Algebra II UEPA, Notas de estudo de Matemática

Baixe Algebra II UEPA e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

A L G E B R A Rubens Vilhena Fonseca

BELÉM – PARÁ – BRASIL

SUMÁRIO

• APRESENTAÇÃO
• INTRODUÇÃO ................................................................................................................................
• UNIDADE I - RELAÇÕES .........................................................................................................................
  • 1.1. RELAÇÕES BINÁRIAS E SUAS PROPRIEDADES ..................................................................................................
  • 1.2. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA .......................................................................................................................
  • 1.3. RELAÇÃO DE ORDEM.................................................................................................................................
• UNIDADE II - GRUPOS E SUBGRUPOS .....................................................................................................
  • 2.1. LEI DE COMPOSIÇÃO INTERNA E SUAS PROPRIEDADES ......................................................................................
  • 2.2. TÁBUA DE UMA OPERAÇÃO ........................................................................................................................
  • 2.3. GRUPÓIDE, SEMIGRUPO, MONÓIDE, GRUPO, GRUPO COMUTATIVO........................................................................
  • 2.4. PROPRIEDADES DOS GRUPOS ....................................................................................................................
  • 2.5. SUBGRUPOS .........................................................................................................................................
• UNIDADE III - HOMOMORFISMO DE GRUPOS ...........................................................................................
  • 3.1. HOMOMORFISMO E CLASSIFICAÇÃO DO HOMOMORFISMO. ................................................................................
  • 3.2. PROPRIEDADES DOS HOMOMORFISMOS .......................................................................................................
  • 3.3. NÚCLEO DE UM HOMOMORFISMO ...............................................................................................................
  • 3.4. HOMOMORFISMOS ESPECIAIS ...................................................................................................................
• UNIDADE IV - CLASSES LATERAIS ..........................................................................................................
  • 4.1. CLASSE LATERAL À DIREITA ........................................................................................................................
  • 4.2. CLASSE LATERAL À ESQUERDA ....................................................................................................................
  • 4.3. PROPRIEDADES DAS CLASSES LATERAIS .......................................................................................................
  • 4.4. SUBGRUPO NORMAL................................................................................................................................
• UNIDADE V - ANÉIS E CORPOS ...............................................................................................................
  • 5.1. ANEL ....................................................................................................................................................
  • 5.2. ANÉIS COMUTATIVOS, ANÉIS COM UNIDADE E ANÉIS DE INTEGRIDADE. .................................................................
  • 5.4. SUBANÉIS.............................................................................................................................................
  • 5.5. CORPO.................................................................................................................................................
• E X E R C Í C I O S ...............................................................................................................................
• BIBLIOGRAFIA: .............................................................................................................................

INTRODUÇÃO

O século dezenove, mais do que qualquer período precedente, mereceu ser conhecido como Idade Áurea da matemática. O que se acrescentou ao assunto durante esses cem anos supera de longe, tanto em quantidade quanto em qualidade , a produtividade total combinada de todas as épocas precedentes. Em 1892 um novo mundo na geometria foi descoberto por Lobachevsky, um russo que tivera um professor alemão, e em 1874 o campo da análise fora assombrado pela matemática do infinito introduzido por Cantor, um alemão nascido na Rússia. A França já não era mais o centro reconhecido do mundo matemático, embora fornecesse a carreira meteórica de Évariste Galois (1811 – 1832). O caráter internacional do assunto se percebe no fato de as duas contribuições mais revolucionárias na álgebra terem sido feitas, em 1843 e 1847, por matemáticos que ensinavam na Irlanda, embora, os contribuidores mais prolíficos à álgebra do século dezenove tenham sido os ingleses que passaram algum tempo na América, - Arthur Caley (1821 – 1895) e J. J. Sylvester (1814 – 1897) – e foi principalmente na universidade de onde esses provinham, Camdridge, que se deu o aparecimento da álgebra moderna. O ponto de virada na matemática inglesa veio em 1815, o algebrista George Peacock (1791 – 1858) não produziu resultados novos notáveis em matemática, mas teve grande importância na reforma do assunto na Inglaterra, especialmente no que diz respeito à álgebra. Num esforço para justificar as idéias mais amplas na álgebra, Peacock em 1830 publicou seu Treatise on Algebra , em que procurou dar à álgebra uma estrutura lógica comparável à de Os elementos de Euclides. A álgebra de Peacock tinha sugerido que os símbolos para objetos na álgebra não precisam indicar números, e Augustus De Morgan (1806 – 1971) argüía que as interpretações dos símbolos para as operações eram também arbitrárias; George Boole (1815 – 1864) levou o formalismo à sua conclusão. A matemática já não estava limitada a questões de número e grandeza contínua. Aqui pela primeira vez está claramente expressa a idéia de que a característica essencial da matemática é não tanto seu conteúdo quanto sua forma. Se qualquer tópico é apresentado de tal modo que consiste de símbolos e regras precisas de operação sobre símbolos, sujeitas apenas à exigência de consistência interna, tal tópico é parte da matemática. A multiplicidade de álgebra inventadas no século dezenove poderia ter dado à matemática uma tendência centrífuga se não tivessem sido desenvolvidas certos conceitos estruturais. Um dois mais importantes desses foi a noção de grupo, cujo papel unificador na geometria já foi indicado. Na álgebra o conceito de grupo foi sem dúvida a força mais importante par a coesão , e foi um fator essencial no surgimento das idéias abstratas. Não houve uma pessoa responsável pelo surgimento da idéia grupo, mas a figura que mais se sobressai neste contexto foi o homem que deu o nome a esse conceito, o jovem Évariste Galois, morto tragicamente antes de completar vinte anos. A obra de Galois foi importante não só por tornar a noção abstrata de grupo fundamental na teoria das equações, mas também por levar, através das contribuições de J. W. R. Dedekind (1831 – 1916), Leopold Kronecker (1823 – 1891) e Ernst Eduard Kummer (1810 – 1893), ao que se pode chamar tratamento aritmético da álgebra, algo parecido com a aritmetização da análise, isto significa o desenvolvimento de um cuidadoso tratamento postulacional da estrutura algébrica em termos de vários corpos de números. A Itália tinha parte um tanto menos ativa no desenvolvimento da álgebra que a França, a Alemanha e a Inglaterra, mas durante os últimos anos do século dezenove houve matemáticos italianos que se interessaram profundamente pela lógica matemática. O mais conhecido desses foi Giuseppe Peano (1858 – 1932) cujo nome é lembrado hoje em conexão com os axiomas de Peano dos quais dependem tantas construções rigorosas da álgebra e da análise.

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

UNIDADE I - RELAÇÕES

1.1. RELAÇÕES BINÁRIAS E SUAS PROPRIEDADES

PRODUTO CARTESIANO

Definição:

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto formado por todos os pares ordenados ( x , y ) tais que o primeiro elemento x pertence ao conjunto A e o segundo elemento y pertence ao conjunto B. Este conjunto produto representa-se por AxB , que se lê "A por B" , "A vezes B" ou "A cartesiano B". Simbolicamente, temos:

AxB = { ( x , y )  x  A e y  B }

Se B  A , como BxA = { ( y , x )  y  B e x  A } e ( x , y )  ( y , x ) , segue-se que AxB  BxA , isto é, o produto cartesiano de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. Se os conjuntos A e B são finitos e têm respectivamente p e q elementos, então o produto cartesiano AxB também é um conjunto finito e tem p.q elementos, isto é, o número de AxB é igual ao produto do número de elementos de A pelo número de elementos de B :

n(AxB) = n(A).n(B)

Exemplos:

1. Sejam os conjuntos: A = {1, 2, 3} e B = { 1, 2}. Temos: AxB = {(1,1); (1,2); (2,1); (2,2); (3,1); (3,2)} e BxA = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3)} O produto cartesiano de dois conjuntos pode ser representado por um diagrama cartesiano , por uma tabela de dupla entrada ou por um diagrama sagital. Diagrama Cartesiano

Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

Tabela de Dupla Entrada

A x B 1 2 B x A 1 2 3 1 (1,1)^ (1,2)^ 1 (1,1)^ (1,2)^ (1,3) 2 (2,1)^ (2,2)^ 2 (2,1)^ (2,2)^ (2,3) 3 (3,1)^ (3,2)

Diagrama Sagital

2. Sejam os conjuntos : A = { x    2  x  5} e B = { y    1  y  6 }. Temos:

RELAÇÃO Definição:

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se de relação binária de A em B ou apenas relação de A em B todo subconjunto R de A x B , isto é :

R é relação de A em B  R  A x B

A definição deixa claro que toda relação é um conjunto de pares ordenados. Para indicar que ( a , b )  R usaremos algumas vezes a notação a R b (lê-se "a erre b" ou "a está relacionado com b segundo R" ). Se ( a , b )  R , escrevemos Os conjuntos A e B são denominados, respectivamente, conjunto de partida e conjunto de chegada da relação R.

Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO

Definição:

Seja R uma relação de A em B. Chama-se de domínio de R o subconjunto de A constituído pelos elementos x para cada um dos quais existe algum y em B tal que ( x , y )  R e denota-se por D(R).

D(R) = { x  A   y  B ; ( x , y )  R} Chama-se de imagem de R o subconjunto de B constituído pelos elementos y para cada um dos quais existe algum x em A tal que ( x , y )  R e denota-se por Im(R).

Im(R) = { y  B   x  A ; ( x , y )  R}

Em outras palavras, D(R) é o conjunto formado pelos primeiros termos dos pares ordenados que constituem R e Im(R) é formado pelos segundos termos dos pares de R.

Exemplos:

1. Aproveitando os exemplos anteriores de relação, temos que : a) D(R 1 ) = { 1 } e Im(R 1 ) = B b) D(R 2 ) = A e Im(R 2 ) = {1, 3, 5, 7} c) D(R 5 ) =  e Im(R 1 ) =  d) D(R 6 ) = {1, 2, 3 } e Im(R 6 ) = {7, 9} e) D(R 8 ) =  e Im(R 8 ) =  f) D(R 10 ) = ]2 , 6[ e Im(R 10 ) = ]1 , 5[

 Deixamos ao aluno justificar os domínios e imagens acima determinados.

2. A relação R 10 = {( x , y )  ^2  ( x – 4)^2 + ( y – 3)^2 > 4 }possui a seguinte representação:

Observando sua representação temos que: D(R) =  e Im(R) = .

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

INVERSA DE UMA RELAÇÃO

Definição:

Seja R uma relação de A em B. Chama-se de relação inversa de R , denota-se por R–^1 , a seguinte relação definida de B em A :

R–^1 = { ( y , x )  B x A  ( x , y )  R }

A relação inversa e também denominada de relação recíproca. No caso particular em que A = B , também se diz que R–^1 é a relação oposta de R.

Exemplos :

1. Aproveitando os exemplos anteriores de relação, temos que : a) R 1 –^1 = {(1,1); (3,1); (5,1); (7,1); (9,1)} b) R 2 –^1 = {(1,1); (3,2); (5,3); (7,4)} c) R 3 –^1 = {(1,2); (3,1)} d) R 4 –^1 = BxA e) R 5 –^1 =  f) R 6 –^1 = {( x , y )  BxA  y + 5 < x } = {( y , x )  BxA  x + 5 < y } g) R 7 –^1 = {( x , y )  ^2  x = y } h) R 8 –^1 = {( x , y )  ^2  2 y + 4 x – 8 = 0 } i) R 9 –^1 = {( x , y )  ^2  y – x + 2 < 0 } j) R 10 –^1 = {( x , y )  ^2  ( y – 4)^2 + ( x – 3)^2 < 4 }

Sugerimos ao aluno que represente as relações inversas no plano cartesiano e faça uma analogia com a respctivarelação definida anteriormente. Qual a conclusão que podemos tirar quando representamos a relação R e sua inversa R–^1?

RELAÇÃO SOBRE UM CONJUNTO

Definição:

Seja R uma relação definida de A em A. Neste caso diz-se que a relação R é uma relação sobre A ou que R é uma relação em A. As relações R 7 , R 8 , R 9 e R 10 são exemplos de relações sobre o conjunto A = .

Propriedades

Seja R uma relação em A. Então podemos verificar as seguintes propriedades:

REFLEXIVA Diz-se que R é reflexiva quando a condição abaixo está satisfeita : (  x  A ; tem-se x R x )

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

1.3. RELAÇÃO DE ORDEM

Definição:

Seja R uma relação sobre o conjunto A. Diz-se que R é uma relação de ordem em A , se for reflexiva, anti-simétrica e transitiva simultaneamente.

Exemplos:

1. Sendo A o conjunto das retas do espaço, a relação R definida por x R y  x // y ,é uma relação de equivalência.
2. A relação R definida por x R y  x  y , sobre o conjunto dos números reais é uma relação de ordem.
3. A relação R definida por x R y  x  y ( x divide y ) ,sobre o conjunto dos inteiros positivos e uma relação de ordem.
4. A relação R definida por x R y  x – y = 3k (onde k é um inteiro), sobre o conjunto dos inteiros positivos e uma relação de equivalência.

Observação : Se R é uma relação de ordem em A e todos os elementos de A estão relacionados, então diz-se que R é uma relação de ordem total , caso contrário, diz-se que R é uma relação de ordem parcial.

CLASSES DE EQUIVALÊNCIA

Definição:

Sejam R uma relação sobre o conjunto A e o elemento a  A. Chama-se de classe de equivalência determinada por a , módulo R , o subconjunto de A , definido por :

a^ = {^ x^ ^ A^ ^ x Ra }^ ou^ a = {^ x^ ^ A^ ^ aR x^ }

CONJUNTO QUOCIENTE

Definição:

Sejam R uma relação de equivalência sobre o conjunto A. O conjunto formado por todas as classes de equivalência gerada pelos elementos de A é denominado de conjunto quociente e denotado por A/R.

Exemplos

1. As relações abaixo definidas são relações de equivalência em A = {1, 2, 3, 4}: a) R 1 = {(1,1); (1,2); (2,1); (2,2); (3,3); (4,4)} 1 = {1, 2} ; 2 = {1, 2} ; 3 = {3} e 4 = {4} A/R = { (1, 2}; {3}; {4} }

Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

b) R 2 = {(1,1); (1,2); (2,1); (2,2); (3,3); (3,4); (4,3); (4,4)} 1^ =^ 2 = { 1, 2} ;^ 3 =^ 4 = {3, 4} A/R = { (1, 2}; {3,4}}

2. Seja A = {a, b, c, d, e, f} o conjunto das retas da figura abaixo :

Para relação de equivalência R definida por x R y  x // y , em A, as classes de equivalência e o conjunto quociente são : a = { a, b, c} = b = c d = {d, e} = e f = {f } A/R = { {a, b, c}; {d, e}; {f } }

 Deixamos ao encargo do aluno a demnstração do seguinte teorema :

Teorema

Sejam R uma relação de equivalência sobre A e os elementos a , b  A. As seguintes proposições são equivalentes :

( I ) aRb; ( II ) a  a; ( III ) b  a; ( IV )a b isto é,

aRb  a a   a b  b a

Antes de apresentarmos algumas definições envolvendo relação de ordem é importante sabermos construir um diagrama simplificado e que, sendo R uma relação de ordem em A e x R y , vale: x R y ou x está relacionado y ou x  y ou x precede y ou y é precedido por x