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PCS 2215 Fundamentos de Engenharia de Computação II
PCS 2215 Fundamentos de Engenharia de Computação II
Módulo 05 – Álgebra Booleana e Álgebra de Chaveamento
Marco Túlio Carvalho de Andrade Professor Responsável
Versão: 1.2 (agosto de 2.007)
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ConteúdoConteúdo
Álgebra Booleana e Álgebra de Chaveamento
- Álgebra Booleana;
- Circuitos de Chaveamento;
- Propriedades dos Circuitos de Chaveamento;
- Álgebra de Chaveamento. Bibliografia
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- Álgebra Booleana1. Álgebra Booleana Análise de Circuitos Lógicos: Sempre pode ser feito por Tabelas da Verdade:
- Procedimento exaustivo - Requer tabelas que contenham todas as combinações possíveis das variáveis de entrada;
- Circuitos de n entradas e m saídas possuem Tabelas de 2 n^ linhas e (n + m) colunas;
- Não é prático ter que manipular Tabelas para combinar e operar funções lógicas.
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- Álgebra Booleana1. Álgebra Booleana Por esta razão é conveniente definir um procedimento algébrico sistemático que: 1-) Represente funções lógicas de modo compacto; 2-) Permita manipulações convenientes destas funções; 3-) Defina operadores em um domínio especificado. A entidade matemática que dá suporte a estes objetivos é a Álgebra Booleana.
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- Álgebra Booleana1. Álgebra Booleana Definição 1.1.: Uma Álgebra Booleana é uma Estrutura Algébrica com a forma <{X≤}, +,. , ~, 0, 1> ... continuação: 3-) 0 e 1 são elementos especiais, tal que:
- 0 ≤ x e 1 ≥ x, ∀ x ∈ X. 4-) Sinal “~” é a operação de complemento e ∀ x ∈ X, ∃| ~x ∈ X, tal que:
- x + ~x = 1; x. ~x = 0; 0 ≤ ~x; 1 ≥ ~x. 5-) “+” e “.” são operações distributivas.
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Exemplo 1.1. - Seja U o conjunto universo e seja S = P(U) o conjunto Potência de U.
- Se definimos as operações entre subconjuntos: X + Y = X ∪ Y, X. Y = X ∩ Y, ~X = X pertencentes a S então a sêxtupla (S, ∪ , ∩ , , Ø, U) é uma Álgebra Booleana. Alguns autores fazem a distinção entre:
- Uma Álgebra Booleana Funcional (Z 2 , ∨, ∧, ~, 0, 1)
- Uma Álgebra Booleana Conjuntista (S, ∪, ∩ , , Ø, U)
- Álgebra Booleana1. Álgebra Booleana
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- Álgebra Booleana1. Álgebra Booleana Conjuntista (P(U), ∪, ∩ , , Ø, U) U = {1,2,3} P(U)={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} (parcialmente ordenado) A ∈ P(U), B ∈ P(U) tal que A ⊆ B
Funcional (S, ∨, ∧, ~, 0, 1) S = parcialmente ordenado S = {1,2,3,5,6,10,15,30} x divide y → xRy
Ø
{1} {2} {3}
U= {1,2,3} {1,2} (^) {1,3} {2,3}
2 3 5
30 6 15 10
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Definição 1.2. - Duas ocorrências de uma estrutura são isomorfas se existir uma bijeção, chamada isomorfismo, que leva os elementos de uma ocorrência aos elementos da outra ocorrência, de modo que as propriedades relevantes sejam preservadas:
- Cada ocorrência é uma imagem da outra, com outra denominação dos elementos mas com o mesmo número de elementos.
- Pode-se usar esta idéia para classificar exemplos de estruturas, associando-se as que são isomorfas. 1. Álgebra Booleana: Isomorfismo1. Álgebra Booleana: Isomorfismo
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Conjuntista (P(U), ∪, ∩ , , Ø, U) P(U)={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3}} Propriedade: A ∈ P(U), B ∈ P(U) tal que A ⊆ B I. Propriedade É satisfeita: I.1. Operador ∩ devolve: X I.2. Operador ∪ devolve: Y II. Propriedade NÃO É satisfeita: II.1. Operador ∩ devolve: X ∩ Y II.2. Operador ∪ devolve: X ∪ Y
Funcional (S, ∨, ∧, ~, 0, 1) S = {1,2,3,5,6,10,15,30} Propriedade: x divide y
I. Propriedade É satisfeita:
I.1. Operador ∧ devolve: x I.2. Operador ∨ devolve: y
II. Propried. NÃO satisfeita:
II.1. Operador ∧ devolve: MDC(x,y) II.2. Operador ∨ devolve: mmc(x,y)
- Álgebra Booleana 1. Álgebra Booleana
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- Circuitos de Chaveamento2. Circuitos de Chaveamento Chaves: Podem ser utilizadas como elementos de comutação (ou chaveamen- to) para possibilitar a materialização (implementação física) de primitivas de lógica.
X P 1 P 2
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- Circuitos de Chaveamento2. Circuitos de Chaveamento Chave Aberta (X = 0): Não há conexão física entre P 1 e^ P 2.
Chave Fechada (X = 1): Há conexão física entre P 1 e P 2.
X= P 1 P 2
X= P 1 P 2
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- Circuitos de Chaveamento2. Circuitos de Chaveamento Entradas - São as conexões que abrem ou fecham as chaves (exemplo: Entrada A).
Saídas - São o resultado da conectividade obtida no abrir e fechar de uma chave (ou associação de chaves), que por sua vez, irá abrir e/ou fechar outras chaves.
A= P 1 P 2
A= P 1 P 2
P 1 não conectado a P 2 Saída = 0
P 1 conectado a P 2 Saída = 1
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- Propriedades dos Circuitos de Chaveamento3. Propriedades dos Circuitos de Chaveamento
Podem ser definidos dois operadores binários, ∧ e ∨, sobre o conjunto Z 2 = {0,1}.
A ∧ B = 1, se A = B = 1 A ∧ B = 0, em qualquer outro caso
A ∨ B = 0, se A = B = 0 A ∨ B = 1, em qualquer outro caso
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- Propriedades dos Circuitos de Chaveamento3. Propriedades dos Circuitos de Chaveamento
Pode ser definido um operador unário ~ sobre o conjunto Z 2 = {0,1}: ~A = 0, se A = 1 ~A = 1, se A = 0 Estes operadores podem ser implementa- dos em circuitos de chaveamento. Seguem algumas propriedades de um sis- tema constituído por Z 2 e os operadores ∧, ∨ e ~:
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Teorema 3.1 - Se ∧, ∨ e ~ são operadores como os definidos anteriormente, então exibem as seguintes propriedades (para todo a, b e c ∈ Z 2 = {0,1}): Lei Associativa : (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) Lei Comutativa : a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a
- Propriedades dos Circuitos de Chaveamento 3. Propriedades dos Circuitos de Chaveamento
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Teorema 3.1 - Continuação: Lei Distributiva : a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) Lei da Identidade : a ∨ 0 = a a ∧ 1 = a Lei do Complemento : a ∨ ~a = 1 a ∧ ~a = 0
- Propriedades dos Circuitos de Chaveamento 3. Propriedades dos Circuitos de Chaveamento
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Definição 3.2 - Uma Função de Chaveamento de n variáveis (x 0 , x 1 , ..., x (^) n-1 ) é uma associação particular de valores de verdade ( zeros ou uns ) para todas as 2n^ possíveis combinações de valores das n variáveis.
- Álgebra de Chaveamento
- Álgebra de Chaveamento
2 n = 21 = 2
2
x1 f 1?
0?
n=
2 n = 22 = 4
4
x2 x1 f
1 1?
1 0?
0 1?
0 0?
n=
x 3 x2 x1 f
1 1 1?
1 1 0?
1 0 1?
1 0 0?
0 1 1?
0 1 0?
0 0 1?
2 n = 23 = (^80 0 0)?
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n=
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Exemplo 4.2: Com duas variáveis (n=2) há 16 formas possíveis de se substituir os sinais de interrogação por zeros e uns ( funções de chaveamento possíveis).
- Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
2 2 16 2 22 = = n
4
n=
x (^2) 0 0 1 1
x (^1) 0 1 0 1
f (^2) 0 0 1 0
f (^0) 0 0 0 0
f (^1) 0 0 0 1
f (^3) 0 0 1 1
f (^4) 0 1 0 0
f (^5) 0 1 0 1
f (^6) 0 1 1 0
f (^7) 0 1 1 1
f (^10) 1 0 1 0
f (^8) 1 0 0 0
f (^9) 1 0 0 1
f (^11) 1 0 1 1
f (^12) 1 1 0 0
f (^13) 1 1 0 1
f (^14) 1 1 1 0
f (^15) 1 1 1 1
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Definição 4.3 - Duas Funções de Chaveamento são iguais, ou equivalentes, se seus valores de verdade forem iguais para todas as combina- ções possíveis dos valores de verdade de suas variáveis. Nota 4.1 - A maioria dos problemas de Álgebra de Chaveamento deriva do fato de se desejar construir um bloco que implemente uma determinada função de chaveamento de “n” variáveis. Nota 4.2 - Existem infinitas expressões equiva- lentes a cada função possível.
- Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
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Nota 4.3 - A solução do problema passa pelo processo de determinar qual, dentre estas expressões equivalentes à função desejada, é a mais simples ou satisfaz alguns critérios de simplicidade. Nota 4.4 - Se o problema se relaciona com a construção de um circuito eletrônico de chaveamento os critérios de simplicidade serão derivados da conveniencia de se utilizar o circuito o mais barato possível e que tenha o comportamento funcional desejado.
- Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
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A sêxtupla “({F.C.}, ∨, ∧, ~, 0t^ , 1t)” é uma Álgebra de Chaveamento , onde:
- ∧ é a operação lógica E (denotada por “.”).
- ∨ é a operação lógica OU (denotada por “+”).
- ~ é a operação lógica NÃO.
- Valem as propriedades dos circuitos de chaveamento, enunciadas anteriormente. 4. Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
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Para n = 2 variáveis de chaveamento podem ser obtidas as 16 funções de chaveamento possíveis e o Diagrama de Hasse corres- pondente:
- Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
x (^2) 0 0 1 1
x (^1) 0 1 0 1
f (^2) 0 0 1 0
f (^0) 0 0 0 0
f (^1) 0 0 0 1
f (^3) 0 0 1 1
f (^4) 0 1 0 0
f (^5) 0 1 0 1
f (^6) 0 1 1 0
f (^7) 0 1 1 1
f (^10) 1 0 1 0
f (^8) 1 0 0 0
f (^9) 1 0 0 1
f (^11) 1 0 1 1
f (^12) 1 1 0 0
f (^13) 1 1 0 1
f (^14) 1 1 1 0
f (^15) 1 1 1 1
≡ →
~⊕ ⊕
↔
. x 2 x (^1) +
∧ Λ
∨ V ~x 1 ←~x^2
~∧ ~ Λ
~ ∨ ~ V ~+
Absurdo (contradição) Tautologia ~→ (^) ∼← ~.
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- Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
[ Contradições ]
[ Tautologias ]
[ Contingências ]
f 0 (0000)
f 8 (1000) f^1 (0001)
f 12 (1100)
f 14 (1110)
f 15 (1111) f 7 (0111)
f 3 (0011)
f 13 (1101) f 11 (1011) f 10 (1010) f^5 (0101)
f 4 (0100) f 2 (0010) f 9 (1001)
f 6 (0110)
[ Contingências ]
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No Diagrama de Hasse da Álgebra de Chaveamento podem ser observadas algumas propriedades interessantes: 9 1-) Dados f (^) i e f (^) j se os índices i e j somam quinze (i+j = 15) então f (^) i = ~f (^) j. Exemplo: f 4 = 0100 e f 11 = 1011. 9 2-) Qualquer função de chaveamento pode ser expressa em termos da operação “+” sobre as funções: f 1 = 0001, f 2 = 0010, f 4 = 0100 e f 8 = 1000 9 3-) Qualquer função de chaveamento pode ser expressa em termos da operação “.” sobre as funções: f 7 = 0111, f 11 = 1011, f 13 = 1101 e f 14 = 1110
- Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
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Desta nova representação do Diagrama de Hasse pode-se deduzir que [1/2]: [1] f 1 = x 1 .x 2 , f 2 = ~x 1 .x 2 , f 4 = x 1 .~x 2 e f 8 = ~x 1 .~x 2 Definição 4.5- Átomo: ∀ f (^) k ∈ {F.C.} (fk ≠ f 0 ) tal que para ∀ f (^) i ∈ {F.C.} ocorre fi. f (^) k = f 0 ou f (^) i. f (^) k = f (^) k. Os átomos do diagrama anterior, que são {f 1 , f 2 , f 4 , f 8 }, não podem ser obtidos pela operação de “+” sobre nenhuma outra função e denominam-se mintermos.
- Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
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Desta nova representação do Diagrama de Hasse pode-se deduzir que [2/2]:
[2] f 7 = x 1 +x 2 , f 11 = ~x 1 +x 2 , f 13 = x 1 +~x 2 e f 14 = ~x 1 +~x 2
Por outro lado, as funções {f 7 , f 11 , f 13 , f 14 } não podem ser obtidos pela operação de “.” sobre nenhuma outra função e denominam-se maxtermos.
- Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
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- Álgebra de Chaveamento4. Álgebra de Chaveamento
0
~x 1 ~ x 2 x 1 .x 2
~x 1 +~x (^2) x 1 + x 2
1
x 1 +~x (^2) ~x 1 + x 2
x 1 .~x 2 ~x 1. x 2
f 14 = M 3 = (^) = f 7 = M 0
= f 11 = M 1
= f 2 = m 2
= f 1 = m 3
f 13 = M 2 =
f 4 = m 1 = f 8 = m 0 = f 8 (1000) f 1 (0001)
f 14 (1110) (^) f 7 (0111) f 13 (1101) (^) f 11 (1011)
f 4 (0100) f 2 (0010)
0
~x 1 ~ x 2 x 1 .x 2
~x 1 +~x (^2) x 1 + x 2
1
x 1 +~x (^2) ~x 1 + x 2
x 1 .~x 2 ~x 1. x 2
f 14 = M 3 = (^) = f 7 = M 0
= f 11 = M 1
= f 2 = m 2
= f 1 = m 3
f 13 = M 2 =
f 4 = m 1 = f 8 = m 0 = f 8 (1000) f 1 (0001)
f 14 (1110) (^) f 7 (0111) f 13 (1101) (^) f 11 (1011)
f 4 (0100) f 2 (0010)
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BibliografiaBibliografia Dias, Francisco José de Oliveira; “Introdução aos circuitos de Chaveamento”; Apostila, PEL/EPUSP, 1.989. Fernández, Gregório; Saez Vacas, Fernando; “Fundamentos de Informática”, Alianza Editorial, Colección Alianza Informática, 1.987. Gersting, Judith L.; “Fundamentos Matemáticos Para a Ciência da Computação”, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1.995.
