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3.1 C·lculo de Limites
3.1A Em cada caso abaixo calcule o limite de f (x), quando x! a:
(a) f (x) = 2x + 5; a = 7 (b) f (x) =
p 3 x + 1 + 1
; a = 0
(c) f (x) =
x^2 + 3x 10
x + 5
; a = 5 (d) f (x) =
2 x 4
x^3 + 2x^2
; a = 2
(e) f (x) =
x 1 p x + 3 2
; a = 1 (f) f (x) =
p x^2 + 8 3
x + 1
; a = 1
(g) f (x) =
x^4 1
x^3 1
; a = 1 (h) f (x) =
p x
9 x
; a = 9
(i) f (x) =
x^2 + x
x
; a = 0 (j) f (x) =
x^2 + 8x 20
x^2 x 2
; a = 2
(k) f (x) =
p 1 + x p x 1 x
; a = 3 (l) f (x) =
x^4 2 x + 1
x^3 + 2x^2 + 1
; a = 1
(m) f (x) =
p (^3) x 3 p 2
x 2
; a = 2 (n) f (x) =
3 x^3
x^3 1
; a = 1 (faÁa u = 3 x^3 )
(o) f (x) =
s (^) p
x^2 + 3 2
x^2 1
; a = 1 (p) f (x) =
p 3 x + 2 1
x + 1
; a = 1 (faÁa u =
p 3 x + 2)
3.1B Se f È uma funÁ„o deÖnida em R e lim x! 0
f (x)
x
= 1, mostre que:
(a) lim x! 0
f (3x)
x
= 3 (b) lim x! 0
f
x^2
x
3.1C Se lim x! 2
f (x)
x^2
= 1, calcule lim x! 2
f (x) e lim x! 2
f (x)
x
3.1D Sabendo-se que lim x! 2
f (x) 5
x 2
= 3, calcule lim x! 2
f (x) :
3.1E Se ' È uma funÁ„o tal que 1
x^2
4
' (x) 1 +
x^2
2
, 8 x 6 = 0, calcule lim x! 0
' (x) :
3.1F Sejam f e g funÁıes deÖnidas em D, tais que lim x!a
f (x) = 0 e jg (x)j M; 8 x 2 D, sendo
M uma constante positiva. Use o Teorema do SanduÌche e mostre que lim x!a
[f (x) g (x)] = 0:
C¡LCULO DE UMA VARI¡VEL MPMATOS 11
3.1G Considere a funÁ„o g deÖnida por g (x) =
1 , se x 0
1 , se x > 0
. Investigue a existÍncia dos
limites: lim x! 0
g (x) e lim x! 0
x^2 g (x) :
3.1H Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de f no ponto a:
(a) f (x) =
x + 3
x + 2
; a = 2 (b) f (x) =
x
(x 2)
2 ; a^ = 2
(c) f (x) =
2 x
(1 x)
3 ; a^ = 1^ (d)^ f^ (x) =^
x^2 4
jx 2 j
; a = 2
(e) f (x) =
p x^2 + 4x + 5
p 5
x
; a = 0 (f) f (x) =
(x + 3) jx + 2j
x + 2
; a = 2
(g) f (x) =
p 2 x (x 1)
jx 1 j
; a = 1 (h) f (x) =
x + 3
jx^2 9 j
; a = 3
(i) f (x) =
x^2 1
jx 1 j
; a = 1 (j) f (x) =
x + 2
jx^2 4 j
; a = 2
3.1I Calcule lim x! 2 +
p x 2 e veriÖque se existe o limite lim x! 2
p x 2 :
3.1J Calcule os limites laterais indicados.
(a) lim x! 0 +
x
(b) lim x! 0
x
(c) lim x! 0 +
x^2
(d) lim x! 0
x^2
(e) lim x! 3 +
x 3
(f) lim x! 3
x 3
(g) lim x! 0 +
2 x + 1
x
(h) lim x! 0
x 3
x^2
(i) lim x! 0 +
x^2 x
(j) lim x! 0
x^2 x
(k) lim x! 3 +
x^2 3 x
x^2 6 x + 9
(l) lim x! 1
jx 1 j
x 1
(m) lim x! 0 +
2 x + 1
x^2 + x
(n) lim x! 1 +
3 x^2 4
1 x^2
(o) lim x! 0 +
x
jxj
(p) lim x! 1 +
x^2 + 3
x^2 1
3.1K Calclule os seguintes limites no inÖnito.
(a) lim x!+ 1
x^4 + 3x + 2
b) lim x!
x^4 3 x + 2
(c) lim x!+ 1
3 x^3 + 2x + 1
(d) lim x!
3 x^3 + 2x + 1
(e) lim x!+ 1
5 4 x + x^2 x^5
(f) lim x!
5 4 x + x^2 x^5
(g) lim x!+ 1
5 x^3 6 x + 1
6 x^3 + 2
(h) lim x!
5 x^3 6 x + 1
6 x^3 + 2
(i) lim x!+ 1
p x + 1
x + 3
(j) lim x!+ 1
x
p x + 3
(k) lim x!+ 1
x
p x^2 + 3
(l) lim x!+ 1
x
p x^3 + 3
(m) lim x!+ 1
2 x
p x^3 + 3
(n) lim x!
5 x
3 + 2x
(0) lim x!
p jxj p 1 x
C¡LCULO DE UMA VARI¡VEL MPMATOS 13
3.2D Em cada caso, esboce o gr·Öco da funÁ„o e diga se ela È contÌnua no ponto a indicado.
(a) a = 0; f (x) =
2 x, se x > 1
x^2 , se x 1
(b) a = 0; f (x) =
x 2
jx 2 j
, se x 6 = 2
1 , se x = 2
(c) a = 1; f (x) =
x^2 2 x 3
x + 1
(d) a = 1; f (x) =
0 , se x < 0
[x] , se x 0
Nota: No ExercÌcio 3.20(d), [x] representa o maior inteiro menor ou igual a x e a funÁ„o corre-
spondente x 7 ! [x] È denominada funÁ„o escada.
3.2E Seja f a funÁ„o cujo gr·Öco encontra-se esboÁado abaixo.
(a) Calcule lim x! 0
f (x):
(b) Calcule lim x! 3
f (x):
(c) Calcule f (0):
(d) Calculef (3):
(e) f È contÌnua no ponto x = 0?
(f) f È contÌnua no ponto x = 3?
3.2F Existe um n˙mero real capaz de fazer com que lim x! 2
3 x^2 + x + + 3
x^2 + x 2
exista?
3.2G Uma companhia ferrovi·ria cobra R$10,00 por km, para transportar um vag„o atÈ uma
dist‚ncia de 200 km, cobrando ainda R$8,00 por cada km que exceda a 200. AlÈm disso, essa mesma
companhia cobra uma taxa de serviÁo de R$1.000,00 por vag„o, independentemente da dist‚ncia a
percorrer.
Determine a funÁ„o que representa o custo para transportar um vag„o a uma dist‚ncia de x km e
esboce seu gr·Öco. Essa funÁ„o È contÌnua em x = 200?
3.2H Uma f·brica È capaz de produzir 15.000 unidades de um certo produto, em um turno de
8 horas de trabalho. Para cada turno de trabalho, sabe-se que existe um custo Öxo de R$2.000,00,
relativo ao consumo de energia elÈtrica. Supondo-se que, por unidade produzida, o custo vari·vel,
dado o gasto com matÈria prima e sal·rios, È de R$2,00, determine a funÁ„o que representa o custo
14 LIMITE E CONTINUIDADE COMP. 3
total para a fabricaÁ„o de x unidades e esboce seu gr·Öco. A funÁ„o encontrada È contÌnua para
0 x 45 :000?
3.2I Um estacionamento cobra R$3,00 pela primeira hora, ou parte dela, e R$2,00 por hora
sucessiva, ou parte dela, atÈ o m·ximo de R$10,00. Esboce o gr·Öco do custo do estacionamento
como uma funÁ„o do tempo decorrido e analise as descontinuidades dessa funÁ„o.
3.2J Prove que a equaÁ„o x^5 + x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [ 1 ; 0] :
3.2K Prove que a equaÁ„o x^3 4 x + 2 = 0 admite trÍs raÌzes reais e distintas.
3.2L Considere a funÁ„o f deÖnida por: f (x) =
x^2 + 2, se 2 x 0
x^2 2 , se 0 x 2
: Mostre que n„o
existe um n˙mero no intervalo [ 2 ; 2] tal que f ( ) = 0. Isto contradiz o corol·rio do Teorema
do valor Intermedi·rio?
3.2M Quais das seguintes aÖrmaÁıes sobre a funÁ„o y = f (x) ilustrada abaixo s„o verdadeiras
e quais s„o falsas?
(a) lim x! 0
f (x) existe.
(b) lim x! 0
f (x) = 0:
(c) lim x! 0
f (x) = 1:
(d) lim x! 1
f (x) = 1:
(e) lim x! 1
f (x) = 0:
(f) lim x!a
f (x) existe no ponto a em ( 1 ; 1).
3.2N Explique por que os limites abaixo n„o existem.
(a) lim x! 0
x
jxj
(b) lim x! 1
x
x 1
(c) lim x! 2
x + 3
(x 1) (x + 2)
(d) lim x!
x^2 + 3
x
16 LIMITE E CONTINUIDADE COMP. 3
n„o È contÌnua em [ 2 ; 2], o fato n„o contradiz o resultado citado 3.2M V, V, F, F, F, V
3.2N Em cada caso note que os limites laterais, quando existem, s„o diferentes.
