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Unidade 4 - Vibrações Forçadas sob Condições Gerais
4.1 - Introdução
Na Unidade 3, foi estudada a vibração forçada de sistemas de um grau de liberdade sob a ação de forças harmônicas. Neste capítulo, este estudo será estendido para forças de qualquer natureza. Inicialmente será estudada a atuação de forças periódicas que são combinações de forças harmônicas associadas através das Séries de Fourier que, em sistemas lineares, podem ser consideradas como várias forças harmônicas atuando sobre o sistema e a resposta pode ser obtida utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos. Para a determinação da resposta a forças não periódicas, conhecida como resposta transiente , serão utilizadas ferramentas matemáticas como a Integral de Convolução (ou Integral de Duhamel) e a Transformada de Laplace. O conceito de espectro de resposta também será abordado nesta Unidade. Em todos os casos o sistema será de um grau de liberdade com amortecimento viscoso.
4.2 - Resposta a Uma Força Periódica
Uma força periódica pode ser expressa em Séries de Fourier na forma
( ) (^) ∑ ∑
∞
=
∞
=
1 1
(^0) cos sin (^2) j j^ j j
a j t b j t a
Ft ω ω (4.1)
com
( )
∫ ( )
∫
= =
τ
τ
0
0
sin 1 , 2 ,
cos 0 , 1 , 2 ,
K
K
b Ft j tdt j
a Ft j tdt j
j
j (4.2)
onde τ = 2 π^ ω é o período da função periódica.
A equação do movimento do sistema que sofre a ação de uma força periódica é
∑ ∑
∞
=
∞
=
1 1
(^0) cos sin (^2) j j^ j j
a j t b j t
a
mx &&^ cx & kx ω ω (4.3)
Utilizando-se o Princípio da Superposição dos Efeitos a eq. (4.3) pode ser decomposta nas equações
∑
∑ ∞
=
∞
=
1 3 3 3
1
2 2 2
0 1 1 1
sin
cos
j j
j
j
mx cx kx b j t
mx cx kx a j t
a mx cx kx
e sua solução particular x p ( t ) = x 1 p ( ) t + x 2 p ( ) t + x 3 p ( ) t , em que
( ) ( )
( )
( ) ( )
∑ (^ )
∑
∞
=
∞
=
1 2 22 2 3
1 222 2
2
0 1
sin 1 2
cos 1 2
j j
j
p
j
j
j
p
p
j t jr jr
k
b
x t
j t jr jr
k
a
x t
k
a x t
com
, e 1
tan (^1 22) = =
n
j r jr
j r ( frequência fundamental )
A resposta de regime permanente do sistema (ou solução particular da equação diferencial) é
( ) ( )
( ) ( ) ( )
∑ ∑ (^ )
∞
∞
1 222 2 1 2 22 2
(^0) sin 1 2
cos 2 1 2 j j
j
j j
j
p j t jr jr
k
b
j t jr jr
k
a
k
a
x t ω φ
Os denominadores dos segundo e terceiro termos da eq. (4.6) se aproximam de zero quando o amortecimento é
pequeno e j ω = ω n o que implicará em grandes amplitudes de vibração. Isto descortina a possibilidade do fenômeno da
ressonância acontecer não somente quando a frequência fundamental for igual à frequência natural do sistema mas, também, quando os múltiplos desta frequência fundamental (chamados de frequências harmônicas ) forem também iguais à frequência natural do sistema de um grau de liberdade.
Exemplo 4.1 - No estudo de vibração de válvulas usadas em sistemas de controle hidráulico, a válvula e a sua haste elástica são modelados como um sistema massa-mola como mostra a Fig. 4.1a. Além das forças de mola e amortecimento, há uma força da pressão fluida na válvula que varia com a abertura da mesma. Encontrar a resposta de regime permanente da válvula quando a pressão na câmara varia como indicado na Fig. 4.1b. Assumir que k = 2500 N/m, c = 10 N.s/m e m = 0,25 kg. O diâmetro da tubulação é 50 mm.
c
d
p ( t )
m
k
x ( t )
p ( t ) (N/m^2 )
t (seg)
(a)
(b)
Figura 4.1 - Válvula sob pressão periódica.
Solução: A força exercida sobre a válvula, resultante da pressão fluida é dada por
F t ( ) = A p t ( )
em que A é a área da seção vazada da câmara, dada por
4 2 2 2 6 , 25 10 m 4
= ×
×
d A
Da Fig. 4.1b, τ = 2 s e rad/s
A força atuante na válvula é obtida pela representação da função em Séries de Fourier, na forma
( ) a j t b j t
a F t j j j
∑ (^) j ∑
∞
=
∞
=
1 1
(^0) cos sin 2
Da Fig. 4.1b, a força externa pode ser dada como
F t
At t
A t t
para
para
τ
τ τ
4.3 - Resposta a Uma Força Periódica Irregular
F ( t )
F 1 F 2 F 3
FN - FN
t 1 t 2 t 3 t 4 t (^) N -1 t (^) N
F 4 ∆ t
τ = N ∆ t
2 τ t
Figura 4.2 - Força periódica de forma irregular.
Quando a força atuante não possuir uma forma tal que possa ser expressa por uma expressão analítica (quando resultado de uma medição, por exemplo), a determinação dos coeficientes da Série de Fourier deverá ser realizada numericamente. Neste caso a Série assume a forma
=^ ∞
∑
∑
∑
=
=
=
para 1 , 2 ,...,
para 1 , 2 ,...,
cos
1
1
1
0
j j t Fsen N
b
j
j t F N
a
F
N
a
N
i j i
N
i
j i
N
i
i
Exemplo 4.2 - Encontrar a resposta de regime permanente da válvula do exemplo 4.1, se as flutuações de pressão na câmara são periódicas. Os valores da pressão são medidas com intervalos de 0,01 s (Tabela 4.1).
tempo (s) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0, p (kN/m^2 ) 0 20 34 42 49 53 70 60 36 22 16 7 0 Tabela 4.1 - Pressão em uma válvula hidráulica.
Solução: Como as flutuações de pressão se repetem a cada 0,12 s, o período é τ = 0,12 s e a frequência fundamental da
série de Fourier é ω = 2 π/0,12 = 52,3599 rad/s. Como o número de valores observados em cada período é 12, da eq.
(4.7) obtém-se os coeficientes
∑ ∑ = =
12 1
2 1 0 12 68167 N/m
j i
N i
a N pi p
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
para 1 , 2 ,..., 0 , 12
sin 12
sin
para 1 , 2 ,..., 0 , 12
cos 12
cos
12
1 1
12
1 1
j
j t p
j t p N
b
j j t p j t p N
a
i
i
N
i
j i
i i
N
i j i
π τ
π
π τ
π
Introduzindo estes coeficientes na expressão (4.1), a Série de Fourier é montada até a 6ª harmônica. Em virtude de se tratar de uma função discretizada, a máxima freqüência harmônica presente deve ser a freqüência de Nycquist, dada por
50 Hz 2 0 , 01
×
t
f (^) Nycquist
O que, sendo a freqüência fundamental 8 , 33 Hz 0 , 12
f , é atingido pela sexta harmônica
( )
t t
t t
t t
t t
t t
pt t t
166 , 667 cos 314 , 159 0 sin 166 , 667
2170 , 30 cos 261 , 799 641 , 131 sin 261 , 799
583 , 333 cos 209 , 440 2165 , 06 sin 209 , 440
5833 , 33 cos 157 , 080 2333 , 33 sin 157 , 080
1416 , 67 cos 104 , 720 3608 , 44 sin 104720
34083 , 3 26996 , 0 cos 52 , 3599 8307 , 80 sin 52 , 3599
N/m^2
Sendo ω n = 100 rad/seg, então r = 52,3599/100 = 0,523599, e ζ = 0,2, do exemplo 4.1. A área da câmara de
pressão é também obtida do exemplo 4.1, como A = 0,000625 π m^2.
Os ângulos de fase são dados por
= −^122
tan jr
jr j
φ 1 = 0,280916 rad
φ 2 = -1,34409 rad
φ 3 = -0,404565 rad
φ 4 = -0,242513 rad
φ 5 = -0,177017 rad
φ 6 = -0,140762 rad
A resposta de regime permanente é
0 , 0000146 cos( 314 0 , 141 ) 0 sin( 314 0 , 141 ) m
0 , 000287 cos 262 0 , 177 0 , 0000847 sin 262 0 , 177
0 , 000131 cos 209 0 , 243 0 , 000487 sin 209 0 , 243
0 , 00287 cos 157 0 , 405 0 , 00115 sin 157 0 , 405
0 , 00259 cos 105 1 , 34 0 , 00659 sin 105 1 , 34
0 , 0268 0 , 0281 cos 52 , 4 0 , 281 0 , 00864 sin 52 , 4 0 , 281
t t
t t
t t
t t
t t
x (^) pt t t
4.4 - Resposta a Uma Força Não Periódica
Para a determinação da resposta de um sistema de um grau de liberdade sob a ação de uma força não periódica, os métodos utilizados são:
- Integral de Convolução.
- Transformada de Laplace.
- Integração Numérica.
4.4.1 - Integral de Convolução
A Fig. 4.3b mostra uma força que tem uma determinada magnitude finita e é aplicada em um intervalo de tempo extremamente pequeno. Esta força é chamada de força impulsiva.
O Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento estabelece que
Impulso = F ∆ t = mx &^2 − mx & 1
Em um intervalo de tempo ∆ t o impulso é dado por
F^ $ Fdt t
t t
∆ (4.8)
O impulso unitário é definido por
f^ $^ lim Fdt Fdt t (^) t
t t = = = →
∆ 0
(a)
x ( t )
Ο t
(b)
F ( t )
F
t
F ∆ t = F
∆τ
Ο τ
F g ( t- τ)
τ
Figura 4.4 - Resposta a um impulso aplicado em t= τ.
4.4.1.2 - Resposta a Uma Força Geral
Uma função geral pode ser considerada como uma superposição de impulsos, como mostra a Fig. 4.5.
F ( t )
t
F ( τ)
t
Figura 4.5 - Função geral, não periódica.
A resposta de um sistema a uma força aplicada desta forma será a soma das respostas aos impulsos aplicados
ao longo do tempo. Se a resposta ao impulso unitário aplicado no tempo t = τ é igual a g t ( −τ ), então, aplicando o
Princípio da Superposição dos efeitos a resposta produzida pelo impulso F( τ ) ∆τ, aplicado em t = τ , é
∆ x t ( ) = F ( τ) ∆τ g t ( −τ ) (4.17)
A resposta geral é obtida pela soma das respostas parciais como
x t ( ) = ∑ ∆ x t ( ) = ∑ F ( τ ) g t ( −τ )∆τ (4.18)
Levando ao limite para ∆τÆ0 chega-se a
x t ( ) F ( ) g t ( ) d
t
0
que é conhecida como Integral de Convolução ou Integral de Duhamel. Para um sistema de um grau de liberdade com amortecimento viscoso, onde a resposta ao impulso unitário é dada na eq. (4.14), a equação (4.19) torna-se
x t^ ( )^ ( )^ (^ )^ (^ ) m
F e t d d
t d
t = −^ n − −
τ ζω^ τ^ senω τ τ (4.20)
4.4.1.3 - Resposta à Excitação Impulsiva na Base
Em alguns casos (um carro passando por um buraco ou uma lombada, por exemplo), a excitação na base do sistema tem características gerais, e neste caso, a equação do movimento relativo (3.69) tem sua solução modificada para
x t^ ( )^ y ( )^ e (^ )^ (^ t ) d d
t d
t = − −^ n − −
&& τ ζω^ τ sen ω τ τ (4.21)
Exemplo 4.3 - Uma máquina de compactação, modelada como um sistema de um grau de liberdade, é mostrada na Fig. 4.6a. A força atuante na massa m (que inclui as massas do pistão, da plataforma e do material que está sendo compactado) devido a uma aplicação súbita da pressão, pode ser idealizada como uma força degrau como mostra a Fig. 4.6b. Determinar a resposta do sistema.
Solução: De acordo com o mostrado na Fig. 4.6b, a força externa é igual a
F ( τ )= F 0
Introduzindo na eq. (4.20) tem-se
x t ( ) (^ )^ ( )
m
F e t d d
t d
t = −^ n − −
ω 0 0 ω^ τ^ τ
ζω τ (^) sen
que é integrada por partes, resultando
x t^ ( )^ ( )
F
k
= − e n^ t dt −
(^0) − (^1 )
ζω cosω φ
onde φ
tan −^1 1 2
. O movimento produzido por esta expressão está mostrado na Fig. 4.6c e se caracteriza por
ser um movimento harmônico com a posição de equilíbrio deslocada da sua posição original em F^0 k.
Se o sistema não possuir amortecimento, com ζ= 0 e ω d =ω n a resposta transforma-se em
x t^ ( )^ [ ]
F
k
= 0 1 −cos ω nt
em que o deslocamento máximo ocorre quando cos ω n t = − 1 sendo
x
F
max (^) k
o que pode ser claramente visto na Fig. 4.6d. O movimento é harmônico com amplitude F^0 k e com a posição de
equilíbrio deslocada da posição de equilíbrio original também F^0 k , de forma que o deslocamento máximo em relação
ao referencial adotado, que é a posição de equilíbrio original, é o dobro deste valor.
Exemplo 4.5 - Se a máquina de compactação mostrada na Fig. 4.6a está submetida a uma força constante com tempo de duração limitado 0 ≤ t ≤ t 0 (Fig. 4.8a), determinar a resposta da máquina.
F ( t )
Ο^ t
F 0
t 0
x ( t )
t 0 > τ n /
t
t 0 <τ n /
(a) (b)
Figura 4.8 - Força pulso retangular.
Solução: Como o sistema é linear a força pode ser considerada como uma superposição de uma força degrau F 0 aplicada em t = 0 e uma outra força degrau -F 0, aplicada em t = t 0. A resposta em t > t 0 será a superposição das respostas a cada uma das forças quando aplicadas isoladamente. Estas respostas foram determinadas nos exemplos 4.3 e 4.4, resultando em
x t^ ( )^ { [ ( ) ] ( )}
F e k
e t t t
n n
t t = (^) d d −
− 0 1 2 0
0
ζω ζω
cos ω φ cosω φ
com φ
tan −^1 1 2
Para sistemas sem amortecimento a resposta é
x t^ ( )^ [ ( ) ]
F
k
= 0 cos ω n t − t 0 −cosω nt
Exemplo 4.6 - Determinar a resposta da máquina de compactação mostrada na Fig. 4.9a quando for aplicada uma força que varia linearmente (Fig. 4.9b), devido ao movimento do came.
Solução: A equação da força aplicada, mostrada na Fig. 4.9b é
F ( τ )=δ F τ
onde δ F é a taxa de crescimento da força na unidade de tempo. A equação (4.20), neste caso, torna-se
x t^ ( )^ (^ )^ (^ )
F
m
e t d d
t d
t = −^ n − −
τ ζω^ τ^ senω τ τ
0
cuja integral é resolvida por partes, resultando
x t ( )
F
k
t e t t n
t n
d
d n n d
d = − + n − −
cos 2 sen
Para sistemas sem amortecimento
x t ( ) ( )
F
k
t t n
= (^) n − n
ω senω
F ( t )
x ( t ) k/2 c k/
(a)
Plataforma
Material sendo m compactado
x ( t )
t
(c)
δ F/k
O
Came
Seguidor
Movimento do came
F ( t )
t (b)
δ F
O
2 π ω n
4 π ω n
Figura 4.9 - Máquina de compactação sob força variando linearmente.
4.4.2 - Transformada de Laplace
4.4.2.1 - Definição
O método da Transformada de Laplace é aplicado para resolver equações diferenciais ordinárias, lineares, com coeficientes constantes. Apresenta como vantagens ser aplicável a qualquer tipo de função de excitação, desde que integráveis, tratar funções descontínuas sem dificuldades e levar em conta automaticamente as condições iniciais, o que é significativo quando se trata de resolver um problema do valor inicial. A definição da Transformada de Laplace é
L x t ( ) = x s ( ) = e − stx t dt ( )
∞
onde s é chamada de variável subsidiária , complexa e e −^ st é o núcleo da transformação.
4.4.2.2 - Transformação de Derivadas
A transformada da derivada é obtida através de uma integração por partes, na forma
L
dx t dt e
dx t dt = − st^^ dt = e − st^^ x t − − s e st x t dt = − x + s x s
∞ ∞ −
∞
onde x (0) é o valor inicial de x ( t ). A segunda derivada é obtida seguindo o mesmo caminho. Chega-se a
L
d x t dt
e
d x t dt
st dt x s x s x s
2 2
2 2 0
= − = − 0 − 0 +^2
∞
onde x &( 0 ) é o valor inicial da derivada de x ( t ).
4.4.2.3 - Transformação de Equações Diferenciais Ordinárias
A equação diferencial do movimento de um sistema de um grau de liberdade viscosamente amortecido é
m ( ) ( )
d x t dt
c
dx t dt
kx t F t
2 2 +^ +^ =^ (4.25)
A s^ ( )^ c ( s a (^) i ) c ( s a (^) i ) c ( s a ) c ( s a ) i i
n
i
n n i i
n n i i i k
n
k
n = − + − + + − = − = ≠ = =
−
= ≠ =
1 2 2 2
1
1 1
L (4.35)
Comparando os coeficientes de sj-1^ ( j = 1, 2, ... , n ), em ambos os lados de (4.35), obtém-se um sistema de equações algébricas que podem ser resolvidas para a determinação dos coeficientes ck ( k = 1, 2, ... , n ).
4.4.2.5 - Integral de Convolução. Teorema de Borel.
Considere-se duas funções f 1( t ) e f 2 ( t ), definidas para t > 0. Assuma-se, também, que f 1( t ) e f 2 ( t ) possuem
transformadas de Laplace f 1 ( ) s e f 2 ( ) s , respectivamente, e considere-se a integral
x t^ ( )^ f ( )^ f (^ t )^ d f ( )^ f (^ t ) d
t = − = −
∞
∫ 0 1 τ^2 τ^ τ ∫ 01 τ^2 τ^ τ^ (4.36)
A função x ( t ), é chamada de convolução das funções f 1 e f 2 no intervalo 0 < t < ∞. O limite superior das
integrais em (4.36) são intercambiáveis porque f 2( t - τ) = 0 para τ > t , que é o mesmo que t - τ < 0. Transformando
ambos os lados da eq. (4.36), obtém-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x s e f f t d dt f d e f t dt
f d e f t dt
st st
st
^
^
∞ (^) − ∞ ∞ ∞−
− ∞ ∞
0 01 2 0 1 0 2
0 1 2
τ
onde o limite inferior da segunda integral mudou porque f 2( t - τ) = 0 para τ > t.
A seguir, se introduz a transformação t - τ = λ na segunda integral, e observando que para t = τ tem-se
λ = 0, escrevendo-se
( ) ( ) ( ) ( ) (^ )^ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x s f d e f t dt f d e f d
e f d e f d f s f s
st s t
s s
∞ ∞− ∞ ∞− +
∞ (^) − ∞−
0 1 2 0 1 0 2
0 1 0 2 1 2
τ
τ
τ λ
Das equações (4.36) e (4.38), segue-se que
x ( t ) = L-1^ x s ( ) = L-1^ f 1 ( ) s f 2 ( s ) (4.39)
então
x t ( ) f ( ) f ( t ) d f ( t ) f ( ) d
t t
0 0
A segunda integral na eq. (4.40) é válida porque não importa de que maneira ocorre o acréscimo de tempo.
Teorema de Borel
A transformação inversa de Laplace do produto de duas transformadas é igual à convolução das suas transformadas inversas.
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f ( s ) = f t e ( ) − stdt
∞
f(t)
1 c f 1 ( s ) + c g s 2 ( ) c f t 1 ( ) + c g t 2 ( )
f
s a
f a t a ( ⋅)
3 f ( ) s g s ( )
f t ( ) g ( ) d
t
∫^ −τ^ τ^ τ
0 4
s f s s
d f t dt
n n j
j j j t
n − −
− − = =
1 1 (^10)
d f t ( )
dt
n n
5
s
n f^ s L^ f^ (^ ) d^ L d
t t
6 f ( s + a ) e − atf ( t )
7 1 δ ( t )= degrau unitário aplicado em t = 0
(^8) e s
− as u(t) = impulso unitário aplicado em t=a
sn^
( n = 1,2, ...)
t n
n −
−
1
1!
(^10 )
s + a
e − at
2 s + a
te − at
s a
n
( n = 1,2, ...)
1 n
t n^ eat −
− − !
13
s s + a
( )
a
− e − at
14
s^2 s + a (^ )
a
e − at^ + at −
s^2^ + a^2
a
sen at
(^16 )
s^2^ − a^2
a
senh at
(^17) s
s^2 + a^2
cos at
(^18) s
s^2 − a^2
cosh at
( )
s s^2^ + a^2 (^ )
a
− cos at
( )
s^2^ s^2 + a^2 (^ )
a^3 at^ −^ sen at
21
( )
s^2 + a^2 2 (^ )
2 a^3
sen at − at cos at
( )
s s^2 a^2
2
t a
at 2
sen
( )
s a s a
2 2 2 2 2
t cos at
a s s + a
1 − e − at
(^25) s a
s
2
1 + at
a s s a
2 (^2) +
at (^) ( e (^) ) − 1 − − at
s b s s a
b a
a b
1 − 1 − e at
−
( )
a s s a
2 (^2) + 2
1 − cos at
s^2^ + 2 ζω n s +ω^2 n
d
t e (^) dt − (^) n sen
(^30) s
s^2 + 2 ζω n s +ω n^2
n ζω ω φ
d
t e (^) dt n (^) sen 1
