Planos e Retas
Uma abordagem exploratória das
Uma abordagem exploratória das
Equações do Plano e da Reta
Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant
José Antônio Araújo Andrade
Solange Gomes Faria Martins
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3 - Retas e Planos, Notas de estudo de Engenharia Agrícola
Apostilas sobre Vetores (Site do DEX/UFLA, do Prof. José Antônio Araújo Andrade)
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Planos e Retas
Uma abordagem exploratória dasUma abordagem exploratória das
Equações do Plano e da Reta
Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant
José Antônio Araújo AndradeSolange Gomes Faria Martins
Na geometria, um plano é determinado se são dados:
três pontos não colineares
C
A
B
uma reta e um ponto fora desta reta
r
A
B
C
EQUAÇÕES DO PLANO
No plano a equação geral de uma reta é
0
ax
by
c
=
Equação Geral do Plano No espaço um plano é o conjunto dos pontos
P
x y z
que satisfazem a equação
0
ax
by
cz
d
=
para
, ,
a b c
∈
, ,
n
a b c
=
Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano noespaço. No plano, a equação de uma reta é determinada seforem dados sua inclinação e um de seus pontos. No espaço, ainclinação
de
um
plano
é
caracterizada
por
um
vetor
perpendicular
a
ele,
chamado
vetor
normal
ao
plano
e
a
equação de um plano é determinada se são dados um vetornormal e um de seus pontos.
π
)^ P
0 P
i
1
2
3
1 0
1
4
1
1 0
2
8
4
1 0
−
1
2
3
1 0
0
2
2
0 0
−
2
3
0
2
2
0
a
b
c
d
b
c
=
−
=
=
−
'^2
2
1
L
L
L
=
−
'^3
3
1
2
L
L
L
0
2
2
0 0
0
0
6
1 0
−
−
−
2
2
0
6
0
b
c c
d
−
=
−
−
=
=
−
''
'^
'
3
3
2
2
L
L
L
fazendo
c
temos:^ •
em (iii):
d
⇒
α
d
em (ii):
b
⇒
b
α
a
em
(i):
a
⇒
para qualquer valor real que atribuímos a
α
(exceto
α
igual a
zero), iremos obter uma equação do plano que contém ospontos
1
,
P
2 P
3
P
e
Verificação
:
assim,
Portanto,
α^ α^ α
α
=
−
,
6
s
Verificação
:
Se
α
=
1,
Se
Se
Se
6
0
x
y
z
−
=
α
=
2,
2
2
2
12
0
x
y
z
−
=
α
= −
5,
5
5
5
30
0
x
y
z
−
−
−
=
α
=
*,
6
0
x
y
z
α
α
α
α
−
=
Determinando as componentes do vetor
, conheceremos os
coeficientes
a
,
b
e
c
da equação do plano
:
n
(
)
:
0
ax
by
cz
d
π
=
1
3
1
2
n
P P
P P
antes, vamos determinar as componentes dos vetores
1
3
1
2
e
P P
P P
I
1
3
3
1
2,8,
4
1, 2,
1,6,
7
P P
P
P
=
−
=
−
−
=
−
(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
1, 4,
1, 2,
0, 2,
2
P P
P
P
=
−
=
−
=
−
retornando a relação
:
I
(
)
(
)
n
1
6
7
0
2
2 −
−
6
7
1
7
1
6
det
,
det
,det
2
2
0
2
0
2
n
−
−
=
−
−
−
⇒
(
)
n
para determinar
d
e conhecer a equação geral do plano
π
,
basta substituirmos as coordenadas de um dos três pontos doplano, que já conhecemos, em
(II):
deste modo, podemos escrever:
: 2
2
2
0
x
y
z
d
π
=
(
)
II
x
y
z
d
Logo,
x
y
z
d
d
⇒
12
d
= −
: 2
2
2
12
0
x
y
z
π
−
=
:
6
0
x
y
z
π
−
=
ou
ou
Se
é a direção normal de um plano
π
que passa pelo
ponto
um ponto
pertence a
π
se, e
somente se, o vetor
é ortogonal a
o que equivale a,
0 P P
, n
(
)
, ,
n
a b c
=
0
0
0
0
,
,
,
P
x
y
z
=
(
)
,
,
P
x y z
=
0
P
P P
n
π
∈
⇔
⊥
0
P
P
P
n
π
∈
⇔
−
⊥
Demonstração
P
i
n
0 P
Pela proposição, sabemos que:então,
0
,
P
P P
n
π
∈
⇔
⊥
considerando que
0
0
n P P
⋅
=
I
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
,
P P
P
P
x y z
x
y
z
x
x
y
y
z
z
=
−
=
−
=
=
−
−
−
em
(I):
0
0
n P P
⋅
=
0
0
0
, ,
,
,
0
a b c
x
x
y
y
z
z
−
−
−
=
0
0
0
0
a x
x
b y
y
c z
z
−
−
−
=
0
0
0
0
ax
ax
by
by
cz
cz
−
−
−
=
⇒
sendo
temos:
(
)
0
0
0
,
d
ax
by
cz
= −
0
ax
by
cz
d
=
Equação geraldo plano
π
0
0
0
0
ax
by
cz
ax
by
cz
−
=
Exemplo 3
: Encontre a equação do plano
π
que passa pelos
pontos
1
2
3
1
1
1 1
,0,0 ,
0,
,0 e
0,
,
.
2
2
2 2
P
P
P
=
=
=
−
1
2
1
3
n
PP
PP
=
∧
π
1 P
3 P
- 2 P
i i
determinando as componentes dos vetores
:
1
2
1
3
e
PP
P P
1
2
2
1
1
1
1
1
0,
,
,0,
,
,
2
2
2 2
P P
P
P
=
−
=
−
=
−
1
3
3
1
1 1
1
1
1 1
0,
,
,0,
,
,
2 2
2
2
2 2
P P
P
P
=
−
=
−
−
=
−
−
determinando as componentes do vetor
: n
determinando as componentes do vetor
: n
1
2
1
3
n
P P
P P
=
∧
1 1
1
1
1
,
,
,
,
2 2
2
2
2
n
=
−
∧
−
−
⇒
1
1
0
2
2
1
1
1
2
2
2
−
−
−
Logo, a equação geral do plano
π
que passa pelos pontos
é:
1
,
P
2 P
e
3
P
1
1
1
1
0
4
4
2
8
x
y
z
−
=
multiplicando todaa equação por 8
4
4
2
8
2
2
4
1
0
x
y
z
−
=
Para resolver este problema podemos usar o seguinte
corolário
:
Retornando ao
Exemplo 3
: Encontre a equação do plano
π
que
passa pelos pontos
2
3
1
1 1
0,
,0 e
0,
,
.
2
2 2
P
P
=
=
−
1
1
,0,0 , 2
P
=
Sejam
e
Estes
vetores
são
coplanares
(isto
é,
são
paralelos
a
um
mesmo
1
2
3
,
u
u i
u j
u k
=
1
2
3
v
v i
v j
v k
=
1
2
3
.
w
w i
w j
w k
=
Estes
vetores
são
coplanares
(isto
é,
são
paralelos
a
um
mesmo
plano) se, e apenas se,
1
2
3
1
2
3
v
v i
v j
v k
=
1
2
3
.
w
w i
w j
w k
=
1
2
3
1
2
3
1
2
3
det
0
u
u
u
u
v
w
v
v
v
w
w
w
∧
⋅
=
=
e ainda, o fato de que este resultado é usado para verificar sequatro pontos são coplanares. Vejamos: