Problema di matematica sulla probabilita', Sintesi del corso di Matematica

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Esame di Stato - Liceo Scientifico

Prova scritta di Matematica – 23 giugno 201 6

Problema 1

Soluzione a cura di Laura Rossi

Soluzione

Punto 1

La famiglia di funzioni che meglio può descrivere il profilo laterale del serbatoio per 𝑥 ∈ [− 1 , 1 ] è

1

𝑘

.

Escludo infatti 𝑓

3

2

• 1 poiché 𝑓

= 0 per 𝑘 = 1 (l’unica funzione della

famiglia passante per ( 1 , 0 ) corrisponde a tale valore di 𝑘) e la funzione corrispondente

3

2

− 4 |𝑥| + 1 per 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 non è decrescente come invece previsto dal modello:

infatti 𝑓

′

2

• 18 𝑥 − 4 il cui segno è:

′

′

quindi 𝑦 = 𝑓(𝑥) è decrescente da 0 a

1

3

poi crescente da

1

3

a

2

3

e infine decrescente da

2

3

a 1.

Escludo anche 𝑓

𝜋

2

𝑘

) poiché è derivabile in 𝑥 = 0.

Punto 2

Si trova che il valore richiesto è 𝑘 = 5 come di seguito spiegato.

Studio la funzione 𝑓(𝑥) = ( 1 − |𝑥|)

1

5 con 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ossia 𝑓(𝑥) = ( 1 − 𝑥)

1

5 con 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.

non è direttamente proporzionale a z perché la funzione V(z) non è lineare. Tuttavia per valori di

z molto piccoli (vicini a 0), l’andamento è quasi lineare essendo 𝑧

6

trascurabile rispetto a z, tuttavia il

fattore di proporzionalità è diverso da 1.

In figura l’andamento in rosso della funzione 𝑦 = 𝑉(𝑧) con 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 a confronto con la funzione

𝑦 = 100 𝑧 con 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 (la funzione si calcola facendo 𝑦 =

100 ∙𝑧 𝑖𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖

1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

quindi restituisce un numero

puro)

Usando il livello z come indicatore della percentuale di riempimento commetto un errore assoluto pari

a: 𝑓

= 100 [

6

5

𝑧

6

6

) − 𝑧] = 20

6

con 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.

5

Studio il segno e trovo che 𝑓 assume valore massimo in 𝑧 = √

1

6

5

(quindi circa 0,7m); l’errore massimo

compiuto nella stima è 𝑓 (√

1

6

5

) ~ 11 ,6% (ossia con z circa 0,7m il serbatoio contiene circa 10,9m

3

di

gasolio mentre l’amministratore stimerebbe circa 9,3 m

3

commettendo un errore assoluto di circa 1,

m

3

corrispondente a circa l’11,6%).

Giudizio sul problema 1

Livello di difficoltà:

 Basso  Medio  Alto

Si tratta di un problema

contestualizzato

 No  In modo forzato

 In modo

accettabile

 Ben

contestualizzato

L’argomento è presente

nelle Indicazioni Nazionali

per i Licei Scientifci?

 Sì

 No

 Non è esplicitato/Non è

chiaro

Di solito, viene svolto?

 Sì  No  Non sempre

È un argomento presente

nei libri di testo?

 Mai  Non sempre

 Sempre

Formulazione:  Scorretta  Ambigua

 Poco

chiara

 Corretta

 Molto

chiara

Verifica

conoscenze/abilità/

 Sì

 Solo parzialmente  No

competenze

fondamentali?