Baixe Calculo III: Integrais Triplas em Coordenações Polares - Cilíndricas e Esfericas e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
C´alculo III
Departamento de Matem´atica - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha
Integrais Triplas em Coordenadas Polares
Na aula 3 discutimos como usar coordenadas polares em integrais duplas, seja pela regi˜ao ser mais bem adaptada a este sistema, seja pela fun¸c˜ao ficar melhor escrita assim. Retornamos agora a este assunto para as integrais triplas com a mesma motiva¸c˜ao, mas com mais alternativas. Agora temos dois sistemas diferentes de coordenadas polares a tratar: as cil´ındricas e as esf´ericas.
5.1 Coordenadas Cil´ındricas
A primeira generaliza¸c˜ao tridimensional das coordenadas polares que vamos trabalhar s˜ao as chamadas coordenadas polares cil´ındricas, ou, simplesmente, coordenadas cil´ındricas. Em palavras, esse sistema de coordenadas trata um plano do R^3 em coordenadas polares e chama de z o eixo ortogonal a este. Cada ponto ´e descrito pela tripla (r, θ, z). Se escolhemos a origem de um sistema cartesiano no p´olo das coordenadas polares, mantemos a mesma conven¸c˜ao de fazer θ = 0 corresponder `a semi-reta da parte positiva do eixo x e fazemos os eixos z das coordenadas cartesianas e das cil´ındricas coincidirem (e at´e por isso ´e convencional usar-se a mesma letra), a mudan¸ca de coordenadas toma a forma:
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z.
Novamente, vocˆe deve tentar fazer uma figura para entender o que se passa.
5.1.1 Regi˜oes Fundamentais
J´a deve ter ficado claro que a maneira mais simples de fazer parti¸c˜oes de uma regi˜ao ´e fazer parti¸c˜oes nos intervalos das vari´aveis que as definem. Queremos
ent˜ao entender como s˜ao as regi˜oes que, em coordenadas cil´ındricas, s˜ao definidas por
P = {(r, θ, z) : R 1 ≤ r ≤ R 2 , Θ 1 ≤ θ ≤ Θ 2 , Z 1 ≤ z ≤ Z 2 } ,
onde Ri, Θi e Zi s˜ao constantes. O primeiro passo ´e entendermos como s˜ao os limites desta regi˜ao, ou seja, o que significam as equa¸c˜oes r = Ri, θ = Θi e z = Zi. A primeira equa¸c˜ao representa um cilindro (circular reto) de raio Ri e centrado no eixo z; a segunda representa um semi-plano que parte do eixo z com o valor Θi definido; a terceira ´e um plano, paralelo ao plano z = 0, mas na “altura” Zi. A figura que poder´ıamos chamar de “paralelep´ıpedo cil´ındrico” (mas essa nomenclatura n˜ao ´e muito usual) ´e uma generaliza¸c˜ao natural dos retˆangulos polares que estudamos na aula 3. Constitui o s´olido que pode ser visto como um “prisma” de altura ∆z = Z 2 − Z 1 e base o retˆangulo polar de abertura ∆θ = Θ 2 − Θ 1 , raio menor R 1 e raio maior R 2. O volume deste “paralelep´ıpedo” ´e
∆V =
R 22 − R^21
∆θ ∆z,
que pode ser reescrito como
∆V = ¯r ∆r ∆θ ∆z,
onde ¯r = 12 (R 2 + R 1 ) ´e o raio m´edio e ∆r = R 2 − R 1. Note que h´a alguns casos degenerados, mas importantes, da constru¸c˜ao acima, como R 1 = 0 ou ∆θ = 2π, mas para os quais as mesmas f´ormulas continuam valendo.
5.1.2 Integrais Triplas em Paralelep´ıpedos Cil´ındricos
Com a experiˆencia do momento vocˆe j´a deve achar natural que, se quisermos resolver uma integral tripla de uma fun¸c˜ao f (x, y, z) escrita em coordenadas cartesianas em um paralelep´ıpedo cil´ındrico P , faremos uso das seguintes integrais iteradas: ∫ ∫ ∫
P
f (x, y, z) dV =
∫ Z 2
Z 1
Θ 1
∫ R 2
R 1
f (r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz.
Novamente, a ordem de integra¸c˜ao n˜ao ´e pr´e-definida, podendo ser usada como arma para tornar a integral mais simples. Al´em disso, n˜ao s˜ao s´o os “paralelep´ıpedos cil´ındricos” que servem como regi˜ao de integra¸c˜ao.
ˆangulos ´e manter o mesmo θ das coordenadas cil´ındricas (que geograficamente ´e a longitude) e trabalhar com um ˆangulo φ medido a partir do semi-eixo z > 0 das coordenadas cil´ındricas (muitas vezes chamado de co-latitude). Naturalmente para cobrir todas as dire¸c˜oes ser´a suficente usar θ ∈ [0, 2 π] e φ ∈ [0, π]. Com essas escolhas, e chamando de ρ (lˆe-se rˆo) a distˆancia ao p´olo, teremos a seguinte mudan¸ca de coordenadas entre esf´ericas e cil´ındricas:
z = ρ cos φ, r = ρ sen φ, θ = θ,
que leva `a seguinte rela¸c˜ao entre polares esf´ericas e cartesianas (com as con- ven¸c˜oes j´a discutidas)
x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ.
E importante notar que com essas escolhas, alguns pontos s˜^ ´ ao descritos maneira amb´ıgua. Por exemplo, para todo ponto do eixo z, o ˆangulo θ ´e arbitr´ario. Al´em disso, pontos com θ = 0 ou com θ = 2π coincidem. Voltaremos a esta quest˜ao mais adiante, para explicar porque isso n˜ao ´e um problema para integra¸c˜ao.
5.2.1 Regi˜oes Fundamentais
Novamente queremos entender as superf´ıcies que obtemos fazendo cada uma das vari´aveis constantes. Se ρ = R, teremos uma esfera de raio R, que d´a nome ao sistema de coordenadas. Se θ = Θ teremos o mesmo semi-plano das coordenadas cil´ındricas. Por fim, se φ = Φ reconheceremos um cone (circular reto), com eixo coincidindo com o eixo z, no caso geral, com algumas situa¸c˜oes degeneradas: φ = 0 e φ = π s˜ao semi-retas e φ = π 2 ´e o plano z = 0. Calcular o volume de uma regi˜ao dada por
R = {(ρ, φ, θ) : R 1 ≤ ρ ≤ R 2 , Φ 1 ≤ φ ≤ Φ 2 , Θ 1 ≤ θ ≤ Θ 2 }
´e um bom exerc´ıcio de geometria. N˜ao vamos resolvˆe-lo aqui. Vamos apenas indicar a f´ormula para o elemento de volume em coordenadas esf´ericas, discu- tir seu significado geom´etrico e apontar para a quest˜ao geral de trabalhar em qualquer sistema de coordenadas, que ser´a nosso assunto na pr´oxima aula.
5.2.2 Integrais Triplas em Coordenadas Esf´ericas
Se quisermos resolver uma integral tripla na regi˜ao descrita acima (um “pa- ralelep´ıpedo esf´erico”, por que n˜ao?) podemos usar as seguintes integrais iteradas: (^) ∫ ∫ ∫
R
f (x, y, z) dV = ∫ (^) Θ 2
Θ 1
Φ 1
∫ R 2
R 1
f (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ) ρ^2 sen φ dρ dφ dθ,
onde os termos ρ^2 e sen φ podem ser entendidos da seguinte maneira: o termo ρ^2 ´e fundamental para que tenhamos um elemento de volume, j´a que as coor- denadas esf´ericas s˜ao definidas em termos de dois ˆangulos e um comprimento (do mesmo modo que o r nas coordenadas polares e cil´ındricas era essencial); o termo sen φ tem um apelo geom´etrico claro: as mesmas varia¸c˜oes em φ e θ geram ´areas muito diferentes em uma esfera se elas s˜ao feitas pr´oximas aos p´olos ou pr´oximas ao equador. Como sen φ ´e pequeno pr´oximo dos p´olos e grande pr´oximo ao equador, ele traz este aspecto para o elemento de volume. Por fim, ´e este termo que faz n˜ao ser grave o fato dos pontos do eixo z serem descritos por qualquer valor de φ: o termo sen φ faz com que estes pontos n˜ao colaborem para a integral.
5.3 Discuss˜ao Geral
A ´ultima li¸c˜ao que deve ser tomada j´a foi discutida nas integrais duplas em coordenadas polares e ser´a nosso assunto na pr´oxima aula te´orica: todo problema de integral m´ultipla ´e constitu´ıdo de trˆes ingredientes b´asicos: a fun¸c˜ao a ser integrada, que precisa ser escrita com respeito as vari´aveis es- colhidas; a regi˜ao de integra¸c˜ao, que determina os limites de integra¸c˜ao e imp˜oe restri¸c˜oes quantoa ordem em que se resolvem as integrais iteradas; e o elemento de volume, que traduz quanto volume (ou ´area) ´e representado por uma varia¸c˜ao infinitesimal padr˜ao nas vari´aveis utilizadas. Na pr´oxima aula veremos como isso se d´a no caso geral de mudan¸ca de coordenadas e, como exemplo particular, deduziremos o elemento de volume das coordenadas polares esf´ericas.
