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Curso de Dinâmica das Estruturas 11
II.2 – Vibrações Forçadas
II.2.1 – Reposta não amortecida a um carregamento harmônico
FORÇA EXTERNA DINÂMICA: p ( ) t = p 0 ⋅ sen ω t
Onde ω = frequência circular da força excitadora
m ⋅ x && ( ) t + k ⋅ x ( ) t = p 0 ⋅ sen ω t
Solução homogênea (vibração livre não amortecida):
⇒ x h ( ) t = A ⋅ cos ω t + B ⋅ sen ω t
Solução particular:
⇒ x^ p^ ( ) t^ = C ⋅ sen ω t (a resposta da estrutura está em fase com a força)
Substituindo a solução particular na equação do movimento:
2
0
k
p C
ω
ω −
Solução geral:
( ) ( ) ( ) sen t
k
p x t x t x t A cos t B sen t 2
0 h p ⋅ ω
ω
ω −
= + = ⋅ ω + ⋅ ω + ⋅
Para condições iniciais: x ( ) 0 = x &( ) 0 = 0
⋅ ω
ω
ω ⋅ ω −
ω
ω −
= ⋅ sen t sen t
k
p xt
2
2
0
Deflexão
estática
deslocamento que
produziria o
carregamento p 0
aplicado estaticamente
k
p x
0 = est =
12 Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
II.2.2 – Reposta amortecida a um carregamento harmônico
m ⋅ x && ( ) t + c ⋅ x &( ) t + k ⋅ x ( ) t = p 0 ⋅ sen ω t
Solução homogênea (vibração livre amortecida):
t xh t A cos Dt B sen Dt e
−ξω ⇒ = ⋅ ω + ⋅ ω ⋅
Solução particular:
⇒ x p ( ) t = C 1 ⋅ cos ω t + C 2 ⋅ sen ω t
(em função do amortecimento, a resposta da
estrutura não deve estar em fase com a
força excitadora)
Solução geral:
( ) ( )
[( ) ]
1 sen t 2 cos t
1 2
k
p x t x t
2
22 2
0 h ⋅ −β ω − ξβ ω
−β + ξβ
Resposta Transiente Resposta Permanente (desaparece no tempo) (steady state)
onde
14 Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
II.2.2 – Isolamento de vibrações
- Prevenção contra efeitos prejudiciais de vibrações induzidas por máquinas
instaladas na própria estrutura;
- Proteção de equipamentos sensíveis à vibrações induzidas na estrutura.
Resposta no regime permanente:
( ) = D ⋅ sin (ω t −θ)
k
p x (^) pt
0
Força elástica transmitida à base:
f s ( ) t = k ⋅ x ( ) t = p 0 D ⋅ sin (ω t −θ)
Força de amortecimento transmitida à base:
= ⋅ = t p D t k
c p D f (^) D t c xt cos 2 0 cos
0 &
Por estarem f s ( ) t e f D ( ) t defasadas de 90º, tem-se:
f fS f D
r r r = +
2 D
2 ⇒ f = fS + f
( ) [ ( ) ]^2
1 2 ⇒ fmax t = p 0 ⋅ D ⋅ 1 + 2 ξβ
Transmissibilidade
do sistema
relação entre a máxima
força transmitida aos apoios e a amplitude
da força excitadora
≡ TR ≡
2
0
max D 1 2 p
f t = ⋅ + ξβ
Curso de Dinâmica das Estruturas 15
Conclusões:
- β < 2 ⇒↑ ξ⇒↓ TR ⇒↑isolamento
- β > 2 ⇒↑ ξ⇒↑ TR ⇒↓isolamento
2 ω ω ω ω
ω β
m k (molas macias)
- Operar em frequênciaω ≥ 2 ⋅ ω X passagem pela frequência de ressonância
