Algebra linear A, Notas de estudo de Matemática

Baixe Algebra linear A e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA

DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE MATEMÁTICA

ÁLGEBRA LINEAR A

Prof. Francisco Leal Moreira

SUMÁRIO

• 1. MATRIZES
  • 1.1. INTRODUÇÃO
  • 1.2. PROPRIEDADES
  • 1.3. RESPOSTAS
• 1. INVERSÃO DE MATRIZES
  • 2.1. INTRODUÇÃO
  • 2.2. MATRIZ INVERSA
  • 2.3. PROPRIEDADES
  • 2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ............................................................................
  • 2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES
  • 2.6. RESPOSTAS
• 1. SISTEMAS LINEARES
  • 3.1. INTRODUÇÃO
  • 3.2. EQUAÇÃO LINEAR
  • 3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
  • 3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES.
  • 3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO.
  • 3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO.
  • 3.7. MÉTODO DE CASTILHOS.
  • 3.8. RESPOSTAS
• 1. ESPAÇOS VETORIAIS
  • 4.1. INTRODUÇÃO
  • 4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL
  • 4.3. RESPOSTAS
• 1. SUBESPAÇO VETORIAL
  • 5.1. INTRODUÇÃO
  • 5.2. SUBESPAÇO VETORIAL
  • 5.3. RESPOSTAS
• 1. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
  • 6.1. INTRODUÇÃO
  • 6.2. RESPOSTAS
• 1. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO
  • 7.1. INTRODUÇÃO
  • 7.2. RESPOSTAS
• 8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
  • 8.1. INTRODUÇÃO
  • 8.2. PROPRIEDADES
  • 8.3. RESPOSTAS
• 1. BASE E DIMENSÃO
  • 9.1. INTRODUÇÃO
  • 9.2. BASE
  • 9.3. PROPRIEDADES
  • 9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
  • 9.5. RESPOSTAS
• 1. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE
  • 10.1. INTRODUÇÃO
  • 10.2. COMPONENTES DE UM VETOR
  • 10.3. MUDANÇA DE BASE
  • 10.4. RESPOSTAS
• 1. PRODUTO INTERNO
  • 11.2. INTRODUÇÃO
  • 11.2. RESPOSTAS
• 1. ORTOGONALIDADE
  • 12.1. VETORES ORTOGONAIS
  • 12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL
  • 12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT
  • 12.4. RESPOSTAS
• 1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
  • 13.1. INTRODUÇÃO
  • 13.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR
  • 13.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA
  • 13.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE
  • 13.5. COMPOSTA DE DUAS TL
  • 13.6. RESPOSTAS
• 1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS
  • 14.1. INTRODUÇÃO
  • 14.2. REFLEXÕES
  • 14.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES
  • 14.4. CISALHAMENTOS
  • 14.5. ROTAÇÕES
  • 14.6. RESPOSTAS
• 1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM BASES QUAISQUER
  • 15.1. INTRODUÇÃO
    • [f]B............................................................ A
  • 15.3. RESPOSTAS
• 1. OPERADORES LINEARES
  • 16.1. INTRODUÇÃO
  • 16.2. MATRIZES SEMELHANTES
  • 16.3. RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES
  • 16.4. OPERADORES INVERSÍVEIS
  • 16.5. MATRIZ ORTOGONAL....................................................................................................................
  • 16.7. OPERADOR LINEAR ORTOGONAL
  • 16.8. PROPRIEDADES
  • 16.9. OPERADOR LINEAR SIMÉTRICO
  • 16.10. PROPRIEDADE
  • 16.11. RESPOSTAS
• 1. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS....................................................................................
  • 17.1. INTRODUÇÃO
  • 17.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS
  • 17.3. PROPRIEDADES
  • 17.4. RESPOSTAS
• 1. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
  • 18.1. INTRODUÇÃO
  • 18.2. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS
  • 18.3. RESPOSTAS
• 1. CÔNICAS
  • 19.2. CÔNICAS NÃO-DEGENERADAS EM POSIÇÕES PADRÕES
  • 19.3. PROCEDIMENTO PARA ELIMINAR O TERMO EM XY DA EQUAÇÃO
  • 19.4. CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS QUANTO AOS VALORES PRÓPRIOS
  • 19.5. RESPOSTAS
• 1. BIBLIOGRAFIA

1. MATRIZES

1.1. INTRODUÇÃO

Esta secção, apresenta um conjunto de exercícios que possibilitam ao aluno,

revisar conceitos básicos sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas

propriedades apresentadas, pois são de grande importância dentro da Álgebra Linear.

Algumas aplicações do estudo das matrizes são resolução de sistemas de equações lineares,

mudança de bases de um espaço vetorial, representação e composição de transformações

lineares.

E1) Construa uma matriz:

a) Retangular b) Linha c) Coluna d) Nula e) Quadrada

E2) Identifique a ordem de cada matriz do exercício E.

E3) Escreva a forma genérica de uma matriz de ordem m x n com elementos a (^) ij.

E4) Escreva a matriz oposta (-A é a oposta de A) de cada matriz do exercício E.

E5) Construa a matriz A= [aij]mxn tal que:

a) m = n = 4 e a (^) ij=  

2 ,sei j

1 ,sei j

0 ,sei j

b) m = 2, n = 3 e a (^) ij= 

i j 1

   

3 i  j

E6) No exercício E5 a , identifique a diagonal principal e a secundária.

E7) Escreva uma matriz diagonal ( A=[aij] nxn, a ij=0 se i j) de ordem 3.

E8) Escreva a matriz identidade ( I (^) n = [aij] (^) nxn, a (^) ij= 

0 ,sei j

1 ,sei j ) para n = 4.

E9) Escreva uma matriz triangular superior ( A=[aij] (^) nxn, a (^) ij=0 se i>j) de ordem 3.

E10)Escreva uma matriz triangular inferior ( A=[aij] (^) nxn, a (^) ij=0 se i E13) Sejam as matrizes A =



, B =

e C =  

, determine:

a) AB b) AC c) CA d) (A-I 3 ) (B+I 3 )

3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes

a) ABC = (AB)C = A(BC)

b) A(B+C) = AB + AC

c) (A+B)C = AC + BC

 d (AB) = (A)B = A(B) , 

e) AO = O

f) AI = IA = A

E14) Use V ou F :

a) Se existem AB e BA então AB = BA ( )

b) Se AB = O então necessariamente A = O ou B = O ( )

E15) Encontre a matriz transposta de:

a) A =  

b) B = 

4. Propriedades da Transposta

a) (A

t )

t = A

b) (A + B)

t = A

t

• B

t

c) (AB)

t = B

t A

t

d) (A)

t = A

t

E16) Sejam as matrizes A = 



, B = 

e C =  

, determine:

a) ( A - B)

t (B - C)

t b) [(2A - I 2 ) + (C + I 2 )]

t c) (AB

t C)

t

E17) Construa uma matriz simétrica (A

t = A) de ordem 3.

E18) Construa uma matriz anti-simétrica (A

t = -A) de ordem 4.

1.3. RESPOSTAS

E3)

m 1 m 2 mn

21 22 2 n

11 12 1 n

a a a

a a a

a a a

E5) a)A=





























2 2 2 1

2 2 1 0

2 1 0 0

1 0 0 0

b)A=  

  







1 0 1

0 1 8

E6) a)Dp = { 1, 1, 1, 1 } e Ds= { 2, 2, 0, 0 }

E8) a)I 4 =





























0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

E11) a) x=-4, y=1, z=2 e w=

b) x=2, y=1, z=1 e w=

E12) a) B b) 



  

 

3 4 6

3 1 3

2

1 c) 3  

  





 

3 4

1 1

E13) a)

























8 2 5

9 1 7

0 2 4

b) NE c)  

  



9  5 15

11 8 5 d) 

























6 8 1

10 5 9

0 0 3

E14) a) F b) F

E15) a)A

t





















3 4

2 5

1 0

b)B

t





























1 5 6

0 2 7

2 4 3

E16) a) 



  



 7  14

14 21 b)  

  



4 10

5 3 c)  

  







48 24

33 15

2.3. PROPRIEDADES

a) (A

 1 )

 1 = A

b) I n

 1 = I n

c) (A)

 1 = A

 1

d) (AB)

 1 = B

 1 A

 1

2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ

L (^) ij - Permutação das linhas de ordem i e j.

kL i - Multiplicação da linha de ordem i por k  0.

L i + kL j - Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por k  0.

E5) Complete corretamente as matrizes:

A= 

L 12 

L 2 - 2L 1 

- L 2 

L 1 - 3L 2 

Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, na matriz I

E6) Aplique a seqüência L 12 , L 2 - 2L 1 , - L 2 , L 1 - 3L 2 na matriz 



L 12 

L 2 - 2L 1 

- L 2 

L 1 - 3L 2

=B

E7) Calcule AB e BA considerando A e B matrizes dos exercícios E5 e E6. O que se pode concluir?

2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES

A mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz A em I (^) n , transforma I (^) n em A

 1 .

[ A I (^) n ] seqüência de operações elementares [ I (^) n A

 1 ]

E8) Determine a matriz inversa, caso exista, de cada uma das matrizes dadas:

A =

, B = 

, C =

e D =



E9) Mostre que

t 1 1 t (A ) (A )

  .

E10) Resolva as equações matriciais na variável X, sabendo-se que A , B , C e X são matrizes inversíveis:

a) AX = B b) AXB = C c) X

 1 AB

 1 = C d) (AX

 1 )

t = B e) AXB = BA f) A

t X

t = B

2.6. RESPOSTAS

E1) a) – 2 b) 7 c) – 16 d) 12 e) – 120

E2) a) x = 1/4 ou x = 1 b) x = 0 ou x = 3 c) x = -1/

E3) A

• =  

  



1 1

3 2

E4) A

• =  

  







2 3

1 2 B

• =





























3

1

3

2

3

5

3

7

E8) A

• = 























13 2 1

1 0 0

17 3 1

B

• =  

  







3 1

5 2 C

• =





























 





1 2 1 1

1 2 0 0

0 1 0 0

3 6 1 0

D

• =







































0 2 1

1 2

3 1

1 2

3 0

E10) a) X=A

• B b) X=A - CB - c) X= AB - C - d) X=(B

t )

• A e) X=A - BAB - f) X=B

t A

E1) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U.

a) 

x y 0

2 x y 3 , U = 2  b) 

x y 1

2 x 2 y 2 , U = 2  c) 

2 x 2 y 3

x y 3 , U = 2 

d) 

y 2

x y z 0 , U =

3  e) 

y z 0

x 2 y 2 z 1 , U =

3  f) 

x z 1

x z 3 , U =

3 

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES:

determinado (solução única) compatível Sistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções)

incompatível (não possui solução)

REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR.

A equação AX=B é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matriz B é

nula, o sistema é chamado de homogêneo.

Um sistema homogêneo é sempre compatível :

• Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveis assumindo valor zero.
• Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias.

E2) Mostre que se A é uma matriz inversível então o sistema AX = B admite apenas uma solução. Qual é esta

solução se B = 0?

E3) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja:

a) compatível e determinado b) compatível e indeterminado c) incompatível

3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES.

Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes.

E4) Resolva, se possível, o sistema:

2 z 4

y z 1

3 x y z 0

3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO.

Um sistema linear está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro coeficiente não

nulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como no

exercício E.

Exemplo:

O sistema  

0 x 0 y 2 z 4

0 x y z 1

3 x y z 0

do exercício E4 , cuja matriz ampliada é



E5) Resolva o sistema:

zt 2

x 2 y zt 1

3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU

ESCALONAMENTO.

Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações: a) Permutação de duas equações; b) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero; c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero.

Exemplo:

Resolva o sistema por triangulação:

x y 2 z 1

x y z 0

2 x 3 y z 0

O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é

determinado e seu conjunto solução é S = ( (^) , , ).

A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matriz ampliada_._

L 21



L 2 +(-2)L 1



L 3 +(-1)L 1



E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento:

a)  

x z 4

2 x 3 y z 1

x y 1

b)  

x 2 y 2 z 2

2 x y z 1

x y z 1

Permutan- do as duas primeiras equações

Substituindo a 2 o

eq. pela sua soma com a 1 o multipli- cada por - 2

Substituindo a 3 o equação pela sua soma com a 1 o

multiplicada por - 1

E9) Resolva, se possível, os sistemas:

a)

2 x 4 y z 3

x 2 y z 3

2 x 4 y z 3

3 x 5 y z 4

b)  

x y 1

y z 2

2 x y z 0

c)  

x y 25

3 x 5 y 5

x 2 y 4

d) 

2 x y z 0

x y z 0 e)



z

y

x

=



f)



z

y

x

=



E10) Resolva o sistema para k = -1, k = -2 e k = 3.

2 0 k

0 1 k 0

k 0 2

z

y

x

=



E11) Se A =



e X =



z

y

x

, resolva:

a) A.X = X b) A.X = 4.X c) ( A – 2.I 3 ).X = 0

E12) Determine para que valores de a , b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível:

a)  

6 y 4 z c

3 y 2 z b

x 2 y 5 z a

b)  

z t c

2 y z t b

x y 2 z 3 t a

c)  

2 x y 3 z c

3 x z b

4 x y 5 z a

d)



y

x



c

b

a

e)



z

y

x

=



c

b

a

3.8. RESPOSTAS

E1) a) S={(1,-1)} b) S={ ( 1  y,y)/y} c) S={ } d) S={ (z 2 ,z,z)/z}

e) S={ ( 1 , z,z)/z} f) S={ ( 2 ,y, 1 )/y}

E4) S={(1,-1,2)}

E5) S={ ( 3  2 y,y,t 2 ,t)/y,t}

E6) a) S={ ( 1  y,y,y 3 )/y} b) S={ }

E7) a) m 0 e m  1 b) m = 1 c) m = 0

E8) S={(3,-2,1)}

E9) a) S={ } b) S={ (z 1 , 2 z,z)/z} c) S={ }

d) S={ ( 0 ,z,z)/z} e) S={(0,0,0)} f) S={ }

E10) k=-1, SCI, S={ ( 0 ,y, 0 )/y} ; k=-2, SCI, S={ ( z, 0 ,z)/z} ; k=3 , S={(0,0,0)}

E11) a) S={(0,0,0)} b) S={ ,z)/z 2

5 z ( 4 z, } c) S={ 

  ,z)/z 2

3 z (z, }

E12) a) SI se c 2b e SCI se c=2b b) SCI,  a,b,c c) SCD,a ,b,c

d) SI, se a-b-c 0 e SCD se a-b-c=0 e)SCD, a,b,c

Se u = (x 1 ,x 2 ,..., x (^) n ) e v = (y 1 ,y 2 ,..., y (^) n ) são vetores de

n

 , tem-se:

a) u = v x 1 = y 1 , x 2 = y 2 ,..., x n = y n (igualdade)

b) u + v =( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,..., x (^) n + y (^) n )

c) u = (x 1 ,x 2 ,..., x n

) ,    (operações)

d) u.v = x 1. y 1 + x 2. y 2 +... + x (^) n. y n

e) (^) u = 2 n

2 2

2 x 1  x x (módulo de u)

Para o conjunto

n

 , no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é

 u,v

n   , u+v

n

  e  , u

n   , u

n

  é fácil verificar-se as seguintes propriedades:

A 1 : u + v = v + u , u,v

n  

A 2 : (u + v) + w = u + (v + w) , u,v,w

n

A3 :  0

n

  , u

n

  , u + 0 = u

A 4 : u

n

  , (-u)

n

  , u + (-u) = 0

M 1 : ( + )u = u + u ,  e u

n  



(u + v) = u + v ,  e u,v

n  

M 3 : ()u = (u) ,  e u

n  

M 4 : 1u = u , u

n  

Este conjunto

n

 , no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar e em relação as

quais valem as dez propriedades citadas, é chamado espaço vetorial real.

4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL

Da mesma forma que o

n  , qualquer conjunto V  no qual estão definidas duas operações: adição e

multiplicação por escalar em relação as quais valem as dez propriedades citadas acima chama-se espaço

vetorial real.

Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.

Outros exemplos importantes de espaços vetoriais:

1. O conjunto Mmxndas matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

Observação : O conjunto Mnx 1 é a notação matricial do

n

Se u = (x 1 ,x 2 ,..., x (^) n)

n

  então u =





























n

2

1

x

:

x

x

Mnx 1 (as operações de adição e multiplicação por

escalar produzem o mesmo resultado).

2. O conjunto Pna 0 x

n

• a 1 x

n 1

+ ... + a n ; ai dos polinômios de grau menor ou igual a “n”,

incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

1. O conjunto das funções definidas no intervalo [a ; b] em relação às operações definidas por

(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f)(x) = f(x) ,  .

E2) Identifique o vetor nulo, um vetor e o respectivo vetor oposto dos seguintes espaços vetoriais:

a) M 2 x 2 b) M 3 x 1 c) P 2 d) P 3

E3) Analise cada conjunto abaixo e diga porque não é um espaço vetorial com as operações usuais.,

a) V = (x ,y) /x y 1 

2 2 2

   b) V = (x ,y) /y 2 x 3 

2   

c) V =^ (x ,y) /x 0 ey 0 

2

   d) V =^ (x ,y,z) /x y z 1 0 

3     

e) V =  

M /a 0

0

a

(^3) x 1 f) V = 

M /d 0 c d

a b 2 x 2

4.3. RESPOSTAS

E3) a) Não b) Não c)Não d) Não e) Não f) Não