5. gcd(77,90)=1. GENERA. ✓
- 39=3×13: mult. di 3. No.
- 15=3×5: mult. di 3 e 5. No.
- 55=5×11: mult. di 5. No. Soluzione 8 — Aritmetica — inverso 📋 Risposta corretta: 5 — 4 4^-2 in Z21 = (4^2)^-1. 4^2 = 16. Inverso di 16 in Z21: cerco x con 16x ≡ 1 (mod 21).
