Marina Marino
Anno accademico 2016-’17
www.docenti.unina.it/marina.marino
mari@unina.it
Lezione:Argomento:La Concentrazione4
Corso di
Elementi di Statistica
Corso di laurea in Culture Digitali e della Comunicazione
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La concentrazione nella statistica, Slide di Statistica
Statistica. Slide Prof. Marino Marina, Culture digitali e della comunicazione, Federico II di Napoli.
Tipologia: Slide
2018/2019
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Marina Marino
Anno accademico 2016-’
www.docenti.unina.it/marina.marino [email protected]
Lezione: Argomento:
4 La Concentrazione Corso di
Elementi di Statistica
Corso di laurea in Culture Digitali e della Comunicazione
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino
La concentrazione studia come un carattere quantitativo e trasferibile si
distribuisce tra le unità che lo possiedono;
ü
Si ha concentrazione minima quando l ’ ammontare complessivo della
variabile è ripartito in ugual misura tra tutte le unità che, quindi, detengono un
ammontare pari alla media aritmetica;
ü
Si ha concentrazione massima quando l’ammontare complessivo della
variabile è detenuto da un’unica unità statistica (che ha, quindi, n volte la
media aritmetica) mentre le rimanenti ( n - 1 ) unità hanno nulla;
ü
Un indice di concentrazione misura la concentrazione nei casi reali, in
rapporto a questi due casi limite.
ü La concentrazione
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino i i p n = Frazione cumulata dei
primi i redditieri
1 1 i j j i (^) n j j
x
q
x
=
å å Frazione cumulata del reddito posseduto dai
primi i redditieri
Esempio: il Reddito qi pi
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x n Equiripartizione: Massima concentrazione: i i p = q " i
q
1
= q
2
= … = q
n − 1
p 2 1
p 1 pn - 1
Retta di equiripartizione Spezzata di massima concentrazione La concentrazione: il diagramma di Lorenz q 1 = ... = q n − 1 0 q n p n
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino i i p n = Frazione cumulata dei
primi i redditieri
1 1 i j j i (^) n j j
x
q
x
=
å å Frazione cumulata del reddito posseduto dai
primi i redditieri
Esempio: il Reddito qi pi
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x n Equiripartizione: Massima concentrazione: i i p = q " i
q
1
= q
2
= … = q
n − 1
p 1 p 2 pn - 1 1
q 1 q 2
qn - 1
Area di
concentrazione
Situazioni reali: q
1
≤ q
2
≤ … ≤ q
n − 1
La concentrazione: il diagramma di Lorenz
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino Esempio: il Reddito qi pi
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x n
p 1 p 2 pn - 1 1
q 1 q 2
qn - 1
Area di
concentrazione
Il rapporto di concentrazione del Gini (rapporto tra segmenti) R = p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ … La concentrazione: gli indici Indice normalizzato 0 ≤ R ≤ 1
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino Esempio: il Reddito qi pi
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x n
p 1 p 2 pn - 1 1
q 1 q 2
qn - 1
Area di
concentrazione
Il rapporto di concentrazione del Gini (rapporto tra segmenti) R = 1 − 2 n − 1 q i i = 1 n − 1 …^ ∑ La concentrazione: gli indici R = p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ Formula alternativa
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino ( ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p
=
=
= å å 1 1 2 1 1 n i i q n
= = -
å Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004 La concentrazione TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) Rete 1 1. Rete 2 1. Rete 3 1. Rete 4 697 Rete 5 1. Rete 6 1. Rete 7 1. Rete 8 461 Rete 9 339 11. Individuiamo le pi e le qi
- Quanto valgano le pi?
- Quanto valgano le qi? Bisogna ordinare prima i dati
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino La concentrazione TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) Rete 9 339 Rete 8 461 Rete 4 697 Rete 7 1. Rete 3 1. Rete 6 1. Rete 2 1. Rete 1 1. Rete 5 1. 11. ( ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p
=
=
= å å 1 1 2 1 1 n i i q n
= = -
å Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004 Individuiamo le pi e le qi
- Quanto valgano le pi?
- Quanto valgano le qi? Tabella ordinata
- Chi sono le pi?
- Chi sono le qi? Le Reti (i ‘possessori’ del bene) Gli Introiti pubblicitari (il ‘bene’ da ripartire)
Università di Napoli Federico II, a.a. 2016- ’ 17, Corso di Elementi di Statistica Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p
=
=
= å å 1 1 2 1 1 n i i q n
= = -
å Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004 1414 Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2014- 15, CLEC, Corso di Statistica (A-K) Lezione L05 – La Concentrazione m. gherghi La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑ TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004
Quanto vale q 1?
Il valore di qi esprime la frazione cumulata della quantità del carattere detenuto dalle prime i reti più “povere”. Avremo quindi:
q
1
x
1
x
i i ∑
Quanto vale q 2?
Per q 2 (e poi per tutte le qi successive) il discorso è analogo; bisogna solo ricordare che parliamo di quantità cumulate. Quindi avremo:
q
2
x
1
+ x
2
x
i i ∑
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2014- 15, CLEC, Corso di Statistica (A-K) Lezione L05 – La Concentrazione m. gherghi La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑ TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004
Quanto vale q 1?
Il valore di qi esprime la frazione cumulata della quantità del carattere detenuto dalle prime i reti più “povere”. Avremo quindi:
q
1
x
1
x
i i ∑
Quanto vale q 2?
Per q 2 (e poi per tutte le qi successive) il discorso è analogo; bisogna solo ricordare che parliamo di quantità cumulate. Quindi avremo:
q
2
x
1
+ x
2
x
i i ∑
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2014- 15, CLEC, Corso di Statistica (A-K) Lezione L05 – La Concentrazione m. gherghi La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑ TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004
Quanto vale q 1?
Il valore di qi esprime la frazione cumulata della quantità del carattere detenuto dalle prime i reti più “povere”. Avremo quindi:
q
1
x
1
x
i i ∑
Quanto vale q 2?
Per q 2 (e poi per tutte le qi successive) il discorso è analogo; bisogna solo ricordare che parliamo di quantità cumulate. Quindi avremo:
q
2
x
1
+ x
2
x
i i ∑
Quanto vale q 1?
Il valore di qi esprime la frazione cumulata
della quantità del carattere detenuto dalle i
reti più “povere”. Avremo quindi:
Quanto vale q 2?
Per q 2 (e poi per tutte le qi successive) il discorso
è analogo; bisogna solo ricordare che parliamo
di quantità cumulate. Quindi avremo:
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2014- 15, CLEC, Corso di Statistica (A-K) Lezione L05 – La Concentrazione m. gherghi La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p − = − = − = ∑ ∑ 1 1 2 1 1 n i i q n − = = − − ∑ TV Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino La concentrazione (^ ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p
=
=
= å å 1 1 2 1 1 n i i q n
= = -
å
= 1 - 0,7116 =0, ( ) 1 1 1 1 n i i i n i i p q R p
=
=
= å å 1 1
n i i
R q
n
=
å 1 2
TV
Introiti pubblicitari (in milioni di euro) pi qi pi-qi Rete 9 339 0,11 0,0285 0, Rete 8 461 0,22 0,0673 0, Rete 4 697 0,33 0,1260 0, Rete 7 1.320 0,44 0,2371 0, Rete 3 1.524 0,56 0,3654 0, Rete 6 1.798 0,67 0,5168 0, Rete 2 1.857 0,78 0,6731 0, Rete 1 1.889 0,89 0,8321 0, Rete 5 1. 11.879 4,00 2,8465 1, Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica , 2004
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino La concentrazione come rapporto tra aree qi p 1 p 2 (^) pn (^) - 1 1 pi q 1 q 2
qn - 1
La concentrazione per dati raggruppati …
Area del triangolo
rettangolo isoscele di
lato unitario:
Oltre che come rapporto tra segmenti, la
concentrazione può anche essere calcolata come
rapporto tra aree , e precisamente tra l’area di
concentrazione e il suo valore massimo, ottenendo
così, anche in questo caso, un indice normalizzato.
1 × 1 2 = 1 2
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino La concentrazione come rapporto tra aree qi p 1 p 2 (^) pn (^) - 1 1 pi q 1 q 2
qn - 1
La concentrazione per dati raggruppati …
Oltre che come rapporto tra segmenti, la
concentrazione può anche essere calcolata come
rapporto tra aree , e precisamente tra l’area di
concentrazione e il suo valore massimo, ottenendo
così, anche in questo caso, un indice normalizzato.
L’ area di concentrazione non può essere
calcolata direttamente, ma può facilmente essere
ricavata per differenza , sottraendo all’ area del
triangolo rettangolo isoscele di lato unitario (che
è pari ad ½, essendo base e altezza pari a 1 per
costruzione) quella sottostante all’area di
concentrazione stessa, che, come è facile
osservare, è pari alla somma delle aree di n
trapezi (in realtà, n- 1 trapezi e un triangolo, che
può comunque esser considerato un trapezio
degenere con la base minore pari a zero).
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino qi p 1 p 2 (^) pn (^) - 1 1 pi q 1 q 2
qn - 1
( )
- (^) å AreeTrapezi
Area di concentrazione:
Area Trapezio:
( ) 2 BASE + base × h
p i pi + 1
q i
qi + 1
( 1 ) ( 1 ) 2 q i (^) + + qi × pi (^) + - pi =
Totale Aree Trapezi:
( ) ( ) 1 1 1
n i i i i i
- (^) q (^) + q p (^) + p =
+ × -
å
Area concentrazione:
( ) ( ) 1 1 1 0
n i i i i i
- (^) q (^) + q p (^) + p =
+ × -
- (^) å
Rapporto di
concentrazione:
Area di concentrazione
Area massima
La concentrazione per dati raggruppati La concentrazione come rapporto tra aree
Lezione 5 – La Concentrazione M. Marino ( )
- (^) å AreeTrapezi
Area di concentrazione:
Area Trapezio:
( ) 2 BASE + base × h (^1 )^ (^1 ) 2 q i (^) + + qi × pi (^) + - pi =
Totale Aree Trapezi:
( ) ( ) 1 1 1
n i i i i i
- (^) q (^) + q p (^) + p =
+ × -
å
Area concentrazione:
( ) ( ) 1 1 1 0
n i i i i i
- (^) q (^) + q p (^) + p =
+ × -
- (^) å
Rapporto di
concentrazione:
Area di concentrazione
Area massima
Area massima:^1
p n in
n
- ×^ -
La concentrazione per dati raggruppati qi p 1 p 2 (^) pn (^) - 1 1 pi q 1 q 2
qn - 1
p i pi + 1
q i
qi + 1
La concentrazione come rapporto tra aree N.B .- Quando n è grande, l’n- 1 esimo soggetto si troverà quasi al limite del triangolo monometrico, e il triangolo scaleno di concentrazione massima sarà, di fatto, un triangolo rettangolo, risultando la sua area circa pari ad ½.