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La concentrazione

Università di Napoli Federico II - Facoltà di Economia

Anno accademico 2012- ’ 13

Corso di

Statistica (A-K)

marco gherghi [email protected]

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi

La concentrazione studia come un carattere quantitativo e trasferibile si

distribuisce tra le unità che lo possiedono;

ü

Si ha concentrazione minima quando l’ammontare complessivo della

variabile è ripartito in ugual misura tra tutte le unità che, quindi, detengono un

ammontare pari alla media aritmetica;

ü

Si ha concentrazione massima quando l’ammontare complessivo della

variabile è detenuto da un’unica unità statistica (che ha, quindi, n volte la

media aritmetica) mentre le rimanenti ( n -1) unità hanno nulla;

ü

Un indice di concentrazione misura la concentrazione nei casi reali, in

rapporto a questi due casi limite.

ü

La concentrazione

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi i

i

p

n

Frazione cumulata dei

primi i redditieri

1 1 i j j i (^) n j j

x

q

x

=

∑ ∑ Frazione cumulata del reddito posseduto dai

primi i redditieri

Esempio: il Reddito

qi

pi

Le osservazioni vanno ordinate in

senso non decrescente:

x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x n Equiripartizione: Massima concentrazione: p i = qi ∀ i

q

1

= q

2

= … = q

n − 1

p 2 pn − 1 1

q 1 q 2 p 1

qn − 1

Retta di equiripartizione Spezzata di massima concentrazione La concentrazione: il diagramma di Lorenz

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi i

i

p

n

Frazione cumulata dei

primi i redditieri

1 1 i j j i (^) n j j

x

q

x

=

∑ ∑ Frazione cumulata del reddito posseduto dai

primi i redditieri

Esempio: il Reddito

qi

pi

Le osservazioni vanno ordinate in

senso non decrescente:

x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x n Equiripartizione: Massima concentrazione: p i = qi ∀ i 1 2 1 0 n q q q − = = K = =

p 1 p 2 pn − 1 1

q 1 q 2

qn − 1

Area di

concentrazione

Situazioni reali: q

1

≤ q

2

≤ … ≤ q

n − 1

La concentrazione: il diagramma di Lorenz

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi

Esempio: il Reddito

qi

pi

Le osservazioni vanno ordinate in

senso non decrescente:

x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x n

p 1 p 2 pn − 1 1

q 1 q 2

qn − 1

Area di

concentrazione

Il rapporto di concentrazione

del Gini (rapporto tra segmenti)

La concentrazione: gli indici p i − q i Rappresenta la differenza tra il valore della q in caso di equiripartizione (uguale al corrispondente valore di p ) e il valore q osservato. E’, dunque, una misura assoluta di quanto ci si “allontana” dalla situazione teorica di equiripartizione. ( ) 1 1 1 1 n i i i n i i

p q

R

p

−

−

∑ ∑ p i − q i p i E’ una misura normalizzata della misura precedente, in quanto ottenuta rapportando la stessa al suo massimo valore possibile.

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi

Esempio: il Reddito

qi

pi

Le osservazioni vanno ordinate in

senso non decrescente:

x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x n

p 1 p 2 pn − 1 1

q 1 q 2

qn − 1

Area di

concentrazione

Il rapporto di concentrazione

del Gini (rapporto tra segmenti)

R =

p

i

− q

( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑

p

i i = 1 n − 1 ∑ … La concentrazione: gli indici

Indice

normalizzato

0 ≤ R ≤ 1

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi ( ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑ Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004 La concentrazione TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) Rete 1 1. Rete 2 1. Rete 3 1. Rete 4 697 Rete 5 1. Rete 6 1. Rete 7 1. Rete 8 461 Rete 9 339 11. Individuiamo le p

i

e le q

i

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi Individuiamo le p

i

e le q

i

( ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑ La concentrazione TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) Rete 1 1. Rete 2 1. Rete 3 1. Rete 4 697 Rete 5 1. Rete 6 1. Rete 7 1. Rete 8 461 Rete 9 339 11. Prima, ordiniamo i dati Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑ TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑ TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑ ( ) 1 1 1 1 n i i i n i i

p q

R

p

−

−

∑ ∑

TV

Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑

= 0, ( ) 1 1 1 1 n i i i n i i

p q

R

p

−

−

∑ ∑

TV

Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑

2 1 2, 8 = − × = 0, = 1 − 0,7116 =0, ( ) 1 1 1 1 n i i i n i i

p q

R

p

−

−

∑ ∑ 1 1

n i i

R q

n

−

∑

TV

Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004

m. gherghi Lezione 5 – La Concentrazione m. gherghi La variabilità reciproca TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) Rete 1 1. Rete 2 1. Rete 3 1. Rete 4 697 Rete 5 1. Rete 6 1. Rete 7 1. Rete 8 461 Rete 9 339 11. TV Rete 1 Rete 2 Rete 3 Rete 4 Rete 5 Rete 6 Rete 7 Rete 8 Rete 9 Rete 1 0 32 365 1.192 -105 91 569 1.428 1. Rete 2 -32 0 333 1.160 -137 59 537 1.396 1. Rete 3 -365 -333 0 827 -470 -274 204 1.063 1. Rete 4 -1.192 -1.160 -827 0 -1.297 -1.101 -623 236 358 Rete 5 105 137 470 1.297 0 196 674 1.533 1. Rete 6 -91 -59 274 1.101 -196 0 478 1.337 1. Rete 7 -569 -537 -204 623 -674 -478 0 859 981 Rete 8 -1.428 -1.396 -1.063 -236 -1.533 -1.337 -859 0 122 Rete 9 -1.550 -1.518 -1.185 -358 -1.655 -1.459 -981 -122 0

9 8

×

( ) 1

n i j i j

x x

n n

≠ =

∑ 0 ≤ Δ ≤ 2 μ

R

μ

Δ (^) 761,