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Aula 3
Deriva»c~ao em cadeia e deriva»c~ao
impl¶³cita
A regra da cadeia ¶e uma regra de deriva»c~ao que nos permite calcular a derivada de uma composi»c~ao (ou um encadeamento) de fun»c~oes, tais como f (g(x)) ou f (g(h(x))), conhecendo-se as derivadas f 0 (x), g^0 (x) e h^0 (x). Quando temos uma fun»c~ao composta, tal como y = (x^3 + x ¡ 1)^10 , podemos decomp^o-la em fun»c~oes elementares. Simplesmente escrevemos
y = u^10 ; u = x^3 + x ¡ 1 :
Na nota»c~ao de Leibniz, a regra da cadeia nos diz que dy dx
dy du
du dx
No caso, teremos ent~ao dy dx
dy du
du dx = 10u^9 ¢ (3x^2 + 1) = 10(x^3 + x ¡ 1)^9 (3x^2 + 1)
Repetindo tudo, passando da nota»c~ao de Leibniz para a nota»c~ao de Lagrange, temos y = f (u); u = g(x)
e ent~ao
dy dx
dy du
du dx = f 0 (u) ¢ g^0 (x) = f 0 (g(x)) ¢ g^0 (x)
Regra 3.1 (Deriva»c~ao em cadeia) Se y = f (u) e u = g(x) ent~ao
dy dx
dy du
du dx Em outras palavras, sendo y = f (g(x)), tem-se
y^0 = [f (g(x))]^0 = f 0 (g(x)) ¢ g^0 (x):
Observa»c~ao 3.1 A id¶eia intuitiva que inspira a regra da cadeia ¶e a seguinte: sendo y = f (u) e u = g(x), temos ¢u = g(x + ¢x) ¡ g(x) e, ¢y = f (u + ¢u) ¡ f (u)
Assumindo, para simpli¯car, que ¢u 6 = 0 sempre que ¢x 6 = 0 (o que nem sempre ocorre!), temos ¢y ¢x
¢y ¢u
¢u ¢x Quando ¢x tende a 0 , ¢u tamb¶em tende a 0 (observa»c~ao 2.1), e assim
lim ¢x! 0
¢y ¢x = lim ¢u! 0
¢y ¢u ¢ lim ¢x! 0
¢u ¢x
e portanto dy dx
dy du
du dx Nos dispensaremos da tarefa de fazer uma dedu»c~ao mais rigorosa da regra da cadeia, um procedimento poss¶³vel mas deveras so¯sticado.
Exemplo 3.1 Calcular dy dx
, sendo y = ((x^2 + 1)^10 + 1)^8.
Solu»c~ao. Escrevemos
y = u^8 ; u = v^10 + 1; v = x^2 + 1
Assim, estamos compondo (encadeando) tr^es fun»c~oes. Aplicando a regra da cadeia temos
dy dx
dy du
du dx = dy du
du dv
dv dx = 8u^7 ¢ 10 v^9 ¢ 2 x = 160(v^10 + 1)^7 (x^2 + 1)^9 x = 160x((x^2 + 1)^10 + 1)^7 (x^2 + 1)^9
x^2 + y^2 = 2 (x^2 + y^2 )^0 = (2)^0 (x^2 )^0 + (y^2 )^0 = 0 2 x + 2yy^0 = 0 yy^0 = ¡x y^0 = ¡ x y
Isto quer dizer que, se y ¶e fun»c~ao de x satisfazendo x^2 + y^2 = 2, ent~ao dy dx
x y
Como vimos, as fun»c~oes y = f 1 (x) =
p 2 ¡ x^2 e y = f 2 (x) = ¡
p 2 ¡ x^2 ambas satisfazem x^2 + y^2 = 2. Pela deriva»c~ao \impl¶³cita" efetuada acima, temos
- Se y = f 1 (x), ent~ao dy dx
x y
x f 1 (x)
. Neste caso, y^0 = ¡ p x 2 ¡ x^2
- Se y = f 2 (x), ent~ao
dy dx
x y
x f 2 (x)
. Neste caso, y^0 =
x p 2 ¡ x^2
Exemplo 3.3 Obtendo dy dx
, a partir da equa»c~ao x^3 + y^3 = x^2 y^2 + x + y, por deriva»c~ao
impl¶³cita.
Para obtermos dy dx (ou y^0 ) no caso da equa»c~ao x^3 + y^3 = x^2 y^2 + x + y, fazemos
x^3 + y^3 = x^2 y^2 + x + y (x^3 + y^3 )^0 = (x^2 y^2 + x + y)^0 3 x^2 + 3y^2 y^0 = (x^2 y^2 )^0 + 1 + y^0 3 x^2 + 3y^2 y^0 = (x^2 )^0 y^2 + x^2 (y^2 )^0 + 1 + y^0 3 x^2 + 3y^2 y^0 = 2xy^2 + x^2 ¢ 2 yy^0 + 1 + y^0
Obtemos ent~ao y^0 , deixando no primeiro membro somente os termos com y^0 :
3 y^2 y^0 ¡ 2 x^2 yy^0 ¡ y^0 = 1 + 2xy^2 ¡ 3 x^2 (3y^2 ¡ 2 x^2 y ¡ 1)y^0 = 1 + 2xy^2 ¡ 3 x^2
y^0 = 1 + 2xy^2 ¡ 3 x^2 3 y^2 ¡ 2 x^2 y ¡ 1
Exemplo 3.4 Obter a reta tangente μa curva x^3 +y^3 = x^2 y^2 +x+y no ponto P = (1; 0).
Note que o problema s¶o faz sentido porque o ponto (1; 0) de fato pertence μa curva: 13 + 0^3 = 1^2 ¢ 02 + 1 + 0.
Primeiro obtemos dy dx , por deriva»c~ao impl¶³cita, a partir da equa»c~ao x^3 + y^3 =
x^2 y^2 + x + y.
Isto j¶a foi feito no exemplo anterior, em que calculamos y^0 = 1 + 2xy^2 ¡ 3 x^2 3 y^2 ¡ 2 x^2 y ¡ 1
O coe¯ciente angular da reta tangente procurada ¶e dy dx
x y=1=
1 + 2xy^2 ¡ 3 x^2 3 y^2 ¡ 2 x^2 y ¡ 1
x y=1=
Assim sendo, a reta procurada tem equa»c~ao y ¡ 0 = 2(x ¡ 1), ou seja, y = 2x ¡ 2.
3.2 Derivada da fun»c~ao pot^encia f (x) = xr , sendo r
um n¶umero racional
Da ¶algebra elementar, temos
x (^12) =
p x (x ¸ 0 ) x (^13) = 3
p x (x real qualquer) x (^1) n = n
p x (n > 0 , x ¸ 0 se n ¶e par, x qualquer se n ¶e ¶³mpar) x
pq = q
p xp^ (q > 0 ; quando q ¶e par, x ¸ 0 se p ¶e ¶³mpar positivo, e x > 0 se p ¶e impar negativo)
Regra 3. (x (^1) n )^0 =
n ¢ x n^1 ¡^1
ou seja, ( n
p x)^0 =
n n
p xn¡^1 Regra 3.3 Sendo p e q inteiros, com q > 0 ,
(x
pq )^0 = p q
¢ x
pq ¡ 1
Portanto, se r ¶e um expoente racional,
(xr)^0 = rxr¡^1
Demonstra»c~ao da regra 3.2.
Se y = x (^1) n , ent~ao yn^ = x. Aplicando deriva»c~ao impl¶³cita obtemos nyn¡^1 y^0 = 1
3.3 Problemas
- Calcule dy dx
(a) y =
μ x^3 3
μ x^2 2
(b) y =
((x^3 + 7)^4 + x)^5 x^2 + 1
(c) y =
μ x x + 1
- Calcule as derivadas das seguintes fun»c~oes. (a) f(x) = (x^2 ¡ 3 x + 8)^3 (b) f(x) = x (x^2 ¡ 1)^4 (c) F (v) = (17v ¡ 5)^1000 (d) s(t) = (4t^5 ¡ 3 t^3 + 2t)¡^2
(e) k(u) = (u^2 + 1)^3 (4u ¡ 5)^5
- Determine (i) a equa»c~ao da reta tangente μa curva no ponto indicado e (ii) os pontos do gr¶a¯co em que reta tangente μa curva ¶e horizontal, nos casos
(a) y = (4x^2 ¡ 8 x + 3)^4 , P = (2; 81). (b) y = (2x ¡ 1)^10 , P = (1; 1).
- Se k(x) = f (g(x)), com f(2) = ¡ 4 , g(2) = 2, f 0 (2) = 3 e g^0 (2) = 5, calcule k^0 (2).
- Determine y^0 sendo y uma fun»c~ao de x dada implicitamente pela equa»c~ao
(a) 2 x^3 + x^2 y + y^3 = 1
(b)
x^2
y^2
(c) (y^2 ¡ 9)^4 = (4x^2 + 3x ¡ 1)^2
- Veri¯que primeiramente que o ponto P pertence μa curva dada e ache a equa»c~ao da reta tangente μa curva no ponto P.
(a) xy = ¡ 16 , P = (¡ 2 ; 8); (b) 2 x^3 ¡ x^2 y + y^3 ¡ 1 = 0, P = (2; ¡3).
- Calcule as derivadas das seguintes fun»c~oes.
(a) f(x) = 3
p 8 x^3 + 27 (b) f(x) = (7x +
p x^2 + 3)^6 (c) f(t) =
(9t^2 + 16)^2 =^3
(d) g(z) =
p (^32) z + 3 p 3 z + 2 (e) F (v) =
p (^5) v (^5) ¡ 32
- Calcule dydx se (a) 6 x + pxy ¡ 3 y = 4 (b) 3 x^2 + 3 p xy = 2y^2 + 20
- Uma fun»c~ao ¶e par se f(¡x) = f (x) para todo x em seu dom¶³nio, e ¶e ¶³mpar se f (¡x) = ¡f (x) para todo x em seu dom¶³nio. Sendo f deriv¶avel, demonstre que (a) Se f ¶e par, ent~ao f 0 ¶e ¶³mpar (ou seja, se f (¡x) = f (x) para todo x no dom¶³nio de f), ent~ao f^0 (¡x) = ¡f 0 (x); (b) Se f ¶e ¶³mpar, ent~ao f 0 ¶e par.
3.3.1 Respostas e sugest~oes
- (a) (^) dxdy = 5x^2
μ x^3 3 + 1
¶ 4
μ x^2 2 + 1
¶ 3
(b) dy dx = 5((x^3 + 7)^4 + x)^4 (12x^2 (x^3 + 7)^3 + 1)(x^2 + 1) ¡ 2 x((x^3 + 7)^4 + x)^5 (x^2 + 1)^2
(c) dy dx =^
10 x^9 (x + 1)^11
- (a) f 0 (x) = 3(x^2 ¡ 3 x + 8)^2 (2x ¡ 3)
(b) f 0 (x) = ¡(7x^2 + 1) (x^2 ¡ 1)^5 (c) F 0 (v) = 17000(17v ¡ 5)^999 (d) s^0 (t) = ¡2(4t^5 ¡ 3 t^3 + 2t)¡^3 (20t^4 ¡ 9 t^2 + 2)
(e) k^0 (u) = (u
(^2) + 1) (^2) (4u (^2) ¡ 30 u ¡ 20) (4u ¡ 5)^6
- (a) (i) y ¡ 81 = 864(x ¡ 2), (ii) (1; 1), (1= 2 ; 0) e (3= 2 ; 0). (b) (i) y ¡ 1 = 20(x ¡ 1), (ii) (1= 2 ; 0).
- k^0 (2) = 15.
