Baixe 53588 - limites com respostas e outras Exercícios em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO CEARÁ - IFCE
Disciplina: CÁLCULO I - LIMITES
Vizinhança: Em R chama-se vizinhança completa de x 0 a um intervalo aberto I , tal que x 0 ε I. Uma
vizinhança completa de x 0 é indicada por V (x 0 ). P.e., I = ½ ; 5 [ é uma vizinhança completa do nº 4, pois 4 ε I.
Observe que sendo a < b, o intervalo ] a ; b [ é uma vizinhança completa de x 0 se, e somente se, x 0 ε ] a ; b [ , isto é,
a < x 0 < b
.Em R chama-se vizinhança completa simétrica de x 0 de raio δ , δ ε
R
ao intervalo aberto o o
] x − δ ; x + δ[
e o
indica-se por V ( x ; δ ).Para construirmos uma vizinhança simétrica basta tomar δ min {x a; b-x } o o
Seja a vizinhança completa V(3) = ]1 ; 4 [ do número 3 .Se tomarmos δ ≤ min { 3 − 1 ; 4 - 3 } = min{ 2 ; 1 } = 1 ,
toda vizinhança simétrica V ( 3 ; δ ) é tal que V ( 3 ; δ ) с V( 3 ) para δ = 1, temos a vizinhança V ( 3, 1 ).
Seja V ( 2 ) = ] 1 ; 7/2 [ uma vizinhança completa do número 2. Determine uma vizinhança completa simétrica do
número 2, V ( 2 ; δ ) с V ( 2 ) R: Para δ = 1 a vizinhança é V ( 2, 1 ).
.Seja V ( 0 ) = ] – 1/2 ; 2 [ uma vizinhança completa do número 0. Determine uma vizinhança completa simétrica do
número 0, V ( 0 ; δ ) с V( 0 ) δ = 1/
Noção intuitiva de limite
. Observações :
a).Para a existência de lim f ( x )
x → a
, o que interessa não é o particular valor que f ( x ) possa tomar no ponto x = a mas sim o
conjunto de valores que f (x ) possa assumir numa vizinhança reduzida de a.
nestecaso limf(x) lim( 2 x 1 ) 3 f( 1 ) 4 ,para x 1
2 x 1 ,parax 1 Ex. :f(x) x 1 x 1
→ →
Mesmo que f ( 1 ) não estivesse definido, o valor do limite seria 3.
b) Se as funções f ( x ) e g ( x ) são tais que : f(x) = g(x ) , para x ≠ a e f ( a ) ≠ g(a) elas possuem o mesmo
comportamento em relação ao cálculo do limite quando x tende a " a ". x 1
2 x x 1 F(x)
2
= definida em R – { 1 } e
g(x) = 2x + 1 definida em R, apresentam o mesmo limite quando x→.
c) O fato de se definir f ( a ) não implica na existência do lim f ( x )
x → a
2x- 1 parax 1
2x 1 parax 1 SejaafunçãodeRemRdefinidapor:f(x)
d) Pode acontecer que não se defina f ( a ) e também não exista lim f ( x )
x → a
Ex.:
4 parax 1
xparax 1 SejaafunçãodeRemRdefinidapor:f(x)
- Considere a função f cujo gráfico é representado ao lado, calcule :
a) lim f(x)
x 1
− →
e) lim f(x)
x 2
→
i) lim f(x)
x→ 3
m) lim f(x)
x 5
− →
b) lim f(x)
x 1
→
f) limf(x)
x→ 2
j) lim f(x)
x 4
− →
n) lim f(x)
x 5
→
c) limf(x)
x→ 1
g) lim f(x)
x 3
− →
k) lim f(x)
x 4
→
0) limf(x)
x→ 5
d) lim f(x)
x 2
− →
h) lim f(x)
x 3
→
l) lim f(x)
x→ 4
- Sendo
x 5 sex 1
3 sex 1
x sex 1
f (x) , encontre: a) lim f ( x )
x 1
→
b) lim ( )
1
f x
x
− →
c) lim ( )
1
f x
x →
- Seja
0, se x 3
, se x 3 x 3
x- 3
h (x). a) Faça o gráfico de h(x). b) Achar, se existir: ++++ x→→→→ 3
lim h(x) ,
x 3
limh(x)
e x 3
limh(x)
- Seja
0, se x 0
, se x 0 x
x
h (x). Mostrar que h(x) não tem limite no ponto 0.
5) Seja f^ (^ x )=^2 +^5 x −^1. Calcule se existir :
(a) ++++ x→→→→ 1/
lim f(x) (b) −−−− x→→→→ 1/
lim f(x) (c) x 1/
f(x)
lim (d) Esboce o gráfico de f(x).
. DEFINIÇÃO : Dizemos que a função f tende ao limite L quando x tende a x 0 se , para qualquer número positvo ε, é
possível encontrar um número positivo δ, tal que se 0 < | x - x 0 | < δ, então | f(x ) - L | < ε
- Seja f : R → R dada por f(x) = 2x – 5. Prove que (^) lim( 2 x 5 ) 3 x 4
→
- Seja f : R → R dada por f(x) = 1 – 3x. Prove que lim( 1 3 x) 5 x 2
→
3)Seja F : R - { 3 } dada por f(x) = x 3
x 9
2
. Prove que 6 x 3
x 9 lim
2
x 3
→
- Seja F : R - { 1 } dada por f(x) = x 1
2 x x 3
2
. Prove que 5 x 1
2 x x 3 lim
2
x 1
→
- Seja f : R → R dada por f(x) = x
2
. Prove que lim x 25
2
x 5
→
- Seja f : R → R dada por f(x) = x
2
- x + 1. Prove que lim x x 1 3
2
x 1
→
1. A lei de Ohm para circuitos elétricos, como na ilustração na fig. Abaixo, diz que V = RI. Nessa equação, V é uma voltagem
constante, I é a corrente em ampéres e R é a resistência em ohms. Sua empresa recebeu um pedido para fornecer resistores
para um circuito no qual V será 120V, sendo I = 5 ± 0,1A. Em qual intervalo R deve ficar para que I esteja a 0,1ª do valor
alvo I 0 = 5A?
2.No circuito RC, (circuito onde a corrente varia com o tempo, contendo um capacitor) tem-se um capacitor de capacitância C
que está inicialmente descarregado. Deseja-se encontrar a carga q deste capacitor em um determinado tempo q(t). Conforme
a equação da carga do capacitor 1
t
RC q C e
− = ε −
estabeleça:
a) A carga de um capacitor quando t = 0:
0
1 = C (1-1) = 0
−
= ε − ε
RC q C e então: quando o tempo é igual a zero, a carga é igual a zero.
b) A carga do capacitor quando t cresce indefinidamente, ou seja, t → ∞
1 1 = C 1 = C 1
∞ − − ^ ε − ε − ε ^ − ∞ →∞ →∞ →∞
t
C e RC^ e RC lim lim lim t t t RC e
C ε
Portanto, quando t creste indefinidamente, a carga é igual a tensão x a capacitância.
ε→ força eletromotriz (tensão no RC) e C → capacitância.
- Sendo 2
x- 1
a x 1 b
x 1
lim =
, calcule a e b. ( a = 4 e b = 4 2 )
- Calcule a e b , sendo
5
x ( 2 b)x 2 b
x ax 8 lim 2
2
x 2
→
( a = 6 e b = 12 )
- Determine um polinômio f(x), de grau 3, sabendo que 6
x 2
f(x) 21 e lim x 1
f(x) lim x 1 x 2
→− +^ →
R.: f(x) = ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( 3x – 4 )
- Calcule a)
x 3
x 27 lim
3
x 27 1
→
(27) b) Calcule
x 1
x 1 lim
4
1
3
1
x 1
−
→
33.Calcule os limites das funções abaixo :
a) (^)
→
3 x 1 1 x
1 x
lim = -1^ b)^
x 1
x 1
n
x 1
lim
→
= n c) x 2 2
2 x 1 3
x 4
lim
d) (^3 )
2
x (^) x 1
x 3
lim
→ +∞
= 1 e)
1
x
3 x 4
x
x 1
lim
f) |x 2 |
2 x 3
lim
x 2
→
g) 3 (x 2 )
7 5 x
x 2
lim
= − ∞ h)
x 3
x 1
4
2
x
lim
→ +∞
= 1 i)
x 2 2
2 x 1 3
lim
x 4 − −
→
j) 2 n n
1 2 3 ... n
lim
→ ∞
34)Seja f :R → R dada por
k , sex 1
,sex 1 x 1
1 x
f (x) determine k, para que f seja contínua no ponto x 0 = 1 Resp.:k = 2
Limites Laterais :
a) dizemos que a função f tende ao limite L quando x tende a x 0 pela esquerda se, dado ε > 0, existe δ > 0 , tal que
se x 0 - δ < x < x 0 , então | f(x ) - L | < ε, indicamos lim f(x) L
o
x x
→ −
b) dizemos que a função f tende ao limite L quando x tende a x 0 pela direita se, dado ε > 0, existe δ > 0 , tal que se
x 0 < x < x 0 + δ, então | f(x ) - L | < ε, indicamos lim f(x) L x x o
→ +
- Sendo x 2
x 4 f(x)
2
= , encontre: a) lim f(x) x →→→→ 2 ++++
b) lim f(x) x →→→→ 2 −−−−
=4 c) lim ( ) 4
2
→
f x
x
−
x 25
x 5 x 10
x 5
lim
2
2
| 2 x 9 x 10 |
x 4 x x 6
2
3 2
x 2
lim
→
6 x 2 (x^2 )
3 x 4 lim
−
→
1 2 x
1 2 x lim
2
1 x
→
7
2
x 2 (^2 x)
x 8 lim
−
→
3
2
x 1 (^1 x)
2 x x 6 lim
−
→
3
2
x 1 ( 1 x)
2 x x 6
lim
− →
= -∞ 9) lim tgx
2
x
− π →
- Dada a função F : R
→ R , f(x ) = x
| x | calcule os limites laterais para xo → 0.
- Dada a função F : R → R , f(x ) = [ x ] calcule os limites laterais para xo→ 2
Limites Infinitos e no infinito:
Dizemos que =+∞
→
lim f(x )
o x x
se, dado qualquer número N > 0 , existe δ > 0 , tal que se 0 < | x - x 0 | < δ , então
f(x ) > N ( definição para um dos vários casos ). Ex.: Seja f : R – { 2 }→ R e 2 (x- 2)
f (x)= , então = =+∞ → 2 x (^2) (x-2)
lim
Calcule os limites abaixo :
a) 2 x (^2) (x 2 )
3 2 x lim
→ −
+∞ b) 2 x (^3) (x 3 )
2 x lim
−
→
= -∞ c)
|x- 2 |
2 x 3 lim x 2
→
+∞ d)
x 2
3 x 2 lim
x 2 −
− →
e) 3 x 2 (x^2 )
7 5 x lim
−
→
= - ∞ g) ,(a^0 )
(x-a)
x a lim 2
4 4
x a
→
Contração de Lorentz : “ Na Teoria da Relatividade Especial, temos que o comprimento de um objeto é função de sua velocidade
2
( ) 1 (^0 )
v L v L
c
= − onde L 0 é o comprimento do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. A velocidade da luz é de aproximadamente
30 x 10
8 m/s. Da teoria da relatividade é conhecido que nenhum objeto pode ir além da velocidade da luz, logo : lim ( ) 0
v c
v c L v
− → =
→
.
Isto significa que para um observador parado o objeto desaparece.
“ Na Teoria da Relatividade Especial, a massa de uma partícula é função de sua velocidade 0 ( ) 2
1 2
m M v
v
c
=
−
onde m 0 é a massa da
partícula em repouso e c é a velocidade da luz. A velocidade da luz é de aproximadamente 30 x 10
8 m/s.
Logo : lim ( )
v c
v c M v
− → = +∞
→
, isto é, se a velocidade de uma partícula aumenta, sua massa aumenta em relação a sua massa inicial m 0
“Sabemos que se uma quantia A 0 é investida a uma taxa r de juros compostos , capitalizados m vezes ao ano, o saldo A(t),
após t anos é dado por
mt 0
m
r
A( t)= A ( 1 +. Se os juros forem capitalizados continuamente, o saldo deverá ser :
( ) lim (1 ) lim 1 0 0 0
t m r mt^ r rt A t A A A e m m^ m m
= + = ^ + = (^) →+∞ →+∞
Ex. As companhias de investimento frequentemente usam o modelo de juros compostos continuamente para calcular o
rendimento de um investimento. Use este método para rastrear o rendimento de $ 100,00 investidos em 2000 com uma
taxa de juros anual de 5,5%, em composição contínua. Resp.: $ 124,
- Dadas as funções abaixo, pede-se:
a) Domínio; b) Assíntotas verticais e horizontais, e intersecções do gráfico com os eixos coordenados e com as assíntotas,
se existem; c) Esboço do gráfico; d) Conjunto Imagem;
A)
3
2
x
x
f x
c) a) dom = R −{− 1 }
b) assíntota horizontal: y = 0 ; assíntota vertical: x =− 1
intersecção entre gráfico e eixo: ( 0 , 0 )
intersecção entre gráfico e assíntota [ y = 0 ]: ( 0 , 0 )
d) im= R
B)
4
2
x
x
f x
c) a) dom = (−∞,− 2 )∪( 2 ,+∞)
b) assíntota horizontal: y = 1 ; assíntotas verticais: x =− 2 e x = 2
intersecção entre gráfico e eixo: (− 3 , 0 )e ( 3 , 0 )
intersecção entre gráfico e assíntota: não existe
d) im =(−∞, 1 )
C)
2
2
x x
x x
f x
c)
a) dom = R −{ 5 }
b) assíntota horizontal: y = 1 ; assíntota vertical: x = 5
intersecção entre gráfico e eixo: ( 3 − 2 2 , 0 )e ( 3 + 2 2 , 0 )
intersecção entre gráfico e assíntota [ y = 1 ]: ( 6 , 1 )
d) im =(−∞, 2 ]
D)
4 16 ( ) 2 18 2
x f x
x
−
−
Teorema do Confronto(SANDUICHE) : sejam g, f e h funções cujos domínios contêm ao menos uma vizinhança reduzida
V de xo. Supondo que:
1º) para todo x ε
V se tenha g(x) ≤ f(x) ≤ h(x )
2º) gx hx L
o x x o x x
→ →
lim ( ) lim ( ) , nestas condições
→
x x o
lim f ( x )^ L
- A) Calcule 3 2 x
2 cosx lim x (^) −
→ ∞
B) Calcule
2 2 (2 ) lim x^100
x sen x
→∞^ x
Funções Trigonométricas : Limite Trigonométrico Fundamental : 1
x
x
x 0
→
sen lim
- Calcule: a)
x a
cosx cosa
x a
lim
=-sen(a) b) sen( 3 x)
sen( 2 x)
lim
x → 0
=2/3 c) 2 x 0 x
1 cosx
lim
→
d) x
tg( 2 x)
lim
x → 0
=2 e) 1
lim
2
x
→ senx
π
f) cosx cosa
x a
x a
lim
cosa
a g) x senx
x senx lim x 0 +
→
h) a
cos(
lim
x 0
→ x
ax
π
i) tgx
sen(tgx) lim x →π
=1 j) sen 2 x sen 4 x
sen 5 x senx
x 0
lim
=1 k) x
tgx
x 0
lim
→
=1 l) 1
lim
x
→ x
sen x
π
π
π
2) Pedrinho fez a seguinte demonstração que 0
lim sen
0
^ =
→ x
x
x
→ x
x
x
lim sen
0
1 1 lim sen lim 0 lim sen 0. 0 0 0
x x x^ x x x
(^) (^) (^) =^ (^) = → ^ ^ (^) → (^) → ^
Critique a demonstração dele.
Comentário : lim ( ) () lim ()lim ()
0 0 0
f xgx f x gx
x → x → x →
= nem sempre é verdadeiro: é necessário que ambos os limites do
lado direito existam. Como
x → x
limsen
0
não existe, a primeira igualdade que Pedrinho escreveu é falsa. Além disso, o
produto “ 0 ⋅∃” não faz sentido e assim, a última igualdade de Pedrinho também não está boa.
Funções exponenciais : f : R → R, tal que f(x) = a
x , com a > 0 e a ≠ 1.
- f(x) = a
x assume somente valores positivos
- se a > 1 , f(x) = a
x é crescente e conseqüentemente :
a) se a > 1 e x > 0 , tem-se a
x > 1 b) se a > 1 e x < 0 , tem-se 0 < a
x < 1
- se 0 < a < 1 , f(x) = a
x é decrescente e conseqüentemente :
a) se 0 < a < 1 e x > 0 , tem-se 0 < a
x < 1 b) se 0 < a < 1 e x < 0 , tem-se a
x > 1
A função f : R → R, f(x) = a
x , com a > 0 e a ≠ 1 é contínua em R , i. é , o
x x
x xo
a =a →
lim.
Teorema : a) Se a > 1, tem-se 0
x a
x
e lim
x a
x
lim =
→−∞
b)Se 0 < a < 1, tem-se
x x lim a 0 e lim a x x
= = + ∞ →+∞ →−∞
a) x 1
1
3 x
x 1
lim 2 −
−
→
=8 b)
1 3 senx
3
x
lim 3
−
π →
c) x
x sen 3 x
x 0
lim 5
−
→
d) 1 x
2 1 x
x
lim 3 −
−
→+∞
Funções logarítmicas : f :
R → R, tal que f(x) = x a log , com a > 0 e a ≠ 1.
Teorema : a) Se a > 1, tem-se lim log e lim log a a
→ →+∞
x x
x 0 x
b)Se 0 < a < 1, tem-se lim log e lim log a a
→ →+∞
x x
x 0 x
x 2 x 4 x 8
x 8 lim log 3 2
3
3
2 x (^2) − + −
→
=-1 2) 2 x x 0
limlog cos →
|x|
lim log 5 x →−∞
lim log
2
2
3
→ −∞ x
x
x
O número ´´ e `` : f :
N → R , dada por
x
x
f (x) 1
= + , prova-se que e x
lim 1
x
x
→ ±∞
a) e x
lim 1
x k
x
→+∞
, k ∈ R b) e x k
lim 1
x k
x
→+∞
, k ∈ R c) lim ( 1 x) e x
1
x 0
→
- Se =±∞ →
lim f ( x )
o x x
então e f(x)
lim 1
f(x )
o x x
→
5. Se ux L
o x x
→
lim ( ) e =±∞ →
lim v ( x )
o x x
então e v(x)
u(x) lim 1
v(x )
o x x
→
Teorema: sendo a > 0
a
e
h
h 0
log
h
a 1
lim =
Calcule:a)
x
x x
lim 1
→ ∞
= e
- b) x
lim 1
3 x
x
→ +∞
= e
x
x 2 x^1
2 x 1 lim
→ −∞
= e
- d)
x 3
x 0
x
lim ( 1
→
e) ( )
x
1
x 0 lim 1 + 2 x → = e
2 f) ( )
cosx
1
x 0 lim 1 +cosx → (^) =
x
e
g) lim 1 =
→ ∞
x
x
i)
2 cot 3
0
2
lim( 1 3 tg x ) e
gx
x
→
j)
3 1 lim 0
x e
x x
− −
→
= -3 k)
ln(1 ) lim 0
x
x^ x
→
= 1 l) lim ( 1),( 0) n n a a x
− > →∞
= lna m)
1 lim 0
x e
x^ senx
− −
→
Teorema do anulamento ou de Bolzano: “Se f for contínua no intervalo fechado [ a ; b ] e se f(a) e f(b) tiverem
Sinais contrários, então existirá pelo menos um c em [ a ; b ] tal que f(c) = 0.
Teorema do Valor Intermediário : Se f for contínua num intervalo fechado [ a , b ]e se k é um número entre f ( a )e
f ( b ), inclusive, então, existe no mínimo um ponto c , c ∈ ( a , b )tal que f ( c )= k.
Conseqüência do teorema acima: Se f for contínua em [ a , b ]e f ( a )e f ( b )são não nulos e de sinais contrários, então
existe, no mínimo, um ponto c , c ∈ ( a , b )tal que f ( c )= 0. Ou seja, y = f ( x )tem pelo menos uma raiz real entre a e b.
Tal conseqüência do TVI é especialmente útil quando não é possível achar a raiz exatamente usando álgebra e temos que
nos satisfazer com uma aproximação decimal da raiz através da identificação de um pequeno intervalo no qual existe no
mínimo uma raiz real.
1.Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe pelo menos um valor de x com 0 ≤ x ≤ 1 Solução da
equação
5 2 x + 4 x − x − 3 = 0.
- Prove que a equação x
3
- 4x + 2 = 0 admite três raízes reais distintas. [-3; -2 ] ; [ 0 ; 1 ] ; [ 1 ; 2 ]
3 .Uma esfera de raio desconhecido x consiste de um centro esférico e um revestimento de 1cm de espessura(ver figura
anexa). Dado que o volume do revestimento e o volume do centro esférico são os mesmos, aproxime o raio da esfera
com uma precisão em três casas decimais. Resp. x = 4,847 cm
