Baixe 2 - Matemática e Raciocínio Lógico e outras Notas de estudo em PDF para Direito, somente na Docsity!
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MATEMÁTICA: CONJUNTOS NUMÉRICOS:
RACIONAIS E REAIS - OPERAÇÕES,
PROPRIEDADES, PROBLEMAS
ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES
NAS FORMAS FRACIONÁRIA E DECIMAL
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q
Um número racional é o que pode ser escrito na forma (^) n
m ,
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente
de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de
m por n.
Como podemos observar, números racionais podem ser
obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela
qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q.
Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = {
n
m : m e n em Z, n diferente de zero}
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos ;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos ;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos ;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos ;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional (^) q
p , tal que p não seja múltiplo
de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do
numerador pelo denominador.
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
5
2 = 0,
4
1 = 0,
4
35 = 8,
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente.
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
3
1 = 0,333...
22
1 = 0,04545...
66
167 = 2,53030...
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:
10
9
10
57
100
76
100
348
1000
5
200
1
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:
Exemplo 1
Seja a dízima 0, 333.... Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0, Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda: 10x – x = 3,333... – 0,333... => 9x = 3 => x = 3/
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 9
3 .
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717.... Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717.... Subtraindo membro a membro, temos: 99x = 512 => x = 512/
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 99
512 .
Exemplo 3
Seja a dízima 1, 23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34....
2
Subtraindo membro a membro, temos: 990x = 1234,34... – 12,34... => 990x = 1222 =>
x = 1222/
Simplificando, obtemos x = 495
611 , a fração geratriz da dízima
1, 23434...
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que
representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: Módulo de – 2
3 é 2
3
. Indica-se 2
Módulo de + 2
3 é 2
3
. Indica-se 2
Números Opostos: Dizemos que – 2
3 e 2
3 são números
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do
outro. As distâncias dos pontos – 2
3 e 2
3 ao ponto zero da reta
são iguais.
Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito
na forma de uma fração, definimos a adição entre os números
racionais
b
a (^) e
d
c (^) , da mesma forma que a soma de frações, através
de:
b
a
d
c
bd
ad + bc
Propriedades da Adição de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a
soma de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a , b , c em Q: a + ( b + c ) = ( a +
b ) + c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe 0 em Q , que adicionado a todo q em
Q, proporciona o próprio q , isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q , existe -q em Q, tal que
q + (–q) = 0
Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria
operação de adição do número p com o oposto de q , isto é:
p – q = p + (–q)
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito
na forma de uma fração, definimos o produto de dois números
racionais b
a e d
c , da mesma forma que o produto de frações,
através de:
b
a x d
c
bd
ac
O produto dos números racionais a e b também pode ser
indicado por a × b , a x b , a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre
as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: (+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q , que multiplicado por todo q em Q , proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q = b
a em Q , q diferente de zero, existe q -1^ = a
b (^) em Q: q × q-1^ = 1 b
a (^) x
a
b (^) = 1
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q , isto é: p ÷ q = p × q-
Potenciação de Números Racionais
A potência q n do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. qn^ = q × q × q × q × ... × q, ( q aparece n vezes)
Exemplos:
a)
3
5
2
= (^)
5
2
. (^)
5
2
. (^)
5
2
125
8
b)
3
2
1
− = (^)
− 2
1
. (^)
− 2
1
. (^)
− 2
1
8
1 −
c) (–5)² = (–5). ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5). (+5) = 25
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 0
5
2
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. 1
4
9
− (^) = 4
9 −
4
8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os da
rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfal-
tar?
9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos,
desses apartamentos foi vendido e foi reservado. Assim:
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e re-
servada?
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que
não foram vendidos ou reservados?
10. Transforme em fração: a) 2, b) 1, c) 0, d) 32,
RESPOSTAS
- Solução:
a) 24
b) (^)
mmc:(4;2)=
- Solução:
10
3
2
- Solução:
8
25
16
−
- Solução:
+
− − − 4
3 : 2
1
24
13
3
- Resposta “ ”
Solução:
- Solução:
a)
b)
Respostas “ ” Solução:
Resposta “ ” Solução:
Solução:
a) b)
- Solução:
a) 2,08 →
b) 1,4 →
c) 0,017 →
d) 32,17 →
NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.
5
Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos
elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo
corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a
norma associada ao infinito.
Existem também outras conclusões dos racionais, uma para
cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos
números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada
a p!
Propriedade
O conjunto dos números reais com as operações binárias de
soma e produto e com a relação natural de ordem formam um
corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, R
tem a seguinte propriedade: Se R for dividido em dois conjuntos
(uma partição) A e B , de modo que todo elemento de A é menor
que todo elemento de B , então existe um elemento x que separa os
dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e
menor ou igual a todo elemento de B.
Ao conjunto formado pelos números Irracionais e pelos
números Racionais chamamos de conjunto dos números Reais. Ao
unirmos o conjunto dos números Irracionais com o conjunto dos
números Racionais, formando o conjunto dos números Reais, todas
as distâncias representadas por eles sobre uma reta preenchem-na
por completo; isto é, ocupam todos os seus pontos. Por isso, essa
reta é denominada reta Real.
Podemos concluir que na representação dos números Reais
sobre uma reta, dados uma origem e uma unidade, a cada ponto
da reta corresponde um número Real e a cada número Real
corresponde um ponto na reta.
Ordenação dos números Reais A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b ,
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0
Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0
Propriedades da relação de ordem
- Reflexiva: a ≤ a
- Transitiva: a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c
- Anti-simétrica: a ≤ b e b ≤ a → a = b
- Ordem total: a < b ou b < a ou a = b
Expressão aproximada dos números Reais
Os números Irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos. As operações com esta classe de números sempre produzem erros quando não se utilizam todos os algarismos decimais. Por outro lado, é impossível utilizar todos eles nos cálculos. Por isso, somos obrigados a usar aproximações, isto é, cortamos o decimal em algum lugar e desprezamos os algarismos restantes. Os algarismos escolhidos serão uma aproximação do número Real. Observe como tomamos a aproximação de e do número nas tabelas.
Aproximação por
Falta Excesso Erro menor que 1 unidade 1 3 2 4 1 décimo 1,4 3,1 1,5 3, 1 centésimo 1,41 3,14 1,42 3, 1 milésimo 1,414 3,141 1,415 3, 1 décimo de milésimo
1,4142 3,1415 1,4134 3,
Operações com números Reais Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um número Real. É assim que vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações úteis para operar com números Reais:
- Vamos tomar a aproximação por falta.
- Se quisermos ter uma idéia do erro cometido, escolhemos o mesmo número de casas decimais em ambos os números.
- Se utilizamos uma calculadora, devemos usar a aproximação máxima admitida pela máquina (o maior número de casas decimais).
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i^3 = i^2 .i = -1.i = -i i^4 = i^2 .i^2 =-1.-1= i^5 = i^4. 1=1.i= i i^6 = i^5. i =i.i=i^2 =- i^7 = i^6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in^ ( n pertencente a N ,
com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta
forma, para calcularmos in^ basta calcularmos ir^ onde r é o resto da
divisão de n por 4.
Exemplo: i^63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i^63 =i^3 =-i
Multiplicação de números complexos: Para multiplicarmos
dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de
dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se
z 1 =a+bi e z 2 =c+di, temos que:
z 1 .z 2 = a.c + adi + bci + bdi^2 z 1 .z 2 = a.c + bdi^2 = adi + bci z 1 .z 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i Observar que : i^2 = -
Conjugado de um número complexo: Dado z=a+bi, define-
se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Exemplo: z=3 - 5i ==> z-^ = 3 + 5i z = 7i ==> z-^ = - 7i z = 3 ==> z-^ = 3
Divisão de números complexos: Para dividirmos dois
números complexos basta multiplicarmos o numerador e o
denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z 1 = a +
bi e z 2 = c + di, temos que:
z 1 / z 2 = [z 1 .z 2 - ] / [z 2 z 2 - ] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo: Dado z = a+bi, chama-se
módulo de z ==> | z | = (a^2 +b^2 )1/2, conhecido como ro
Interpretação geométrica: Como dissemos, no início, a
interpretação geométrica dos números complexos é que deu o
impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z =
a+bi da seguinte maneira
Forma polar dos números complexos: Da interpretação
geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Operações na forma polar: Sejam z 1 =ro 1 (cos t 11 ) e z 2 =ro 1 (cos t 1 +i sent 1 ). Então, temos que:
a)Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-
EXERCÍCIOS
1 - Sejam os complexos z 1 =(2x+1) + yi e z 2 =-y + 2i. Determine x e y de modo que z 1 + z 2 = 0
2 - Determine x , de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro.
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
4 - Os módulos de z 1 = x + 20 1/2i e z 2 = (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
RESPOSTAS
Resolução 01. Temos que: z 1 + z 2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 logo, é preciso que: 2x+1 - y =0 e y+2 = 0 Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/
Resolução 02. Efetuando a multiplicação, temos que: z = x + (x+2)i + 2i^2 z= (x-2) + (x+2)i Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=
Resolução 03. Efetuando a divisão, temos que: z = (2+i) / (7-3i). (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58 O conjugado de Z seria, então z-^ = 11/58 - 13i/
8
Resolução 04. Então, |z 1 = (x^2 + 20)1/2^ = |z 2 = [(x-2)^2 + 36}1/ Em decorrência, x^2 + 20 = x^2 - 4x + 4 + 36 20 = -4x + 40 4x = 20, logo x=
Resolução 05. Efetuando-se a divisão, temos: z = [(1+i). -i] / -i^2 = (-i -i^2 ) = 1 – i Para a forma trigonométrica, temos que: r = (1 + 1)1/2^ = 21/ sen t = -1/21/2^ = - 21/2^ / 2 cos t = 1 / 21/2^ = 21/2^ / 2 Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º Lembrando que a forma trigonométrica é dada por: z = r(cos t + i sen t), temos que: z = 21/2^ ( cos 315º + i sen 315º )
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Considere a seguinte situação: Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender
a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os
ingredientes necessários são:
3 ovos 1 lata de leite condensado 1 xícara de leite 2 colheres das de sopa de farinha de trigo 1 colher das de sobremesa de fermento em pó 1 pacote de coco ralado 1 xícara de queijo ralado 1 colher das de sopa de manteiga
Veja que:
- Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4
colheres de farinha;
- Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para 6
colheres de farinha;
- Para se fazerem 4 receitas seriam usados 12 ovos para 8
colheres de farinha;
- Observe agora as duas sucessões de números:
Sucessão do número de ovos: 6 9 12 Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8
Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes
são iguais:
Assim: 2
3
8
12
6
9
4
6 = = =
Dizemos, então, que:
- os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente proporcionais aos da sucessão 4, 6, 8;
- o número 2
3 , que é a razão entre dois termos correspondentes,
é chamado fator de proporcionalidade. Duas sucessões de números não-nulos são diretamente proporcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais. Exemplo1 : Vamos determinar x e y , de modo que as sucessões sejam diretamente proporcionais: 2 8 y 3 x 21
Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões são iguais, isto é:
21
8 3
2 y x
= =
3
2
x
8 3
2
21
y
2x = 3. 8 3y = 2. 21 2x = 24 3y = 42
x = 2
24 y = 3
42
x = 12 y = 14
Logo, x = 12 e y = 14
Exemplo 2 : Para montar uma pequena empresa, Júlio, César e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular a parte que coube a cada um.
Solução: Representando a parte de Júlio por x , a de César por y , e a de Toni por z , podemos escrever:
= =
24000 27000 30000
32400 x y z
x y z
81000
32400
24000 27000 30000 24000 + 27000 + 30000
= = =
x y z x y z
Resolvendo as proporções:
10
4
81000
32400 24000
=
x
10
4 27000
=
y
10
4 3000
=
z
10x = 96 000 10y = 108 000 10z = 120 000 x = 9 600 y = 10 800 z = 12 000
Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800, e Toni, R$ 12.000,00.
10
Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente
proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual
à razão entre os valores da segunda.
Tomemos agora outro exemplo.
Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de
álcool.
De acordo com esses dados podemos supor que:
- com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza
o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;
- com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza
o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.
Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de-
açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto
para percorrer determinada distância encontram-se na tabela:
Velocidade Tempo
30 km/h 12 h
60 km/h 6 h
90 km/h 4 h
120 km/h 3 h
Com base na tabela apresentada observamos que:
- duplicando a velocidade da moto, o número de horas fica
reduzido à metade;
- triplicando a velocidade, o número de horas fica reduzido à
terça parte, e assim por diante.
Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são
inversamente proporcionais.
Observe que, duas a duas, as razões entre os números que
indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam
o tempo:
= inverso da razão^ 6
12
6
4
90
60 = inverso da razão^ 4
12
4 90
30 = inverso da razão 4
12
6
3 120
60 = (^) inverso da razão 3
12
3 120
30 = (^) inverso da razão 3
4
3
120
90 = inverso da razão 3
Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.
Acompanhe o exemplo a seguir: Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De acordo com esses dados, podemos supor que:
- o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto é, 18 dias;
- o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo, isto é, 12 dias.
Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais.
EXERCÍCIOS
1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais: a) 1 x 7 5 15 y
b) 5 10 y x 8 24
c) x y 21 14 35 49
d) 8 12 20 x y 35
2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais: a) 4 x y 5 20 10
b) 30 15 10 x 8 y
c) 2 10 y x 9 15
d) x y 2 12 4 6
3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.
4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a
e.
5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a
e .
6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente proporcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?
11
7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um
pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro
entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio
com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$
60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um?
( Nota : A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que
cada um empregou.)
8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os
seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como
Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o
prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais
à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?
9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três
famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos.
Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5
filhos, quantas laranjas recebeu cada família?
10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade
comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será
dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada
um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas
por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00,
R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00,
que parte do lucro caberá a cada um?
RESPOSTAS
1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14
y = 21
2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 3 3- 80, 32, 20 4- 21, 28, 43
5- 45, 150, 20 6- 90 7- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio
R$24.000,
8- R$350.000, 9- 60, 90, 150
10- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto
R$400.000,
RAZÃO E PROPORÇÃO
RAZÃO
Sejam dois números reais a e b , com b ≠ 0. Chama-se razão
entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou.
A razão é representada por um número racional, mas é lida de
modo diferente.
Exemplos
a) A fração 5
3 lê-se: “três quintos”.
b) A razão 5
(^3) lê-se: “3 para 5”.
Os termos da razão recebem nomes especiais.
O número 3 é numerador
a) Na fração 5
3
O número 5 é denominador
O número 3 é antecedente
a) Na razão 5
3
O número 5 é consequente
Exemplo 1
A razão entre 20 e 50 é 5
2
50
20 = ; já a razão entre 50 e 20 é
Exemplo 2
Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão
entre o número de rapazes e o número de moças é 4
3 24
18 = , o que
significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado,
a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por
7
3 42
18 = (^) , o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3
são rapazes”.
Razão entre grandezas de mesma espécie
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa
mesma unidade.
Exemplo
Uma sala tem 18 m^2. Um tapete que ocupar o centro dessa
sala mede 384 dm^2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete
e a área da sala.
Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma
mesma unidade: Área da sala: 18 m^2 = 1 800 dm^2
Área do tapete: 384 dm^2
Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever
a razão:
2
2 = = dm
dm
13
A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro
(ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois
últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
ou
A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
ou
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos
consequentes assim como cada antecedente está para o seu
consequente.
ou
5
1
10
2
5
1
15 5
3 1
5
1
15
3 = ⇒ =
−
− = ⇒
EXERCÍCIOS
1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000.
Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4
e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual
seria o mínimo de extensão que ela teria?
2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e
Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real
entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na
confecção do mapa?
3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu
volume é de 16 dm³. Qual é a sua densidade?
4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a
velocidade média do trem nesse percurso?
5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada
de 278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha
uma população de aproximadamente 1 156 000 habitantes.
Qual é a densidade demográfica do estado de Tocantins?
6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera
é 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra
assim como
2
(^5) , determine a idade de cada uma.
**7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de Determine o comprimento de cada uma das partes.
- Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.
- Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de: a) 45 b) 81 c) 85 d) 181 e) 126
- A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule esses números.**
RESPOSTAS
1) Resposta “1320 km”. Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)
*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B 4cm 6cm
O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm) 22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.
Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.
2) Resposta “1: 7 000 000”. Solução: Dados: Comprimento do desenho: 10 cm Comprimento no real: 700 km = (700. 100 000) cm = 70 000 000 cm
A escala de 1: 7 000 000 significa que:
- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.
3) Resposta “8,75 kg/dm³”. Solução: De acordo com os dados do problema, temos:
kg/dm³
Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico.
14
4) Resposta “75,5 km/h”.
Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:
km/h
Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,
km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora.
5) Resposta “4,15 hab./km²
Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:
A hab./km²
6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.
Solução:
A – V = 12 anos A = 12 + V
2 (12+V) = 5V
24 + 2V = 5V
5V – 2V = 24
3V = 24
V =
V (Vera) = 8
A – 8 = 12
A = 12 + 8
A (Ângela) = 20
7) Resposta “24 cm; 54 cm”.
Solução: x + y = 78 cm x = 78 - y
9 (78 - y) = 4y 702 – 9y = 4y 702 = 4y + 9y 13y = 702 y =
y = 54cm
x + 54 = 78 x = 78 - 54 x = 24 cm
8) Resposta “ ”.
Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha
constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção
existente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa
é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3. 0,75) =
2,25 cm. Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25. 0,75) = 1,69 cm.
Portanto a sequência seria: (4...3... ... ...) e assim por diante.
Onde a razão de proporção é ... e pode ser representada pela expressão: Ti. P elevado à (n - 1)
Onde:
Ti = termo inicial, neste caso: 4
P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso:
n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4
Teremos:
(Ti = 4; P = ; n – 1 = 3)
9) Resposta “E”. Solução: A = 81 litros
9T = 405
T =
T = 45
A + T =?
81 + 45 = 126 litros
10) Resposta “117 e 52”.
Solução: x – y = 65 x = 65 + y
9y = 4 (65 + y)
9y = 260 + 4y
9y – 4y = 260
5y = 260
y =
16
cuja solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B
e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um
sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220.
Desse modo:
A solução é A=120, B=60 e C=40. Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente
proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos
montar as proporções:
logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13. Existem proporções com números fracionários!
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente
proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-
se decompor este número M em duas partes A e B diretamente
proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas
equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q. Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B
diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a
5 e 7, deve-se montar as proporções:
Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30. Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais
a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a
diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta
escrever que A-B=21 resolver as proporções:
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais Para decompor um número M em n partes X 1 , X 2 , ...,
X n diretamente proporcionais a p 1 , p 2 , ..., p n e inversamente
proporcionais a q 1 , q 2 , ..., q n , basta decompor este número M em n partes X 1 , X 2 , ..., X n diretamente proporcionais a p 1 /q 1 , p 2 /q 2 , ..., p n /q n. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X 1 +X 2 +...+X n =M e além disso
A solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50. Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10. A montagem do problema fica na forma:
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
REGRA DE TRÊS (SIMPLES E COMPOSTA)
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples.
Exemplo 1 : Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?
Solução: O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha:
Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x
17
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”),
vamos colocar uma flecha:
Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de
álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de
álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos
montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna
“distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de
álcool”:
Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x
mesmo sentido
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
x
15
210
180 7
6 = 6x = 7. 15 6x = 105 x = 6
105 x = 17,
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.
Exemplo 2 : Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h,
eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade
para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?
Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as
grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas
de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha,
temos:
Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos
colocar uma flecha:
Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica
reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e
tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse
fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha
em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:
Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x
sentidos contrários
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos:
3
4
60
4 80
x
4x = 4. 3 4x = 12 x = 4
x = 3
Resposta: Farei esse percurso em 3 h.
Exemplo 3 : Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso? Vamos representar pela letra x o tempo procurado. Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo ( s e x s). Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.
Velocidade
Tempo gasto para fazer o percurso
200 km/h 18 s
240 km/h x
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.
Daí temos:
- 18 = 240. x 3 600 = 240x 240x = 3 600 x = 240
3600
x = 15
O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta.
Exemplo 1 : Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças?
Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha:
Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x
19
6h30min = 390min 5h15min = 315min 315min ------ 42km/h 390min ------ x 315x = 390. 42 = 315x = 16380 = X = km/h.
3) Resposta “20 palitos de fósforo”.
Solução: Levando os dados dado no enunciado temos: Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura. Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de
largura.
Portanto temos:
Comprimento Largura
12 palmos 5 palmos
48 palitos X palitos
Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes
quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da
mesma forma na largura.
As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos
fazer:
Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de
fósforo de largura.
4) Resposta “18 segundos”.
Solução: Levando em consideração os dados: Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20s Velocidade média: 200 km/h → tempo do percurso:?
Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos
relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e
200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs).
Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um
quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela:
Velocidade km/h Tempo (s)
180 20
200 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo
gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as
grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos:
- 20 = 200. x → 200x = 3600 →
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.
5) Resposta “5 pacotes”.
Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos: Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63. Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105.
Pacotes de Pães Sanduíches
3 63
x 105
Basta fazermos apenas isso:
- x = 3. 105 → 63x = 315 →
Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma.
6) Resposta “D”.
Solução: Em de ano foi pavimentada de estrada
Pessoas estrada tempo 210 75 4 X 225 8
x =
x = 315 pessoas para o término
315 210 que já trabalham = 105 pessoas.
7) Resposta “E”.
Solução: Primeiro descobrimos quanto cada máquina produz por minuto. Para isso temos que dividir:
Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 máquinas juntas produzem (min)
Portanto temos: 1 min --------------------- 297, x min --------------------- 50000
20
Fazendo a regra de 3 teremos: 297,62. x = 50000. 1 → 297,62x = 50000 →
168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos.
8) Resposta “840 peças”. Solução: Dados: 5 máquinas em 6 dias produzem 400 peças 7 máquinas em 9 dias produzem x peças.
Organizando os dados no quadro temos:
N˚ de Máquinas (A) N˚ de Máquinas (B) Número de Peças (C)
5 6 400
7 9 x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e
C. Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também
dobrará, Logo, as grandezas B e C são “diretamente proporcionais”.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A
e C. Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças
também dobrará, Logo, as grandezas A e C são “diretamente
proporcionais”.
Quando uma grandeza é “diretamente proporcional” a duas
outras, a variação da primeira é diferentemente proporcional ao
produto da variação das outras duas.
De acordo com o quadro, temos:
Resolvendo a proporção:
- x = 63. 400 → 30x = 25200 →
Logo, se as máquinas funcionarem 9 dias, serão produzidas
840 peças.
9) Resposta “4 dias”. Solução: Dados: 4 horas por dia, 200 km em 2 dias 5 horas por dia, 500 km em x dias
Organizando um quadro temos:
N˚ km (A) N˚ horas/dias (B) Número de dias (C)
200 4 2
500 5 x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e
C. Se dobrarmos o número de horas que o motociclista roda por
dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância
cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são “inversamente
proporcionais”.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o número de quilômetros percorridos, o número de dias dobrará, considerando que o motociclista rode o mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são “diretamente proporcionais”.
Assim a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que expressam a grandeza B.
A razão inversa de
Daí, temos:
- x = 2000. 2 → 1000x = 4000 →.
10) Resposta “7260 kgs”.
Solução:
Ração Dias Bois
2420 8 2
x 12 4
PORCENTAGEM
PORCENTAGEM
É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.
Deste modo, a fração 100
50 é uma porcentagem que podemos representar por 50%.
Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.
100
75 = 0,
Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p % de V , basta multiplicarmos a fração 100
p por V.
