algebra-linear UEPA, Notas de estudo de Matemática

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Introdução à

ÁLGEBRA LINEAR

• Espaço vetorial real Capítulo 1 — ESPAÇOS VETORIAIS
• Propriedades dos espaços vetoriais
• Subespaços vetoriais
• Combinação linear de vetores
• Subespaço vetorial gerado
• Espaços vetoriais finitamente gerados
• Dependência e independência linear
• Baseedimensão
• Componentes de um vetor
• Mudança de base
  • Produto interno em espaços vetoriais Capítulo 2 - ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
  • Espaço vetorial euclidiano
  • Módulo de um vetor
  • Ângulo de dois vetores
  • Distância entre dois vetores
  • Vetores ortogonais
  • Conjunto ortogonal de vetores
  • Base ortogonal
• Funções vetoriais Capitulo 3 - TRANSFORMAÇÓES LINEARES
• Transformações lineares
• Núcleo de uma transformação linear
• Imagem de uma transformação linear
• Propriedades do núcleo e da imagem
• Matriz de uma transformação linear
• Operações com transformações lineares
• Transformações lineares planas
• Operadores lineares Capitulo 4 - OPERADORES LINEARES
• Operadores inversiveis
• Matrizes semelhantes
• Operador ortogonal
• Operador simétrico
• Vetor próprio e valor próprio de um operadot linear Capítulo 5 - VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS
• Determinação dos valores próprios e dos vetores próprios
• Propriedades dos valores próprios e dos vetores proprios
• Diagorialização de operadores
• Diagonalização de matrizes simétricas — Propriedades
• Cônicas Capítulo 6 - SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS
• Simplificação da equação geral das cônicas
• Classificação das conicas

Capítulo 1

ESPAÇOS VETORIAIS

1.1 – ESPAÇO VETORIAL REAL

Seja um conjunto V , não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é:

, V, + V

IR, V, V

O conjunto V com estas duas operações é chamado espaço vetorial real se forem verificados os seguintes axiomas:

A) Em relação à adição: A 1 ) ( + ) + = + ( + ), , , V A 2 ) + = + , , , V A 3 ) 0 V, V, + 0 = A 4 ) V, (- ) V, + (- ) = 0

M) Em relação à multiplicação por escalar: M 1 ) ( ) = ( ) M 2 ) ( + ) = + M 3 ) ( + ) = + M 4 ) 1 = para , , IR

• Os elementos , , , ..., de um espaço vetorial V são denominados vetores.
• Se a definição de espaço vetorial considerasse como escalares o conjunto C dos números complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Entretanto, nesta INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR serão considerados somente espaços vetoriais reais.
• Por ter sido dada a definição de forma genérica, para um espaço vetorial V qualquer, ela serve para conjuntos diversos, tais como (o que si verá a seguir) o IR^2 ,
• o IR^3 , o conjunto das matrizes M(m n), etc. Assim, conforme seja o espaço vetorial considerado, os vetores terão a natureza dos elementos desse espaço e

ESPAÇOS VETORIAIS – Capítulo 1

A 4 ) = (x 1 , y 1 ) IR^2 , (- ) = (-x 1 , - y 1 ) IR^2 ,

• (- ) = (x 1 , y 1 ) + (-x 1 , -y 1 ) = (x 1 – x 2 , y 1 – y 1 ) = (0, 0) = 0 M 1 ) ( ) = ( ) (x 1 , y 1 ) = (( ) x 1 , ( ) y 1 ) = ( ( x 1 ), ( y 1 )) = ( x 1 , y 1 ) = ( (x 1 , y 1 )) = ( )

M 2 ) ( + ) = ( + ) (x 1 , y 1 ) = (( ) x 1 , ( + ) y 1 ) = ( x 1 + x 1 , y 1 + y 1 ) = ( x 1 , y1) + ( x 1 , y 1 ) = (x 1 , y 1 ) + (x 1 , y 1 ) = +

M 3 ) ( + ) = ((x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) = ( (x 1 + x 2 , (y 1 + y 2 )) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) = ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = + M 4 ) 1 = 1 (x 1 , y 1 ) = (1x 1 , 1y 1 ) = (x 1 , y 1 ) =

2. Assim como um par ordenado (x 1 , x 2 ) de números reais representa um ponto ou um vetor no IR^2 , e uma terna ordenada (x 1 , x 2 , x 3 ) de números reais representa um ponto ou um vetor no IR^3 , como se sabe

ESPAÇOS VETORIAIS – Capítulo 1

da Geometria Analítica^1 , pode-se dizer, estendendo a idéia, embora sem representação geométrica, que uma quádrupla ordenada de números reais (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) é um ponto ou um vetor do IR^4 e que uma n-upla ordenada de números reais (x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn) é um ponto ou um vetor do IRn. Analogamente, os conjuntos IR^3 , IR^4 , ..., IRn são também espaços vetoriais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. A verificação dos oito axiomas para esses conjuntos é análoga à do IR^2.

3. O conjunto IR , em relação às operações usuais de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial. De fato, sabe-se que a adição de números reais satisfaz os axiomas A 1 , A 2 , A 3 e A 4 e que, na multiplicação, se verificam os axiomas M 1 , M 2 , M 3 e M 4.

4. O conjunto das matrizes M(m, n) com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas nos itens A.8 e A.9 do APÊNDICE, é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto das matrizes quadradas Mn é um espaço vetorial em relação às mesmas operações.

5. O conjunto IR^2 = {(a, b) / a, b IR} não é um espaço vetorial em relação às operações assim definidas:

(a, b) + (c, d) = (a + c, h + d)

k (a, b) = (ka, b), k IR

Como a adição aqui definida é a usual, verificam-se os axiomas A 1 , A 2 , A 3 e A 4 de espaço vetorial, conforme se viu no Exemplo 1. Logo, não devem se verificar alguns (ou algum) dos axiomas relativos à multiplicação.

Sejam = (x 1 ,y 1 ), v = (x 2 , y 2 ) e , IR

M 1 ) ( ) = ( ) (x 1 , y 1 ) = (( ) x 1 , y 1 ) = ( ( x 1 ), y 1 ) = ( x 1 , y 1 ) = ( (x 1 , y 1 )) = ( )

(Este axioma se verifica)

(^1) Ver Geometria Analítica. Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Editora McGraw-Hill.

ESPAÇOS VETORIAIS – Capítulo 1

multiplicação por escalar. Entretanto, como S é parte de V (que é espaço vetorial), não é necessária essa verificação. Para citar só um exemplo, o axioma A 2 ( + = + ) não precisa ser examinado porque se a comutatividade da adição é valida para todos vetores de V , ela valerá para todos vetores de S. A seguir, as condições para um subconjunto S ser subespaço vetorial de V.

• Um subconjunto S , não-vazio, de um espaço vetorial V , é um subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições:

I) Para quaisquer , S, + S.

II) Para quaisquer IR, S, S.

De fato: se é um vetor qualquer de S , pela condição II , S para todo IR. Fazendo = 0, vem 0 S , ou seja, 0 S (axioma A 3 ); fazendo = -1, tem-se (-1) = - S (axioma A 4 ). Os outros axiomas A 1 , M 1 , M 2 , M 3 e M 4 de espaço vetorial são verificados em S por ser S um subconjunto não-vazio deV.

• Todo espaço vetorial V {0} admite, pelo menos, dois subespaços: o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços triviais de V. Os demais são denominados subespaços próprios de V.
• Os subespaços triviais do IR^2 , por exemplo, são { (0, 0) } e IR^2 , enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem do sistema de referência. De modo análogo, os subespaços triviais do IR^3 são {(0, 0, 0)} e o IR^3 ; os subespaços próprios do IR^3 são as retas e os planos que passam pela origem do sistema de referência.

ESPAÇOS VETORIAIS – Capítulo 1

Exemplos

1. Sejam V=IR^2 e S ={(x,y)} IR^2 /y = 2x} ou S = {(x, 2x); x IR}, isto é, S é o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira. Observe-se que S , pois (0, 0) S. (Daqui por diante, fica dispensada a necessidade de verificar se o conjunto é não-vazio porque os exemplos tratarão somente de conjuntos não-vazios.) Se S é subespaço vetorial de V = IR^2 , S deve satisfazer às condições I e II. Para = (x 1 , 2x 1 ) S e = (x 2 , 2x 2 ) S, tem-se:

I) + = (x 1 + x 2 , 2x 1 + 2x 2 ) = (x 1 + x 2 , 2(x 1 + x,)) S pois a segunda componente de + é igual ao dobro da primeira.

II) = (x 1 , 2x 1 ) = (ax 1 , 2ax 1 ) S pois a segunda componente de é igual ao dobro da primeira.

Portanto, S é um subespaço vetorial do IR^2_._ Esse subespaço S repre- senta geometricamente uma reta que passa pela origem do sistema de referência (Fig. 1.3).

ESPAÇOS VETORIAIS – Capítulo 1

= (x 2 , y 2 , z 2 ) S implica 2x 2 + 3y 2 - 4z 2 = 0

I) Somando, membro a membro, as duas igualdades, vem: 2(x 1 + x 2 ,) + 3(y 1 + y 2 ) – 4(z 1 + z 2 ) = 0

Essa igualdade mostra que:

• = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) S,

pois as coordenadas de + satisfazem a equação 2x + 3y - 4z = 0.

II) Por outra parte, = (ax 1 , ay 1 , az 1 ) S,

pois, se

2x 1 + 3y 1 - 4z 1 = 0, então

(2x 1 + 3y 1 - 4z 1 ) = 0

ou

2( x 1 ) + 3 ( y 1 ) - 4( z 1 ) = 0,

o que demonstra que as componentes de satisfazem a equação 2x + 3y - 4z = 0. Logo, S é um subespaço vetorial do IR^3. Esse subespaço S representa um plano passando pela origem do sistema de referência.

4. Sejam V = M(3, 1) e S o conjunto-solução do sistema linear homogêneo:

x y z

x y z

x y z

Fazendo:

e z

y

x A X

o sistema, em notação matricial, será dado por AX = 0, sendo X elemento do conjunto- solução S. Se

2

2

2 2 1

1

1 1 z

y

x e X z

y

x X

são soluções do sistema, então:

ESPAÇOS VETORIAIS – Capítulo 1

AX 1 = 0 e AX 2 = 0

I) Somando, membro a membro, as duas igualdades, vem:

A (X 1 + X 2 ) = 0, o que implica X 1 + X 2 S,

isto é, a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema.

II) Por outra parte, multiplicando por a a primeira igualdade, vem:

(AX 1 ) = 0 ou A( X 1 ) = 0, o que implica X 1 S, isto é, o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução do sistema. Logo, o conjunto-solução S do sistema linear homogêneo é um sub-espaço vetorial de M(3, 1). AX=O. O subespaço S é também chamado espaço-solução do sistema AX = 0. Se um sistema linear é não-homogêneo, o seu conjunto solução S não é um subespaço vetorial (verificação a cargo do leitor).

5. Sejam

abcd IR c c

a b V M 2 ; , , , e ; , , 0

a c IR c

a S

isto é, S é o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos da segunda coluna são nulos.

Para quaisquer

S c

a S c

a 0

2

2 1

(^1) e IR ,tem-se:

I) + S;

II) S.

Logo, S é um subespaço vetorial de M 2.

1.4 - COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES

Sejam os vetores v 1 , v 2 , ..., vn do espaço vetorial V e os escalares a 1 , a 2 an. Qualquer vetor v V da forma = a 1 1 + a 2 v 2 + ... + an n

é uma combinaçao linear dos vetores v 1 , v 2 , .., vn.

ESPAÇOS VETORIAIS – Capítulo 1

2. Mostrar que o vetor v = (4, 3, -6) não é combinação linear dos vetores v 1 e v 2.

Solução

Deve-se mostrar que não existem escalares a 1 e a 2 , tais que: v = a 1 v 1 + a 2 v 2

Utilizando procedimento análogo ao do problema anterior, vem:

(4, 3, -6) = a 1 (l, -3, 2) + a 2 (2, 4, -1) (4, 3, -6) = (a 1 , -3 a 1 , 2 a 1 ) + (2a 2 , 4a 2 , -a 2 )

(4, 3, -6) = (a 1 + 2a 2 , -3 a 1 + 4a 2 , 2 a 1 - a 2 )

Desta última igualdade, resulta o sistema:

sistema esse que é incompatível, o que comprova não poder o vetor v ser escrito como combinação linear de v 1 e v 2.

3. Determinar o valor de k para que o vetor = (-1, k , -7) seja combinação linear de v 1 e v 2.

Solução: Deve-se ter: =a 1 v 1 + a 2 v 2

(-l, k , -7) = a 1 (1,-3,2) + a 2 (2, 4, -1) (-1, k , -7) = (a 1 , -3 a 1 , 2 a 1 ) + (2a 2 , 4a 2 , -a 2 ) (-1, k , -7) = (a 1 + 2a 2 , -3 a 1 + 4a 2 , 2 a 1 -a 2 )

Dessa igualdade, vem o sistema

do qual resulta, como solução do problema proposto, k = 13 (a 1 = - 3 e a 2 = 1). De fato:

(-1, 13, - 7) = - 3 (1, - 3, 2) + 1 (2, 4, - 1) = (-3, 9, - 6) + (2, 4, - 1) = (-1, 13, -7)

ESPAÇOS VETORIAIS – Capítulo 1

4. Verificar de quantas maneiras o vetor v = (5, 2) IR^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores v 1 = (1,0), v 2 = (0, 1) e v 3 = (3, 1).

Solução

(5,2) = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 (5,2) = a 1 (1,0) + a 2 (0, 1) + a 3 (3, 1) (5,2) = (a 1 , 0) + (0, a 2 ) + (3a 3 , a) (5,2)=(a 1 +3a 3 , a 2 + a 3 ).

Dessa igualdade resulta o sistema

ou

e, portanto, para cada valor arbitrário atribuído a a 3 se obtém um valor para a 1 e outro para a 2. Assim, o vetor v pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação linear dos vetores v 1 , v 2 e v 3.

1.5 - SUBESPAÇO VETORIAL GERADO

Sejam V um espaço vetorial e A = { v 1 , v 2 , ..., v n} V, A. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. De fato, se

= a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... anvn

e

v = b 1 v 1 + b 2 v 2 + ... + bnvn

são dois quaisquer vetores de S, pode-se escrever:

I) + v = (a 1 + b 1 ) v 1 + (a 2 + b 2 ) v 2 + ... + (an + bn) v n

II) = ( a 1 ) v 1 + ( a 2 ) v 2 + ... + ( an) v n,

isto é, + v S e S por serem combinações lineares de v 1 , v 2 , ..., v n_._ Logo, S é um subespaço vetprial de V. O subespaço S diz-se gerado pelos vetores v 1 , v 2 , ..., v n , ou gerado pelo conjunto A e se representa por S = [ v 1 , v 2 , ..., v n] ou S = G(A). Os vetores v 1 , v 2 , ..., v n são chamados geradores do subespaço S, e A é o conjunto gerador de S.