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Incrementos
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e
e
Diferenciais
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Cálculo integral e diferencial
Cálculo integral e diferencial
Prof. Geraldo L. Diniz
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Matemática - ICET - UFMT
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Cadeia Implícita - Apostilas - Matemática Aplicada, Notas de estudo de Cálculo Diferencial e Integral
Apostilas de Matemática Aplicada sobre o estudo do Cálculo integral e diferencial, Definição de incremento, Regra da Cadeia e Derivação implícita.
Tipologia: Notas de estudo
2013
1 / 16
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Incrementos
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e
e
Diferenciais
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Cálculo integral e diferencial
Cálculo integral e diferencial
Prof. Geraldo L. Diniz
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Matemática - ICET - UFMT
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Definição de incremento:
Definição de incremento:
Incremento
Incremento
é a diferença
é a diferença
entre pares de variáveis
entre pares de variáveis
correspondentes. Na figura
correspondentes. Na figura
ao lado, temos:
ao lado, temos:
x = x
x = x
1
1
- x
- x
0
0
y = y
y = y
11
- y
- y
00
ou
ou
y = f(x
y = f(x
11
) – f(x
) – f(x
00
ou ainda:
ou ainda:
y = f(x
y = f(x
0
0
x) – f(x
x) – f(x
0
0
x incremento em x
y incremento em y
Definição de diferencial:
Definição de diferencial:
Seja y = f(x) diferenciável, e
Seja y = f(x) diferenciável, e
seja
seja
x um incremento de x.
x um incremento de x.
(i)
(i) a
a diferencial
diferencial dx
dx da
da
variável x é dx =
variável x é dx =
x.
x.
(ii)
(ii) a
a diferencial dy
diferencial dy da
da
variável y é:
variável y é:
dy = f´(x)
dy = f´(x)
x = f´(x)dx
x = f´(x)dx
ou ainda,
ou ainda,
Se y = f(x0, então
Se y = f(x0, então
ou, pela aproximação linear:
ou, pela aproximação linear:
f (x )
dx
f (x) dx
dx
dy
f (x x) f(x) dy
Regra da Cadeia
Regra da Cadeia
e
e
Derivação implícita
Derivação implícita
Cálculo integral e diferencial
Cálculo integral e diferencial
Prof. Geraldo L. Diniz
Prof. Geraldo L. Diniz
Matemática - ICET - UFMT
Matemática - ICET - UFMT
Dilatação linear
Dilatação linear
Efeito do sol sobre um poste:
Efeito do sol sobre um poste:
- Face quente-face fria1) Face quente-face fria
deformação angular;
deformação angular;
= f(
= f(
) e
) e
= g(t)
= g(t)
variação na altura
variação na altura
dilatação lineardilatação linear
h =
h =
(
(
) e
) e
=
(t)
(t)
Como estudar a variação de
Como estudar a variação de
e h
e h
em função da variação no tempo?
em função da variação no tempo?
Comparação gráfica:
Comparação gráfica:
Exemplos:
Exemplos:
1)Um móvel se desloca ao longo do eixo x de modo
1)Um móvel se desloca ao longo do eixo x de modo
que em qualquer instante
que em qualquer instante
t
t
0 sua posição é dada
0 sua posição é dada
pela equação
pela equação
x
x
t
t
) = cos (
) = cos (
t
t
22
+ 1). Determine sua
+ 1). Determine sua
velocidade como função do tempo.
velocidade como função do tempo.
2) Encontre a derivada de
2) Encontre a derivada de
g
g
t
t
) = tg(5 – sen 2
) = tg(5 – sen 2
t
t
3) Encontre a reta tangente ao ramo direito da
3) Encontre a reta tangente ao ramo direito da
hipérbole definida parametricamente como:
hipérbole definida parametricamente como:
x
x
= sec
= sec
t
t
y
y
= tg t, -
= tg t, -
/2 < t <
/2 < t <
no ponto (
no ponto (
1/
1/
,1), onde
,1), onde
t
t
A matemática do arco-íris
A matemática do arco-íris
Funções definidas implicitamente:
Funções definidas implicitamente:
Estabelecendo o problema:
Estabelecendo o problema:
Como obter a equação da
Como obter a equação da
reta normal no ponto de
reta normal no ponto de
incidência?
incidência?
Quando funções definidas
Quando funções definidas
como como ff (( xx ,, yy ) = 0 são) = 0 são
deriváveis?
deriváveis?
É possível obter
É possível obter dy
dy /
dx
dx ?
Como?
Como?
A curva na figura ao A curva na figura ao
lado não é o gráfico de
lado não é o gráfico de
nenhuma função de
nenhuma função de x,
x, mas
mas
ela pode ser dividida em
ela pode ser dividida em
arcos que representam
arcos que representam
gráficos de funções, esta
gráficos de funções, esta
curva se chama
curva se chama folium de
folium de
Descartes
Descartes
x
3
+ y
3
- 9 xy = 0
Exemplos e exercícios:
Exemplos e exercícios:
Considere a equação
Considere a equação y
y
2
2
x
x = 0. Determine o coeficiente angular
= 0. Determine o coeficiente angular
das retas tangentes à curva, no pontos (1,1) e (1,-1)
das retas tangentes à curva, no pontos (1,1) e (1,-1)
Mostre que o ponto (2,4) está na curva
Mostre que o ponto (2,4) está na curva x
x
3
3
y
y
3
3
- 9
- 9 xy
xy = 0. Em
= 0. Em
seguida, encontre a equação a tangente e a normal à curva nesse
seguida, encontre a equação a tangente e a normal à curva nesse
ponto.
ponto.
No problema do arco-íris, considere a circunferência dada pelo
No problema do arco-íris, considere a circunferência dada pelo
círculo máximo da esfera formada pela gotícula de água, com um
círculo máximo da esfera formada pela gotícula de água, com um
diâmetro 0,1 mm. Supondo que o centro da circunferência esteja na
diâmetro 0,1 mm. Supondo que o centro da circunferência esteja na
origem e que o ponto de incidência dos raios solares esteja no
origem e que o ponto de incidência dos raios solares esteja no
ponto (-√2 / 40; √2 / 40). Encontre as equações das retas tangente
ponto (-√2 / 40; √2 / 40). Encontre as equações das retas tangente
e normal à circunferência neste ponto.
e normal à circunferência neste ponto.