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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1.0 - INTRODUÇÃO
1.1 – OBJETIVOS E MÉTODOS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as pro- porções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim de capa- citá-las a cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade, durabilidade e em condições econômicas.
A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à ruína é chamada de resistência do elemento e constitui o problema principal para a análise nesta disciplina.
A limitação das deformações, em muitos casos, se torna necessária para atender a requisitos de confiabilidade (deformações exageradas podem ser confundidas com falta de segurança) ou precisão (caso de máquinas operatrizes ou ferramentas). A ca- pacidade de um elemento reagir às deformações é chamada de rigidez do elemento.
Muitas vezes, apesar de os elementos estruturais satisfazerem aos requisitos de resistência e de rigidez sob a ação das cargas, a estrutura, como um todo, não é capaz de manter o estado de equilíbrio, por instabilidade. A estabilidade das estruturas é outro problema a ser analisado.
Estados perigosos provocados por descontinuidades na geometria dos elemen- tos ( concentração de tensões ), por cargas alternativas ( ressonância e fadiga do ma- terial) e por cargas dinâmicas ( choque mecânico ) serão também estudados.
A escolha dos materiais, das proporções e das dimensões dos elementos de construção deve ser feita baseada em critérios de otimização , visando, invariavelmen- te, a custos mínimos, menores pesos (fundamental na indústria aeronáutica), facilida- de de fabricação, de montagem, manutenção e reparo.
Na solução de seus problemas básicos, a Resistência dos Materiais estabelece modelos matemáticos simplificados (esquemas de cálculo) para descrever a complexa realidade física, permitindo uma fácil resolução dos problemas, obtendo-se resultados aproximados que, posteriormente, são corrigidos através de coeficientes que levam em conta as simplificações feitas. Esses coeficientes de correção ( coeficientes de se- gurança ) são estabelecidos experimentalmente e muitas vezes arbitrados por Normas Técnicas ou em função da habilidade e experiência do projetista.
A solução de problemas mais complexos, para os quais os esquemas simplifi- cados da Resistência dos Materiais não se enquadram, é em geral tratada pela Teoria da Elasticidade (outro ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se propõe a solucionar os mesmos problemas da Resistência dos Materiais, porém através da uti- lização de métodos matemáticos mais complexos, mas de maior abrangência).
1.2 – HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
Em sua maioria, as construções e as máquinas são muito complicadas quanto às características dos materiais, a forma e geometria dos elementos estruturais, tipos de carregamento, vinculação etc. e, a menos que sejam estabelecidos esquemas de cálcu- lo e hipóteses simplificadoras, a análise dos problemas seria impraticável. A validade de tais hipóteses é constatada experimentalmente.
a) Quanto aos materiais:
Os materiais serão supostos contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc) homo- gêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e isótropos (iguais proprieda- des em todas as direções). Essas hipóteses nos permitem aplicar as técnicas elementa- res do cálculo infinitesimal para a solução matemática dos problemas. Deve-se ter cautela, entretanto, quanto à sua aplicação para certos materiais de construção (como o concreto ou a madeira), ou materiais de estrutura cristalina (como o granito) cujas características heterogêneas e anisotrópicas nos levariam a resultados apenas aproxi- mados. Outra suposição freqüentemente utilizada é de que os materiais são perfeita- mente elásticos (sofrendo deformações cuja extensão é proporcional aos esforços a que estão submetidos, retornando às dimensões originais quando cessam esses esfor- ços).
b) Quando à geometria dos elementos estruturais:
Os elementos estruturais serão reduzidos aos seguintes modelos simplificados (Fig. 1.2.1):
BLOCOS – corpos cujas três dimensões principais são da mesma ordem de grandeza (a ~b ~c);
FOLHAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada espessura) muito menor (*) que as outras duas (e << a ~b);
BARRAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada comprimento) muito maior (*) que as outras duas (c >> a ~b).
(*) da ordem de 10 vezes ou mais.
A Resistência dos Materiais Elementar propõe métodos para resolução de pro- blemas envolvendo elementos estruturais do tipo de barras. Estudos mais avançados dão conta da solução de alguns problemas relativos às folhas. O estudo dos blocos não é tratado pela Resistência dos Materiais, devendo-se recorrer aos métodos da Te- oria da Elasticidade.
(uma força concentrada em um ponto) é uma abstração já que, para uma área de con- tato praticamente nula, uma força finita provocaria uma pressão ilimitada, o que ne- nhum material seria capaz de suportar sem se romper.
Fig. 1.2.2 – Tipos de Carregamento: forças distribuídas (a) em volumes, (b) em superfícies, (c) em linha; (d) forças concentradas.
d) Quanto aos vínculos
Os vínculos são dispositivos mecânicos que impedem certos movimentos da estru- tura ou máquina, através de esforços reativos cujos tipos são estudados nos cursos de Mecânica dos Corpos Rígidos. Para o caso particular e muito comum de esforços coplanares, os vínculos são classificados em três categorias (Fig. 1.2.3)
Apoio móvel - capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo numa direção pré-determinada;
Apoio fixo – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo em todas as direções;
(a)
(b)
(c)
(d)
W
P
q(x)
F
Engastamento – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto.
Fig. 1.2.3 – Tipos de vínculos e reações de apoio
e) Inexistência de esforços iniciais –
Nos processos de conformação e tratamento térmico dos materiais (fundição, usina- gem, laminação, forjamento, embutimento, têmpera, etc) surgem esforços localizados cuja presença não será considerada em nossos estudos. Suporemos que não existem esforços iniciais no corpo antes de seu carregamento. Quando existirem fortes razões para que tais esforços precisem ser considerados, eles serão determinados experimen- talmente.
f) Princípio de Saint’Venant – Uma hipótese simplificadora que é sustentada pela observação experimental é a estabelecida por Saint’Venant, indicando que em pontos suficientemente afastados das regiões de aplicação dos es- forços, os efeitos internos se manifestam independentemente da forma de distribuição daqueles es- forços. Este princípio permite o cálculo dos esforços no interior dos corpos utilizando a resultante
APOIO MOVEL SÍMBOLO
APOIO FIXO SÍMBOLO
SÍMBOLO
E N G A S T A M E N T O
Pino deslizante rodete
Biela ou conectora
rótula
R
Ry
Rx
Ry
Rx
Mz
1.3 - ESFORÇOS
Os esforços que atuam sobre um sistema material ou parte de uma estrutura podem ser classificados segundo o quadro:
Permanentes ATIVOS EXTERNOS Acidentais REATIVOS
Força Normal ESFORÇOS Força Cortante SECCIONAIS Momento Fletor INTERNOS Momento Torçor (Torque)
Tensão Normal LOCAIS Tensão Tangencial
a) Esforços Externos – são os que atuam no sistema material em análise (por contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos). Os esforços ativos serão classificados de permanentes quando atuam constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando atuam de forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida das máquinas, etc.). Esses esforços são em geral conhecidos a priori (através das Normas Técnicas, requisitos para o projeto, etc). No projeto de novas estruturas o peso próprio é inicialmente desconhecido já que as dimensões das partes não estão ainda estabelecidas. O peso próprio é levado em conta nesses casos a partir de um peso estimado e utilizando-se um método de cálculo iterativo, rapidamente convergente. Os esforços produzidos pelos vínculos, também externos, são denominados de esforços reativos , ou reações dos apoios, sen- do determinados pelas equações da Estática que regem o equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso que, no caso de carregamentos coplanares, se reduzem a:
Σ F (^) x = 0 Σ F (^) y = 0 Σ M (^) z = 0 Quando o número de reações vinculares desconhecidas iguala o número de e- quações da Estática utilizáveis, a estrutura é dita isostática (ou estaticamente deter- minada). Caso o número de reações seja superior ao número de equações disponíveis, estaremos diante de uma estrutura hiperestática. A determinação dos esforços reati- vos nessas estruturas estaticamente indeterminadas será feito utilizando-se equações suplementares que caracterizem a compatibilidade de deformações e que serão estu- dadas no presente curso. Como exemplo, a Fig. 1.3.1 apresenta um esquema da estrutura isostática de um guindaste onde se pode reconhecer que o peso de 20 toneladas como um esforço externo ativo permanente, a carga de 10 tf como um esforço externo ativo transitório. A ponte móvel se apóia no mancal superior B (apoio fixo) e encosta-se em A (apoio móvel) na pista circular fixa à torre. A determinação das reações nesses apoios, feita através das equações da Estática, nos permite obter: A = 10,0 tf (); B (^) x = 10,0 tf (); B (^) y = 30,0 tf (); B = 31,6 tf (71,6º )
Pista circular rodetes
8m
6m
20 tf
10 tf
A
B (^) x
B (^) y
B
A
10tf
20tf
2m
Fig. 1.3.1 – Estrutura isostática da Ponte Móvel de um Guindaste (AMRJ).
z
y
3 kN 600mm
x 300d 350 250 4kN
1 - Na seção flangeada do engaste:
F (^) x = N = 4 kN (tração) F (^) y = Q (^) y = 0 F (^) z = Q (^) z = 3 kN
M (^) x = T = 3 x 0,750 = 2,25 kN.m M (^) y = 3 x 0,600 = 1,80 kN.m M (^) z = 4 x 0,500 = 2,00 kN.m
M = (2^2 + 1,8^2 ) ½^ = 2,69 kN.m
0,80 kN/m 3,2kN
B 5m
4m
2 - Traçar os diagramas de es- forços solicitantes N, Q e M para o pórtico esquematizado:
2, kN
2,
4,0 (^) 3,
C
C
A
1 2
Ay
Ax
Ay
Solução
- Cálculo das Reações: Pelo Σ MA = 0 pode-se escrever: 4x5,5 + 3,2x2 – 2,4 x 4 = Cx8; C = 2,35 kN ( ) Pelo Σ Fx = 0 e Σ Fy = 0, obtem-se: Ax = 2,40 kN ( ) e Ay = 4,85 kN ( )
Força Normal (N) O trecho AB estará comprimido (N=4,85kN), como também o trecho BC (N= 2,40kN). Re- lembra-se a convenção de sinais para a força N: [+] tração ; Compressão [-]
Força Cortante (Q) Relembra-se a convenção de sinais para a for- ça cortante Q: [+] ; [-] A seção onde se anula o valor de Q é impor- tante (corresponde a um valor extremo de M, já que Q = dM/dx): No trecho CB, tal ocorre em x = 2,9375m. Note que no “joelho” B, a força cortante se converte em normal e vice-versa.
Momento Fletor (M) Relembra-se a convenção de sinais para M:
Na seção crítica, onde a força Q é nula:
M^ = 2,35 x 2,9375 – 0,80 x (2,9375)^2 / M^ = 3,45 kN.m
C
2,
(^4) 3, B
AX
N
(kN)
-2,
-4,
+2,
x -1, -4,
+2,
Q
(kN)
B
x
3,
9,
M KN.m
(^5 1 ) 2 4
geral, será diferente. Não são apenas as componentes que se modificam com a orien- tação do plano, mas é o vetor tensão que se altera.
Assim é que, por exemplo, no caso simples de uma barra prismática (Fig. 1.4.2), de pequena seção transversal de área A 0 e submetida a uma força de tração F pelos topos, fácil será concluir que, em um certo ponto P do plano da seção transver- sal, atuará uma tensão normal de tração cujo valor será, em média, σ = F/A 0 , sendo τ = 0.
Fig. 1.4.2 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção.
Para uma outra seção, inclinada de um ângulo φ em relação à seção transversal (a direção normal a esta seção formará também um ângulo φ em relação ao eixo da barra), a sua área será maior, valendo Aφ = A 0 / cos φ, e como a força total é a mesma (F), a tensão será, em média, Sφ = F / A 0 cos φ, e suas componentes valerão:
σφ = Sφ cos φ = (F/Α 0 ) cos^2 φ, e τφ = Sφ sen φ = (F/Α 0 ) sen φ cos φ
Os casos limites em que φ = 0 e φ = 90, nos levam aos valores σ 0 = F/A 0 e τ 0 = 0, bem como, σ 90 = 0 e τ 90 = 0.
Observe o fato relevante de que, apesar de estar a barra simplesmente traciona- da, nas seções em que φ = 45º (planos de clivagem), haverá uma tensão tangencial de valor ½ (F/A 0 ) (valor máximo dessa tensão tangencial - metade do valor máximo da tensão normal, ocorrente no plano da seção transversal). Note também que nos planos longitudinais da barra ( φ = 90 ), tanto a tensão normal como a tangencial são nulas. Para identificar o estado de tensão em um ponto de um corpo carregado neces- sário se torna o conhecimento das tensões ocorrentes em três planos ortogonais que se interceptam no ponto considerado, e que são três vetores, totalizando nove compo- nentes escalares. Uma grandeza deste tipo é designada como um tensor de 2ª ordem
F A 0
F
S 0 = σ = F/A 0
F
Sφ = F / (A 0 /cos φ)
φ
F
(A) (B)
φ
(a ordem [O] de um tensor é o expoente n da relação [O] = 3n^ que fornece o número de componentes escalares da grandeza – uma grandeza escalar, como a temperatura, é um tensor de ordem zero, enquanto uma grandeza vetorial, como a força, é um tensor de 1ª ordem).
A figura 1.4.3 apresenta um estado de tensão genérico num ponto P de um cor- po carregado, definido pelas tensões que atuam em três planos ortogonais que se in- terceptam no ponto P.
Fig. 1.4.3 – Estado de tensão em um ponto P de um corpo carregado (coloque os índices das duas tensões assinaladas com *, seguindo a convenção exposta no texto a seguir).
Utilizou-se uma notação de dupla indexação, na qual o 1º índice informa o plano onde a tensão atua (definido pelo eixo que lhe é perpendicular) e o 2º indica a direção da tensão propriamente dita (por exemplo, τyz é a tensão, tangencial, que atua em um plano perpendicular ao eixo y e é orientada na direção do eixo z). As tensões normais terão sempre índices iguais, por tal convenção, sendo designadas pela letra σ. Quanto aos sinais dessas tensões, adotaremos a seguinte convenção:
- para uma tensão atuante em uma “face positiva” (aquela cuja normal exterior está orientada no sentido positivo do eixo que lhe é perpendicular), será esta tensão positiva se orientada no sentido positivo do eixo correspondente, e negativa se orien- tada no sentido oposto;
τxy
σxx
σyy
τ *^ τyx
σzz
τzy
τxz
x
z
y
P
dz dx
dy
.............................................( 1.4.4 )
Convém realçar que, ao se modificar a orientação dos eixos coordenados, as componentes τij sofrerão alterações, porém o estado de tensão no ponto considerado (dependente do carregamento aplicado ao corpo) se mantém invariante.
É também importante caracterizar desde logo que a matriz em (1.4.4) é simétri- ca em relação à diagonal principal, ou seja:
τxy = τyx
τyz = τzy
τzx = τxz
A demonstração das equações (1.4.5) pode ser feita analisando-se o equilíbrio de momentos das forças atuantes sobre as faces do paralelepípeto elementar mostrado na Fig. 1.4.3, momentos esses tomados em relação a 3 eixos paralelos aos eixos coor- denados, passando pelos pontos médios das faces (equilíbrio de momentos válido, inclusive, para o caso de o elemento estar acelerado, já que o momento de inércia da massa elementar em relação a um seu eixo é nulo – “M = I α”). Assim, para um eixo paralelo ao z, passante pelo ponto médio da face que lhe é perpendicular, de área dx.dy, as únicas forças atuantes nas demais faces e que provo- cam momentos em relação a tal eixo (as que não o cruzam ou que não lhe são parale- las) serão:
τxy (dy.dz) e τyx (dx.dz), que, multiplicadas pelos respectivos braços para to-
mada de momentos nos permite escrever:
τxy (dy.dz). (dx/2) = τyx (dx.dz). (dy/2),
ficando demonstrado que τxy = τyx. O mesmo procedimento repetido para os outros
dois eixos, na mesma condição, nos levará ao que consta nas equações (1.4.5).
Uma conseqüência importante dessa propriedade do tensor das tensões é o fato de que a tensão tangencial no contorno livre de peças carregadas é sempre tangente ao contorno (como mostrado na Fig. 1.4.5)
σx
τxy
τxz
τyx
σy
τyz
τzx
τzy
σz
S =
Fig. 1.4.5 – Tensões tangenciais nos contornos livres das peças.
Outro fato que será analisado em detalhe mais adiante é que a simetria da ma- triz (1.4.4) nos indica a possibilidade de, por uma conveniente mudança da orientação
dos eixos coordenados (x, y, z), obter-se uma matriz equivalente diagonalizada (τij =
0), obtendo-se na diagonal principal as tensões chamadas principais que descrevem o estado de tensão no ponto considerado.
Assim como o conceito de força, a idéia de tensão é puramente abstrata, não podendo essa grandeza ser medida diretamente. Como veremos, as tensões são avali- adas indiretamente, através de seus efeitos, as deformações (caberia a pergunta: é a ten- são que provoca a deformação ou o inverso – a deformação – fato físico mensurável, é que provoca a tensão – conceito abstrato)
1.5 – TENSÕES EM PEÇAS SOB CARREGAMENTO CENTRADO.
Como aplicações iniciais para o estudo do cálculo de tensões em casos mais simples, trataremos de peças que, por suas condições de simetria geométrica e de car- regamento centrado, nos permitem admitir uma distribuição uniforme para as tensões ao longo da área em que atuam (em seções afastadas dos esforços localizados, segun- do Saint’Venant). Tal valor, embora possa não representar a distribuição real das ten- sões nos diversos pontos da área considerada, pelo menos, nos indica um valor médio para tais tensões, dando-nos idéia de sua ordem de grandeza. No caso de tra- ção/compressão ou corte (cisalhamento) puros, calcularemos as tensões simplesmente fazendo:
σ = N/A e τ = Q/A .................. (1.5.1)
Q
T
τ = 0
Esta componente de τ não pode existir
σAT^ = (36 x 10^3 N) / [(100 – 25) x 15 x 10-6^ m^2 ] = 32 x 10^6 N/m^2 = 32,0 MPa
σΒΤ^ = (72 x 10^3 N) / [(150 – 25) x 20 x 10-6^ m^2 ] = 28,8 x 10^6 N/m^2 = 28,8 MPa
As tensões críticas de cisalhamento nas chapas (nos planos em que seriam ras- gadas tangencialmente) valerão:
τΑ = (36 x 10^3 N) / [(2) x 75 x 15 x 10-6^ m^2 ] = 16 x 10^6 N/m^2 = 16,0 MPa
τΒ = (72 x 10^3 N) / [(2) x 80 x 20 x 10-6^ m^2 ] = 22,5 x 10^6 N/m^2 = 22,5 MPa
A tensão de compressão (esmagamento) nos furos das chapas será calculada dividindo-se o valor da força de compressão por uma área menor do que a área em que os esforços se distribuem, a saber, a área projetada num plano perpendicular à direção da força. O valor assim obtido, demons- tra-se, é até ligeiramente superior ao valor máximo atingido pelo valor da tensão variável, ocorrente na aresta mediatriz da área solicitada (tensões de Hertz). Teremos então (a favor da segurança):
σAC^ = (36 x 10^3 N) / [25 x 15 x 10-6^ m^2 ] = 96 x 10^6 N/m^2 = 96,0 MPa (C)
σBC^ = (72 x 10^3 N) / [25 x 20 x 10-6^ m^2 ] = 144 x 10^6 N/m^2 = 144 MPa (C)
Para o pino de união das chapas, teremos uma tensão tangencial cal- culada por:
τP = (36 x 10^3 N) / [(π/4) x [25]^2 x 10-6^ m^2 ] = 73,34 x 10^6 N/m^2 = 73,3 MPa
As tensões de compressão (esmagamento) no corpo médio do pino (em contato com a chapa B) e em suas duas extremidades (em contato com as chapas A), valerão, respectivamente 144 e 96 MPa (conforme se pode presumir, calcado no princípio da Ação e Reação – já que as áreas de conta- to se superpõem).
OBSERVAÇÃO: os resultados numéricos devem ser apresentados com 3 (três) alga- rismos significativos (compatível com a precisão dos dados em geral disponíveis na
Engenharia – como por exemplo: g = 9,81 m/s^2 , γ aço = 7,83 tf/m^3 , etc).
1.6 – DEFORMAÇÕES.
Os corpos são constituídos de pequenas partículas ou moléculas entre as quais existem forças de interação. Se forças externas são aplicadas ao corpo, as partículas se deslocam, umas em relação às outras, até que as forças interiores estabeleçam uma nova configuração de equilíbrio. A composição desses deslocamentos microscópicos produz modificações volumétricas e de forma que caracterizam as chamadas defor- mações do corpo.
A Fig. 1.6.1 apresenta como exemplo uma barra prismática onde foi marcada uma extensão de comprimento inicial l 0 que, sob a ação de uma força de tração N, sofre uma elongação δ l.
Fig. 1.6.1 – Deformação axial. Elongação ( δ l) A magnitude da deformação axial sofrida por uma barra será avaliada pela chamada deformação específica longitudinal ( ε), grandeza adimensional ( epsilon ) definida como:
(de valor muito pequeno, medida em % ou em micros - μ = 10-6^ ), positiva, no caso de tração, e negativa, no caso de compressão. O comprimento final da fibra (tracio- nada, ou comprimida) será expresso por:
l = l 0 ( 1 + ε ) .......................................(1.6.2)
δ l
l 0
l = l 0 + δ l
N
N
ε = δ l / l 0 = ( l − l 0 ) / l 0
