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7 – Colisões
7.1 – Impulso e momento linear Se uma força externa atua sobre um ponto material durante um intervalo de tempo muito pequeno segue da 2 a^ lei de Newton que:
A variação no momento linear (ou quantidade de movimento) durante um dado intervalo de tempo em que a força externa atua sobre o ponto material é dada por:
onde os índices (= inicial) e (= final) se referem aos instantes “antes” e “depois” da força externa ter agido sobre o ponto material. A integral definida na Equação (2) é denominada de impulso , da força externa Em conseqüência, a variação do momento linear de um corpo sobre o qual atua uma força impulsiva é igual ao impulso Uma força impulsiva tem como característica o fato de ser extremamente intensa, porém atuando durante um intervalo de tempo extremamente curto, o “tempo de colisão”.
7.2 – Colisões elásticas e inelásticas Uma colisão entre duas partículas é um processo em que uma é lançada contra a outra, podendo trocar energia e momentum em conseqüência de sua interação. As “partículas” podem ser corpos macroscópicos ou pertencer à escala atômica ou subatômica. O resultado da colisão pode ser extremamente variado. Podem emergir as mesmas duas partículas, caso em que o processo é denominado de espalhamento. Por outro lado, pode emergir um sistema muito diferente: uma só partícula, duas partículas diferentes das iniciais (reações químicas, reações nucleares) ou mais de duas partículas (fragmentação, colisões de alta energia entre “partículas elementares”). A energia total do sistema de partículas sempre se conserva numa colisão, como em qualquer processo físico, embora parte da energia mecânica possa converter-se em outras formas de energia, como o calor. Entretanto, mesmo nas colisões em que a energia mecânica se conserva (forças de interação conservativas), parte da energia cinética pode converter-se em energia potencial, ou vice-versa. Quando numa colisão a energia cinética final é igual à energia cinética inicial, esta é dita ser uma colisão elástica. Qualquer outra colisão é uma colisão inelástica. Numa colisão inelástica a energia cinética final poder ser maior ou menor que a inicial. Um exemplo em que é maior é a explosão de uma granada ao colidir com o solo. Neste caso, energia química armazenada no explosivo se converte em energia cinética dos fragmentos. Em geral, as colisões nem são perfeitamente elásticas nem completamente inelásticas, mas podem enquadrar-se entre estes extremos. A colisão entre duas bolas de bilhar não é perfeitamente elástica. Quando elas se chocam, ouvimos um som: logo, parte da energia é convertida em vibrações, que dão origem a ondas sonoras. Há também um (ligeiro) aquecimento da superfície de contato, ou seja, conversão parcial de energia mecânica em calor. Entretanto, a perda total de energia cinética é pequena – tipicamente, da ordem de 3% ou 4%, e pode-se desprezá-la com boa aproximação, tratando a colisão como se fosse elástica. É sempre possível caracterizar a dissipação de energia de uma colisão especificando um único número chamado de coeficiente de restituição , que representa a razão das velocidades relativas antes e depois da colisão. Colocada em termos matemáticos, a definição do coeficiente de restituição é
Da Equação (3) é evidente que para uma colisão perfeitamente elástica, Para uma colisão perfeitamente inelástica,
7.3 – Colisões elásticas unidimensionais Sejam duas partículas que se movem ao longo de uma reta e colidem elasticamente. Sejam e as massas, e e as velocidades iniciais antes da colisão. A velocidade relativa deve satisfazer à condição
(4) para que haja colisão. Supondo que esta condição seja satisfeita e que as partículas estão sujeitas apenas às forças internas de interação que atuam durante a colisão, de modo que o momento linear total do sistema se conserva:
(5) Como por hipótese a colisão é elástica, a energia cinética total também se conserva. Convém exprimi-la em termos dos momentos das partículas:
Dada a configuração inicial as Equações (5) e (6) são duas equações nas duas incógnitas que determinam a configuração final. Para resolvê-las, a Equação (5) pode ser rescrita na forma
(7) e a Equação (6) como (8) onde foi introduzido o parâmetro adimensional
Dividindo membro a membro a Equação (8) pela Equação (7) obtém-se (10) As Equações (7) e (10) constituem um sistema de duas equações lineares nas duas incógnitas A Equação (10), expressa em termos das velocidades das partículas, dá
ou seja, (11) Isto significa que a velocidade relativa entre as duas partículas se inverte em conseqüência da colisão, o que é característico de uma colisão elástica em uma dimensão. Resolvendo o sistema formado pelas Equações (7) e (10) obtém-se:
As Equações (12) podem ser escritas em termos das velocidades (bastando usar ):
Casos particulares: i) massas iguais Neste caso, pela Equação 8, e as Equações (12) e (13) dão:
ou seja, as partículas trocam entre si os momentos e as velocidades.
ii) Alvo em repouso Neste caso,
houvesse colisão. Essa distância chama-se o parâmetro de impacto. Na figura acima, é a distância entre a linha de movimento inicial do centro da partícula incidente e o centro do alvo. O resultado da colisão é muito diferente conforme o valor de Por exemplo, para tem- se uma colisão frontal, que é essencialmente unidimensional; no exemplo acima se é maior que a soma dos raios das duas bolas, não há colisão. Se e são os momentos lineares finais das duas partículas, o momento do sistema na configuração final é
(21) Esta relação mostra que os 3 vetores pertencem ao mesmo plano, que se chama plano de colisão. A Equação (21) equivale a 2 equações escalares para as componentes e dos vetores:
As energias cinéticas inicial e final são dadas por:
Como a colisão é elástica, ou seja,
As Equações (22) e (25) são 3 equações escalares nas 4 incógnitas e Isto significa que não é possível, em geral, determinar a configuração final sem fornecer mais um dado (isto foi possível no caso unidimensional porque ou e neste caso). O dado extra pode ser o parâmetro de impacto se as forças de interação são conhecidas, pois isto permite, em princípio, calcular as trajetórias. Considerando primeiro o caso particular de uma colisão elástica entre partículas de mesma massa.
a) Massas iguais
Seja A Equação (25) dá então (26) Por outro lado, elevando ao quadrado ambos os membros da Equação (21) (ou seja, tomando o produto escalar dos vetores por eles mesmos), vem
(27) o que representa a lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores e Comparando as Equações (26) e (27), conclui-se que:
Logo, as direções de movimento de duas partículas de massas iguais, após uma colisão elástica com uma inicialmente em repouso, são perpendiculares.
b) Caso geral
No caso geral em que e são diferentes, a Equação (25) se escreve (29) onde
Por outro lado, a Equação (21) dá (31)
que também representa a lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores e Igualando as Equações (29) e (31), obtém-se
(32) que é uma equação do 2 o^ grau na incógnita cujas raízes são
Para que as raízes da Equação (33) sejam reais deve-se ter (34) ou seja, (35)
i)
Neste caso, de maneira que a Equação (35) é sempre satisfeita, qualquer que seja Por outro lado, o radical da Equação (33) é sempre para de modo que só é aceitável a solução com sinal positivo.
ii)
Sendo a Equação (35) leva a
ou seja, existe um valor máximo do ângulo Em particular, se também é de modo que uma partícula pesada que colide elasticamente com uma partícula leve em repouso quase não sofre deflexão. Para as duas raízes na Equação (33) são aceitáveis (dão ); pode-se verificar que elas correspondem a valores diferentes de (colisões com parâmetros de impacto diferentes).
