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MP-PE
Matemática: Conjuntos numéricos: racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal. ............................................................................ 1 Conjuntos numéricos complexos. ...................................................................................................... 15 Números e grandezas proporcionais. Razão e proporção. ................................................................. 22 Divisão proporcional. ......................................................................................................................... 30 Regra de três (simples e composta). ................................................................................................. 39 Porcentagem. .................................................................................................................................... 52 Juros simples e compostos. ............................................................................................................... 59 Raciocínio lógico-matemático: estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; dedução de novas informações das relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. ........................................................................ 68 Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. ................................................................................................................ 123
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CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q
Um número racional^1 é o que pode ser escrito na forma n
m , onde m e n são números inteiros, sendo
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: Q = { n
m : m e n em Z, n diferente de zero}
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma questão, tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Q+ , Q_ , Q).*
- Q* = conjunto dos racionais não nulos ;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos ;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos ;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos ;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional
q
p
, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal,
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
(^1) IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções http://mat.ufrgs.br
Matemática: Conjuntos numéricos: racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração, basta utilizarmos o dígito 9 no denominador de acordo com a quantidade de dígitos que tiver o período da dízima.
c) Seja a dízima 1, 23434... O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. Neste caso dizemos que a dízima periódica é composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Temos então um anteperíodo (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o anteperíodo (234-2), obtemos 232 no qual será o numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 99 (dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o anteperíodo, neste caso 0 (um zero).
→ 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶
Simplificando por 2, obtemos x = 495
611 , que será a fração geratriz da dízima 1, 23434...
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplos:
- Módulo de – 2
3 é 2
3
. Indica-se 2
3 = 2
3
- Módulo de + 2
3 é 2
- Indica-se 2
3 = 2
3
Números Opostos: Dizemos que – 2
e 2
são números racionais opostos ou simétricos e cada um
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 2
3 e 2
3 ao ponto zero da reta são iguais.
Inverso de um Número Racional
−𝒏 , 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒏 , 𝒃 ≠ 𝟎
Representação geométrica dos Números Racionais
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais.
Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais b
a e d
c , da mesma forma que a soma de frações, através de:
Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o
oposto de q , isto é: p – q = p + (–q), onde p = b
a e q = d
c.
Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais b
a e d
c , da mesma forma que o produto de frações, através de:
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo , mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
Divisão (Quociente) de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q , isto é: p ÷ q = p × q- 𝒂 𝒃
Potenciação de Números Racionais A potência q n^ do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. qn^ = q × q × q × q × ... × q, ( q aparece n vezes)
Exemplos:
Por exemplo, o número 9
100 (^) não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 3
(^) como 3
(^) , quando
elevados ao quadrado, dão 9
Já um número racional positivo, só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
E o número 3
não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado
dê 3
Questões
01. (Pref. Jundiaí/SP– Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Na escola onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como disciplina favorita? (A) 1/ (B) 3/ (C) 2/ (D) 4/ (E) 3/ 02. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais ela recebeu de troco? (A) R$ 40, (B) R$ 42, (C) R$ 44, (D) R$ 46, (E) R$ 48, 03. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) De um total de 180 candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de candidatos que estuda alemão é: (A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. (E) 10. 04. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) Em um estado do Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou (A) R$ 810,81. (B) R$ 821,31. (C) R$ 838,51. (D) R$ 841,91. (E) R$ 870,31. 05. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo: 1,3333…+^32 1,5+^43
Obtém-se (A) ½. (B) 1. (C) 3/2. (D) 2. (E) 3.
06. (SABESP – Aprendiz – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência (A) −4; −1; √16; √25; (^143) (B) −1; −4; √16; 143 ; √ (C) −1; −4;
14 3 ; √16; √ (D) −4; −1; √16;
14 3 ; √ (E)−4; −1; 143 ; √16; √
07. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a (A) 52/25. (B) 13/6. (C) 7/3. (D) 5/2. (E) 47/23. 08. (SABESP – Aprendiz – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: − 1 real: ¼ das moedas − 50 centavos: 1/3 das moedas − 25 centavos: 2/5 das moedas − 10 centavos: as restantes Mariana totalizou a quantia contida no cofre em (A) R$ 62,20. (B) R$ 52,20. (C) R$ 50,20. (D) R$ 56,20. (E) R$ 66,20. 09. (PM/SE – Soldado 3ªclasse – FUNCAB ) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 (D) 260 (E) 120 10. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Quando perguntado sobre qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: “O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: (A) 40 anos. (B) 35 anos. (C) 45 anos.
08. Alternativa: A.
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
2 5 ∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,
Mariana totalizou R$ 62,20.
09. Alternativa: A. 800 ∙
3 4 = 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠
600 ∙
1 5 = 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 800 ∙ 14 = 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres
Total de pessoas detidas: 120+25=
10. Alternativa: C.
9 5
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R
O conjunto dos números reais^2 R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Assim temos:
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não será irracional, e vice-versa).
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo:
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes:
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0}
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0}
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0}
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0}
(^2) IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0}
Representação Geométrica dos números reais
Ordenação dos números reais
A representação dos números reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números reais positivos, são maiores que zero e os negativos, menores que zero. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b ,
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0
Exemplo : -15 ≤ 5 ↔ 5 - ( - 15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0
Intervalos reais
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b.
Em termos gerais temos:
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos:
> ;< ou ] ; [
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: ≥ ; ≤ ou [ ; ]
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos.
Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou reais em débito, em haver e etc. Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos.
Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o sinal.
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá- las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um máximo de 100 lâmpadas. (A) 36. (B) 57. (C) 78. (D) 92. 05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, Zeca percorre uma distância igual a
3 4 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 75 de um quilômetro, então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a (A)
2 3
(B) (^34)
(C) 12
(D)
4 5
(E) (^35)
06. (TJ/SP - Auxiliar de Saúde Judiciário - Auxiliar em Saúde Bucal – VUNESP) Para numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será (A) 1,111. (B) 2,003. (C) 2,893. (D) 1,003. (E) 2,561. 07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a (A) 5/16. (B) 1/6. (C) 8/24. (D)1/ 4. (E) 2/5. 08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: (A) 145. (B) 133. (C) 127. (D) 118.
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído
- Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a (A) 87. (B) 59. (C) 28. (D) 65. (E) 63. 10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu (A) R$ 74.000,00. (B) R$ 93.000,00. (C) R$ 98.000,00. (D) R$ 102.000,00. (E) R$ 106.000,00.
Comentários
01. Alternativa: D. Pontuação atual = 2. partida anterior – 15
4ª partida: 3791 = 2.x – 15 2.x = 3791 + 15 x = 3806 / 2 x = 1903
3ª partida: 1903 = 2.x – 15 2.x = 1903 + 15 x = 1918 / 2 x = 959
2ª partida: 959 = 2.x – 15 2.x = 959 + 15 x = 974 / 2 x = 487
1ª partida: 487 = 2.x – 15 2.x = 487 + 15 x = 502 / 2 x = 251 Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8.
02. Alternativa: C. I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 03. Alternativa: A. 3 4
04. Alternativa: D. Vamos chamar as retiradas de r , s e w : e de T o total de lâmpadas. Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva nas três equações abaixo:
09. Alternativa: B.
- número 40: é par. 40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37
- número 35: é ímpar. Seu maior divisor é 35. 35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14
- número 66: é par. 66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50
- número 27: é ímpar. Seu maior divisor é 27. 27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14
- Por fim, vamos somar os resultados: 37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 10. Alternativa: B. Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim:
- Breno: 𝟏 𝟐.^
𝟏 𝟑. 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟔. 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎
x = 62000. 6 x = R$ 372000,
𝟏 𝟒. 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b^2 - 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R ). No século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler passou a representar (^) √− 1 por i , convenção que utilizamos até os dias atuais. Assim: √− 1 = i, que passamos a chamar de unidade imaginária. A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos , que representamos por C.
Números Complexos (forma algébrica) Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C , o conjunto de pares ordenados, ou seja: z = (x, y) onde x ∈ R e y ∈ R.
Então, por definição, se z = (x, y) = (x, 0) + ( 0 , y)(0, 1) onde i = (0,1), podemos escrever que: z = (x, y) = x + yi
Exemplos (5, 3) = 5 + 3i (2, 1) = 2 + i (-1, 3) = - 1 + 3i
Conjuntos numéricos complexos
Dessa forma, todo o números complexo z = (x, y) pode ser escrito na forma z = x + yi , conhecido como forma algébrica , onde temos: x = Re(z) , parte real de z y = Im(z) , parte imaginária de z
Igualdade entre Números Complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: z 1 = z 2 <==> a = c e b = d
Adição de Números Complexos Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i
Subtração de Números Complexos Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: z 1 - z 2 = (a - c) + (b - d)i
Multiplicação de Números Complexos Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que:
z 1 .z 2 = a.c + a.di + b.ci + b.di^2 Como i^2 = - 1, temos: z 1 .z 2 = ac + adi + bci - bd Agrupando os membros: z 1 .z 2 = ac – bd + adi + bci → (ac – bd) + (ad + bc)i
Nota: As propriedades da adição, subtração e multiplicação válidas para os Reais são válidas para os números complexos.
Conjugado de um Número complexo Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-se por 𝑧̅ ) ==> 𝑧̅ = a - bi
Exemplo z = 3 - 5i ==> 𝑧̅ = 3 + 5i z = 7i ==> 𝑧̅ = - 7i z = 3 ==> 𝑧̅ = 3
Propriedade: O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real. 𝑧. 𝑧̅ ∈ 𝑅
Divisão de Números Complexos Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que:
Potências de i Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então: i^0 = 1 i^1 = i
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso A = cos(a) + i sen(a) B = cos(b) + i sen(b)
Multiplicando A e B, obtemos AB = cos(a + b) + i sen(a + b)
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z: e iz^ = cos(z) + i sen(z)
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como: A = e ia^ = cos(a) + i sen(a) B = e ib^ = cos(b) + i sen(b)
Onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim, e i(a+b)^ = cos(a + b) + isen(a + b)
Por outro lado e i(a+b)^ = e ia^. e ib^ = [cos(a) + isen(a)] [cos(b) + isen(b)]
E desse modo e i(a+b)^ = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) sen(a + b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma cos(a + (-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b) sen(a + (-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)
Para obter cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) sen(a - b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)
Operações na forma polar
Sejam z 1 =𝜌 1 (cos 𝜃 1 + i sen𝜃 1 ) e z 2 =𝜌 1 (cos𝜃 2 +i sen𝜃 2 ). Então, temos que:
a) Multiplicação
b) Divisão
c) Potenciação
d) Radiciação
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n- 1
Observe que o item c) e d) acima representa a resolução pela Fórmula de Moivre.
Exemplo Calcular a raiz quadrada do número complexo:
A raiz quadrada de um complexo é dada pela segunda fórmula de Moivre, com n = 2:
Para k = 0, teremos:
Questões
01. (IFF – Conhecimentos Gerais – CESPE – 2018) Se i é a unidade imaginária complexa, isto é, i é
tal que i² = - 1, então o valor absoluto no número complexo é igual a (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Assinale a alternativa que apresenta o módulo do número complexo abaixo.
(1 + 2𝑖)^2
(A) 36.
(B) 25.
(C) 5.
(D) 6.
03. (TRF/2ªRegião – Técnico Judiciário – FCC) Considere a igualdade x + (4 + y). i = (6 − x) + 2yi, em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = x + yi, é um número (A) maior que 10. (B) quadrado perfeito. (C) irracional. (D) racional não inteiro. (E) primo. 04. (CPTM – Almoxarife – MAKIYAMA) Assinale a alternativa correspondente à forma trigonométrica do número complexo z = 1 + i: (A) 𝒛 = √2(cos
(B) 𝑧 = 2(cos
(C) 𝑧 =
(cos
