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AULA 1
ESTUDO DAS FUNÇÕES
Estou à procura de entender melhor os fenômenos relacionados com as aplicações da matemática. Desde pequeno aprendemos diversas regras e fórmulas sem entender onde podemos utilizar tais conhecimentos. Alguns conceitos são apresentados de forma já prontos de tal forma que não sabemos às vezes de onde veio ou de como foi criada determinada fórmula ou equação. O passado da ciência foi cheio de descobertas e investigações de modo que todas as invenções e criações foram realizadas gradativamente através de erros, acertos e observações dos fenômenos envolvidos.
A origem da noção de função confunde-se assim com os primórdios do Cálculo Infinitesimal. Foi Leibniz (1646 -1716) quem usou primeiro o termo "função" no ano de 1673 em um manuscrito em Latim. Leibniz uso o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas como as sub tangentes e sub normais. Ele Introduziu também os termos “constante”, “variável” e “ parâmetro”. Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algébricos, tornou-se indispensável um termo que representasse quantidades dependentes de alguma variável por meio de uma expressão analítica. Com esse propósito, a palavra "função" foi adotada nas correspondências trocadas entre 1694 e 1698 por Leibniz e Johann Bernoulli (1667 -1748). Foi também Euler quem introduziu a notação f(x). Na tentativa de dar uma definição de função suficientemente ampla, a ponto de englobar essa forma de relação, Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) chegou à seguinte formulação: Uma variável é um símbolo que representa qualquer um dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x , corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y , então se diz que y é uma função de x , ou simbolicamente, y = f( x ). Os valores possíveis que x
(variável independente) pode assumir constituem o campo de valores da função.
NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO
Seja um quadrado cujo lado mede x
Se chamarmos de P a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre P e x a seguinte relação expressa pela fórmula matemática:
P = 4. X
Notamos então que a medida P depende da medida x do lado do quadrado. Podemos então construir uma tabela de medidas x arbitrárias e as correspondentes medidas P:
medida do lado x medida do perímetro P 0,5 2 1 4 1,5 6 2 8 3 12 4,5 18
Na lei de associação desta função, temos
P = 4. x
Variável dependente Variável independente
No caso de b≠0 e a≠0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de função afim
Exemplo 1
Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a função que representa seu salário mensal. b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 100.000,00 em produtos. Solução
a) Sabemos que o salário mensal = 900 + 8% ou: Y = 900 + 0,08x
b) Se x = 100000, vem: Y = 900 + 0,08.100000 = R$ 8.900,
ZEROS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, torna f(x) = 0.
Exemplo 2
Calcular o zero da função do exemplo 1.
Solução
f(x) = 0,08x + 900 0,08x + 900 = 0 0,08x = - X= -900/0,08 = -
Explicação: o vendedor para receber zero de salário, não vende nenhum produto e ainda fica devendo para a loja R$11.250,00 em produtos. Pior situação possível para um vendedor!
FUNÇÃO QUADRÁTICA OU POLINOMIAL DO 2º GRAU
A função dada por f(x) = ax^2 + bx + c, com a, b e c reais e a≠0, denomina-se função do 2º grau ou função quadrática.
Exemplo 3
Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 40t – 5t^2 , onde a altura h é dada em metros e o tempo em segundos. Determine: a) A altura em que o corpo se encontra em relação ao solo após 3s.
Solução a) Substituindo t = 3s na equação temos: h= 40.3 – 5(3)^2 = 75m
Podemos representar o gráfico da função como:
t h 0 0 1 35 2 60 3 75 4 80 5 75 6 60 7 35 8 0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
altura (m)
tempo (s)
Assumindo que a velocidade inicial do projétil é de 100m/s determine:
a) A função da posição do projétil de acordo com o tempo; b) A trajetória do projeto para 0 ≤t≤20s, c) O alcance para α variando de 0 a 90º com intervalos de 10º. Solução
a) h(t) = h 0 + v 0 t - 1/2gt^2 h = 0 + 100t – ½ 10t^2 h = 100t – 5t^2 h = 20t – t^2 ou y = 20t - t^2
b)
Pelo gráfico observa-se que a altura máxima é de 500m e que após 20s o projétil retorna ao solo que é exatamente a raiz da equação h = 20t – t^2
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15 20 25
Posição
tempo
trajetória(m)
c)
Pelo gráfico observa-se que o alcance máximo corresponde ao ângulo de 45º
FUNÇÃO EXPONENCIAL
É o tipo de função em que a incógnita é um expoente. Sendo a >0 e a ≠ denominamos função exponencial de base a a função f definida por f(x) = ax^.
Vamos supor que uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 10.000,00 com juros mensal de 5% sobre o montante do mês anterior. Se essa pessoa liquidar a dívida um mês após a contratação o valor devido será de: 10.000 + 500 = 10.500,00 ( 10.000 + 5% de10.000). Esse mesmo resultado poderia ser obtido simplesmente multiplicando 10.000 por 1,05 (100%+ 5%). Se a pessoa pagar a dívida 2 meses depois da contratação, o valor devido será de 10.500 + 525 = 11.025,00 ( 5% de 10.500) que poderia também ser obtido multiplicando-se 10.000 por 1,05^2. Podemos generalizar e dizer que o montante M dessa dívida, n meses após a sua contratação será igual a:
M = 10.000. 1,05n O gráfico nesse caso fica:
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90
alcance (m)
ângulo (grau)
FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Em muitas situações práticas, o valor de certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis. Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (h) e do número de máquinas (M), usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é
P = f(h,M)
FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Seja D um subconjunto (região) do espaço R^2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único número real,
representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. Assim, D é o domínio da função em R^2 , f é a função f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). Exemplos de valores de função de 2 variáveis:
Ex.1- se f(x,y) = x^2 + 2y , então f(2,3) = 2^2 +2.3 = 10 Ex.2- f(x,y) = (3x+y^3 )1/2^ f(1,2) = (3.1+2^3 )1/2^ = 3,
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x,y e y=f(x). Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R^3 e z = f(x,y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R^3
Exemplo 5 Faça um esboço do gráfico da função f cujos valores são dados por: f(x,y) = x^2 + y^2 (equação do círculo) para x e y variando de 0 a 5
0
50
100
150
0
50
100
150
0
10
20
30
40
50
y x
z
Exemplo 6 Calcule: a) O acréscimo da variável independente x , quando ela passa de x 1 = 3 para o valor x 2 = 8. Solução: x = x 2 – x 1 x = 8 – 3 x = 5
b) O acréscimo da variável dependente (y ), correspondente ao acréscimo da variável independente ( x ), quando x passa de x 1 = 3 para x 2 = 8.
Solução: se x 1 = 3 y 1 = 2.3 + 5 y 1 = 11 se x 2 = 8 y 2 = 2.8 + 5 y 2 = 21 y = y 2 – y 1 21 – 11 y = 10
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DA FUNÇAÕ
Considerando x variando no intervalo [ x 1 , x 2 ], A taxa média de variação da
função ou razão incremental de uma função y = f(x) definida e contínua
nesse intervalo é dada pelo quociente:
x
y
. Levando-se em conta o exemplo anterior, temos:
2 1
x x
y y
x
y
Se no lugar de y = 2x +5, tivermos f(x) = 2x +5 , então, y = y 2 – y 1 pode ser dado por f(x) ou mais simplesmente por f = f(x 2 ) – f( x 1 ), e, no lugar de
x
y
, escreveríamos:
x
f
2 1
x x
f x f x
f ^ f = 8 3
Se x é dado por x = x 2 – x 1 , então x 2 = x 1 + x. Fazendo x = h implica que
x 2 = x 1 + h e f(x) = f(x 2 ) – f( x 1 ) pode ser escrito por f(x) = f(x 1 + h) – f( x 1 ).
Exemplo 7 Calcule a taxa média de variação da função f(x) = 3x^2 – 5, para x 1 = 2 e x = 8 Solução: Lembrando que x 2 = x 1 + x x 2 = 2 + 8 e x 2 = 10 f(x 1 ) = f(2) = 3. 2^2 – 5 = 7 f(x 2 ) = f(10) = 3. 10^2 – 5 = 295 y = f(x 2 ) – f(x 1 ) y = f(x 1 +x ) – f(x 1 ) y = f(10 ) – f(2)
y = 295 – 7 = 288 xy ^2888 36
Exemplo 8 Calcule o acréscimo da função y = 2x^2 – 4x + 5 e a correspondente razão
incremental para x 1 = 3 e x = 5
Solução: x 2 = x 1 + x x 2 = 3 + 5 x 2 = 8 y 1 = 2. 3^2 – 4.3 + 5 = 11 y 2 = 2. 8^2 – 4.8 + 5 = 101
y = 101 – 11 = 90 y x ^905 18
Fazendo isto obtém-se a seguinte tabela.
x 2 x 1 x y 2 y 1 y x y
Notamos que à medida que x diminui, a taxa xy dá informações cada vez
mais precisa sobre a variação do valor de y próximo do valor de x = 3. Os
valores da tabela indicam que quando x se torna menor, a razão xy se
aproxima de um valor que parece ser 6, o que, a linguagem dos limites nos
sugere escrever, lim x (^0) xy 6
Este limite fornece a taxa média de variação da grandeza y em relação a
grandeza x. Particularmente, para a abscissa x 1 = 3, a taxa média de variação
da função obtida nessas condições, denominamos de derivada da função
y = x^2 no ponto x 1 = 3.
Genericamente, a derivada de uma função pode ser obtida seguindo os seguintes passos I – Consideramos a função e damos acréscimos às variáveis. II – Isola-se y e estabelece-se a razão incremental (^) xy. III – Leva-se a razão ao limite quando x 0
Exemplo 10 Obter a expressão da derivada da função y = x^2
I – Dando acréscimos:
y y ( x x )^2
II – Isola-se (^) y e estabelece-se a razão incremental (^) xy.
y ( x x )^2 y substitui-se y por x^2
y x^2 2 x x ( x )^2 x^2 onde y 2 x x ( x )^2
A razão incremental é:
x
x x x x
y
2. ( )^2 simplifica-se x e tem-se x x x
y (^)
^2.
III – Leva-se a razão ao limite quando x 0 e obtém-se a função derivada.
lim x 0 xy ^2 x^ que também pode ser expressa mais simplesmente por uma das
notações:
y '^ 2 x ; f '^ ( x ) 2 x ou (^) dxdy^ 2 x.
Para o nosso exemplo a função derivada de y = x^2 é y’^ = 2x, cujo valor no
ponto x = 3, é y’(3) = 2. 3 = 6, já calculado anteriormente.
Calcule a velocidade média do carro no intervalo [t , t+∆t]:
Como a velocidade do carro varia no intervalo [t , t+∆t], a velocidade média não é igual a velocidade instantânea no tempo t. No entanto, podemos reduzir o ∆t de forma que as variações de velocidades sejam cada vez menores. Então, desta maneira, se ∆t → 0, a velocidade média será uma boa aproximação da velocidade instantânea no instante t. Logo, a velocidade instantânea é:
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA
A derivada de uma função f é a função denotada por f´ e definida por:
Notações:
f’(x), y’, dy/dx
DERIVADAS PARCIAIS
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) , sua derivada em relação a x é:
Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante.
