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o relatorio descreve a relação que existe entre a força elastica de uma mola e a deformação da mesma
Tipologia: Provas
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Relatório apresentado como parte de critérios de avaliação da disciplina CET 165 – LABORATÓRIO DE FÍSICA I. Turma P02.
Temos conhecimento que quando exercemos uma força sobre qualquer material, haverá uma deformação nesse mesmo material, que pode ou não ser notada. Comprimir ou apertar uma mola é uma situação no qual essa deformação pode ser observada nitidamente. No entanto, existe a força restauradora que aparece sempre no sentido de recuperar o formato original do material e tem procedência nas forças intermoleculares que conserva as moléculas ou átomos unidos. A lei de Hooke delineia a força restauradora que existe em diversos sistemas quando comprimidos ou distendidos. Assim, uma mola estendida ou comprimida irá retornar ao seu comprimento original devido à ação da força restauradora. O físico inglês Hooke divulgou que quando maior fosse o peso de um corpo suspenso a uma das extremidades da mola (cuja extremidade era presa a um suporte fixo) maior era a deformação, que seria o aumento do comprimento, sofrida pela mola. Verificou-se também, que existia sempre proporcionalidade entre força deformante e força elástica produzida. A lei de Hooke só vale até um determinado valor de tensão, denominada limite de proporcionalidade, representada pelo ponto A no gráfico abaixo ( figura 1 ). A partir deste ponto, a deformação deixa de ser proporcional à carga aplicada chegando à fase plástica, onde a deformação é permanente até a ruptura do material.
Ilustração SEQ Ilustração * ARABIC 1- Peso x Deslocamento Na prática, considera-se que o limite de proporcionalidade e o limite de elasticidade são coincidentes.
Relacionando estes princípios com a Segunda Lei de Newton temos que, quando o somatório das forças aplicadas em um corpo for igual a zero, o mesmo estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme ( MRU ). No caso da figura 2 , na posição de equilíbrio, o peso de uma massa equivale à força elástica da mesma.
Ilustração SEQ Ilustração * ARABIC 2 - Representação das Forças
Assim, matematicamente temos:
No caso considerado por Hooke, a deformação sofrida pela mola era caracterizada pela variação , no qual é a variação do comprimento da mola, sob a ação de uma força F 04 4 F, tal que:
Essa relação de proporção pode ser transformada numa seguinte igualdade, introduzindo um fator representado pela letra k:
O fator k é usualmente denominado constante da mola que irá depender do que a mola é feita e de suas características geométricas, é deformação sofrida pela mola a partir da posição de repouso (x0) que é igual x – x (^) 0, e F equivalem à força elástica em apenas uma dimensão. O sinal negativo da equação está relacionado ao fato da força ser restauradora.
Na posição de equilíbrio, o peso de um corpo dependurado verticalmente em uma mola equivale à força elástica da mola. Para isso, é necessário medir os pesos dos corpos dependurados, isso é possível a partir de:
Devido ao fato da mola ter um limite de extensão, chegará um ponto em que ela não retornará mais à posição inicial. Assim observamos que a mola tem um limite de validade, depois do qual a sua deformação da em relação ao peso não se dará mais de forma linear.
Aplicar o Método dos Mínimos Quadrados (Regressão Linear) para encontrar à constante elástica (K) de uma mola de acordo com a equação da Lei de Hooke.
3.1 Materiais
3.2 Métodos
Prendemos de forma adequada na haste o suporte, e nesse suporte as molas. Enumeramos os elementos e aferimos cinco vezes cada massa com o auxilio da balança analógica, aferimos também as massas da mola para no final sabermos se houve alguma deformação. Consideremos a posição de equilíbrio da mola igual zero. Em seguida, colocamos cada uma das massas no suporte, aferindo-se os respectivos deslocamentos da mola com a régua. Repetimos esse procedimento cinco vezes, a fim de obter o deslocamento médio para cada massa, bem como seus respectivos desvios-padrão.
Com os resultados obtidos das massas, construímos a tabela 1: Tabela 1: Indica as respectivas massas Mi, e as aferições Ni, para i= {1, 2, 3, 5, 5}, tendo como incerteza da balança utilizada, como 0,05. 10 -3^ Kg.
Massas N1 N2 N3 N4 N M1 (m±0, 05). 10 -3^ Kg 17,00 17,05 17,10 17,20 17, M2 (m±0, 05). 10 -3^ Kg 28,30 28,30 28,40 28,40 28, M3 (m±0, 05). 10 -3^ Kg 40,00 40,10 40,10 40,10 40, M4 (m±0, 05). 10 -3^ Kg 51,50 51,50 51,50 51,50 51, M5 (m±0, 05). 10-3^ Kg 62,40 62,40 62,40 62,40 62, M6 (m±0, 05). 10 -3^ Kg 73,80 73,80 73,80 73,80 73,
posição ( ∆X ) da mola em relação à posição inicial ( X 0 ). O esboço experimental encontra-se na figura 3.
Figura SEQ Ilustração * ARABIC 3 - Esboço do Arranjo Experimental
Os resultados dessas deformações se encontram na tabela 4:
Tabela4: Indica as respectivas deformações Xi, e as aferições Ni, para i= {1, 2, 3, 5, 5}, tendo como incerteza da balança utilizada, como 0,5. 10 -3^ m. Deformação N1 N2 N3 N4 N X1 (x±0,5). 10 -3m 13,0 14,0 14,0 15,0 15, X2 (x±0,5). 10 -3m 22,0 22,0 22,0 23,0 23, X3 (x±0,5). 10 -3m 30,0 30,0 31,0 31,0 30, X4 (x±0,5). 10 -3m 38,0 38,0 39,0 39,0 38, X5 (x±0,5). 10 -3m 47,0 47,0 48,0 47,0 47, X6 (x±0,5). 10 -3m 55,0 54,0 55,0 55,0 54, X7 (x±0,5). 10 -3m 63,0 63,0 63,0 62,0 62,
Calculam-se valores estatísticos para as deformações da mola, Média, Desvio Padrão, Desvio Padrão da Média e Incerteza Padrão utilizando respectivamente as equações (8), (9), (10), (11), conforme a tabela 5:
Tabela 5: Temos as indicações de Média, Desvio Padrão, Desvio Padrão da média, e incerteza padrão, para as respectivas deformações Xi, com i= {1, 2, 3, 4, 5}, e fazendo uso das fórmulas, XXX, como ferramenta de obtenção dos respectivos valores
Deformação Média (x±0,5). 10 -3^ m
Desvio Padrão Des. Pad. Do Valor Médio
Incerteza Padrão
X1 14,2 0, 8366 0,37 0, 14250 X2 22,4 0, 5477 0,24 0, 06250 X3 30,4 0, 5477 0,24 0, 06250 X4 38,4 0, 5477 0,24 0, 06250 X5 47,2 0, 4472 0,20 0, 04250 X6 54,6 0, 5477 0,24 0, 06250 X7 62,6 0, 5477 0,24 0, 06250
O comprimento final da mola, depois de todas as aferições é apresentado pela tabela 6:
Tabela 6: Aferições da medida do comprimento da mola em Xi, para o comprimento inicial da mola, anterior a todas as aferições das massas, e Xf para o comprimento final, após todas as aferições. Comprimento da mola
N1 N2 N3 N4 N
Xi (x±0,5). 10-3^ m 100 100 100 100 100 Xf (x±0,5). 10 -3^ m 101 101 101 101 101
Para anular as duas forças, força peso e força elástica, é usado o delta x, a fim de construir o gráfico da constante elástica, apresentado na tabela 7:
Tabela 7: Delta utilizado para anular a força peso e força elástica. Delta x Incerteza do Delta x 1 0, 707107
K ≡ a K = 38, 0527 (N/m ) Como a correta representação de uma medida sempre deve vir acompanhada da sua incerteza padrão, neste caso, para encontrarmos o valor da incerteza padrão para a constante elástica iremos usar a equação (5).
Logo:
= 0, 0040 (N/m)
Assim, o valor final para a grandeza da constante elástica pode ser definido como:
K = (38, 053 ± 0, 0040) N/m Para podermos encontrar a melhor reta para os pontos experimentalmente obtidos, além do valor da inclinação da reta (a), deveremos obter também o ponto de intersecção da reta no eixo y. Este ponto é o coeficiente linear ( b ) da equação da reta aX + b = 0.
Teoricamente, o b para a função da Lei de Hooke é zero. Porém, experimentalmente encontramos um valor para b diferente de zero. Bem, este valor mostrou-se muito pequeno, tendendo a zero, o que valida à análise teórica da equação trabalhada. Para se encontrar o valor de b e da sua incerteza, utilizamos das equações (6) e (7),
= 0, 0004 (N/m)
Assim:
Com estes dados, podemos então originar um gráfico de coordenadas x e y representando o Peso ( P ) em função do Deslocamento ( ∆x ) (segue como anexo).
Utilizando do método dos mínimos quadrados, encontramos o melhor valor da constate elástica ( k ) representado pelo coeficiente angular da reta (a). Este valor foi definido como K = (38,05 ± 0,0040) N/m. Encontramos também o coeficiente linear ( b ), como sendo b = ( 0,0447 ± 0,0004) N/m.
Observa-se o quão precisa é Lei de Hooke nesses casos, lembrando que ela só é válida enquanto o limite do material não é excedido, já que se isso ocorrer o corpo pode perder elasticidade, pode haver deformação permanente e até ruptura.
Nota-se também que a equação linear encontrada está coerente com os resultados, por exemplo, o coeficiente linear está bem próximo de zero, respeitando a relação esperada (F=- k. x). Os valores de a e b com suas respectivas incertezas encontradas, estão dentro de uma razoável variação. Assim, tendo como problema o desenho da melhor reta pedida pela equação da Lei de Hooke – exemplo de uma equação linear simples – em vista dos pontos não lineares obtidos na experimentação, o Método dos Mínimos Quadrados (Regressão Linear) mostrou-se ferramenta estatístico-matemático muito útil.
