Interpolazione e estrapolazione in Statistica: spiegazione e calcoli, Dispense di Statistica

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Lezione 8

Corso di Statistica

Francesco Lagona

Università Roma Tre

Outline

(^1) Interpolazione ed estrapolazione

Interpolazione ed estrapolazione

y = 2_._ 74 + 0_._ 49 x

3 4 5 6 7 8 9

3

4

5

6

7

8

x

y

x = 5_._ 8 ⇒ ˆ y 5_._ 8 = 2_._ 74 + 0_._ 49 × 5_._ 8 = 5_._ 57

x = 3_._ 5 ⇒ ˆ y 3_._ 5

= 2. 74 + 0. 49 × 3. 5 = 4. 45

x = 8_._ 5 ⇒ ˆ y 8_._ 5 = 2_._ 74 + 0_._ 49 × 8_._ 5 = 6_._ 89

Interpolazione ed estrapolazione

y i

= ˆ y i

• ε i

x i

y i

y ˆ i

ε i

devianza 17.37 14.13 3.

∑

( y i − y ¯ )

2

∑

(ˆ y i − ¯ y )

2

∑

ε

2

i

decomposizione della devianza

devianza residua

devianza residua = ( 1 − r

2

xy

) × devianza totale

n ∑

i= 1

ε

2

i

n ∑

i= 1

( y i

− y ˆ i

2

n ∑

i= 1

( y i

− ˆ a −

bx i

2

n ∑

i= 1

( y i

− y ¯ + ˆ b ¯ x −

bx i

2

n ∑

i= 1

( y i

− y ¯ )

2

• ˆ b

2

n ∑

i= 1

( x i

− ¯ x )

2 − 2

b

n ∑

i= 1

( y i

− ¯ y )( x i

− x ¯ )

n ∑

i= 1

( y i

− y ¯ )

2

• ( n − 1 )

s

2

xy

s

2

x

− 2 ( n − 1 )

s

2

xy

s

2

x

n ∑

i= 1

( y i

− y ¯ )

2

− ( n − 1 )

s

2

xy

s

2

x

n ∑

i= 1

( y i

− ¯ y )

2

−

( n ∑

i= 1

( y i

− y ¯ )

2

)

s

2

xy

s

2

x

s

2

y

(

n ∑

i= 1

( y i − y ¯ )

2

)

( 1 − r

2

xy

decomposizione della devianza

decomposizione della devianza

devianza residua:

∑ n

i= 1

ε

2

i

= ( 1 − r

2

xy

(∑ n

i= 1

( y i

− ¯ y )

2

)

devianza spiegata:

∑ n

i= 1

(ˆ y i

− ¯ y )

2 = r

2

xy

(∑ n

i= 1

( y i

− y ¯ )

2

)

devianza totale:

n ∑

i= 1

( y i − y ¯ )

2

= ( 1 − r

2

xy

(

n ∑

i= 1

( y i − y ¯ )

2

)

• r

2

xy

(

n ∑

i= 1

( y i − y ¯ )

2

)

la bontà di adattamento della retta può essere quindi misurata

dall’indice

r

2

xy

devianza spiegata

devianza totale