Algebra Linear, Notas de estudo de Informática

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Algebra Linear

Sergio Lus Zani

Departamento de Matematica

ICMC { USP

• 1 Espa¸cos Vetoriais
  • 1.1 Introduc~ao e Exemplos
  • 1.2 Propriedades
  • 1.3 Exerccios
• 2 Subespa¸cos Vetoriais
  • 2.1 Introduc~ao e Exemplos
  • 2.2 Intersec~ao e Soma de Subespacos
  • 2.3 Exerccios
• 3 Combina¸c˜oes Lineares
  • 3.1 Introduc~ao e Exemplos
  • 3.2 Geradores
  • 3.3 Exerccios
• 4 Dependˆencia Linear
  • 4.1 Introduc~ao e Exemplos
  • 4.2 Propriedades
  • 4.3 Exerccios
• 5 Base, Dimens˜ao e Coordenadas
  • 5.1 Base
  • 5.2 Dimens~ao
  • 5.3 Dimens~ao de Soma de Subespacos Vetoriais 4 SUM ARIO
  • 5.4 Coordenadas
  • 5.5 Exerccios
• 6 Mudan¸ca de Base
  • 6.1 Introduc~ao, Exemplos e Propriedades
  • 6.2 Exerccios
• 7 Exerc´ıcios Resolvidos – Uma Revis˜ao
• 8 Transforma¸c˜oes Lineares
  • 8.1 Introduc~ao e Exemplos
  • 8.2 O Espaco Vetorial L (U, V)
  • 8.3 Imagem e Nucleo
  • 8.4 Isomor smo e Automor smo
  • 8.5 Matriz de uma Transformac~ao Linear
    • 8.5.1 De nic~ao e Exemplos
    • 8.5.2 Propriedades
  • 8.6 Exerccios Resolvidos
  • 8.7 Exerccios
• 9 Autovalores e Autovetores
  • 9.1 De nic~ao, Exemplos e Propriedades
  • 9.2 Polin^omio Caracterstico
  • 9.3 Exerccios
• 10 Diagonaliza¸c˜ao
  • 10.1 De nic~ao e Caracterizac~ao
  • 10.2 Exerccios
• 11 Forma Canˆonica de Jordan
  • 11.1 Introduc~ao e Exemplos
• SUM ARIO
  • 11.2 Exerccios
• 12 Espa¸cos Euclidianos
  • 12.1 Produto Interno
  • 12.2 Norma
  • 12.3 Dist^ancia
  • 12.5 Ortogonalidade 12.4 Angulo 171^
  • 12.6 Processo de Gram-Schmidt
  • 12.7 Complemento Ortogonal
  • 12.8 Isometria
  • 12.9 Operador Auto-adjunto
  • 12.10Exerccios

Cap´ıtulo 1

Espa¸cos Vetoriais

1.1 Introdu¸c˜ao e Exemplos

N

este captulo introduziremos o conceito de espaco vetorial que sera usado em todo o decorrer do curso. Porem, antes de apresentarmos a de nic~ao de espaco vetorial, passe- mos a analisar em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas func~oes f : R → R, denotado por F (R; R) e o conjunto das matrizes quadra- das de ordem n com coe cientes reais que denotaremos por Mn(R), ou simplesmente, por Mn. A soma de duas func~oes f e g de F (R; R) e de nida como sendo a func~ao f + g ∈ F (R; R) dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x). Note tambem que se λ ∈ R podemos multiplicar a func~ao f pelo escalar λ, da seguinte forma (λf)(x) = λ(f(x)), resultando num elemento de F (R). Com relac~ao a Mn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A = (aij)n×n e B = (bij)n×n, colocando A + B = (aij + bij)n×n, que e um elemento de Mn. Com a relac~ao a multiplicac~ao de A = (aij)n×n por um escalar λ ∈ R, e natural de nirmos λA = (λaij)n×n, o qual tambem pertence a Mn. O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adic~ao de

7

8 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS

seus elementos e multiplicac~ao de seus elementos por escalares, t^em co- mum? Vejamos: Veri ca-se facilmente a partir das propriedades dos numeros reais que, com relac~ao a quaisquer func~oes f, g e h em F (R; R) e para todo λ, μ ∈ R, s~ao validos os seguintes resultados:

1. f + g = g + f;
2. f + (g + h) = (f + g) + h;
3. se O representa o func~ao nula, isto e, O(x) = 0 para todo x ∈ R ent~ao O + f = f;
4. a func~ao −f de nida por (−f)(x) = −[f(x)] para todo x ∈ R e tal que f + (−f) = O;
5. λ(μf) = (λμ)f;
6. (λ + μ)f = λf + μf;
7. λ(f + g) = λf + λg;
8. 1f = f.

Agora, com relac~ao a quaisquer matrizes A, B e C em Mn e para todo λ, μ ∈ R, tambem s~ao validos os seguintes resultados:

1. A + B = B + A;
2. A + (B + C) = (A + B) + C;
3. se O representa o func~ao nula, isto e, O = ( 0 )n×n ent~ao O + A = A;
4. se A = (ai,j)n×n ent~ao a matriz −A de nida por −A = (−ai,j)n×n e tal que A + (−A) = O;
5. λ(μA) = (λμ)A;

10 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS

(ev7) λ(u + v) = λu + λv para todo u, v ∈ V e λ ∈ R;

(ev8) 1u = u para todo u ∈ V.

Observa¸c˜ao 1.2 E comum chamarmos os elementos de um espa co ve- torial de vetores, independentemente da natureza dos mesmos. Tam- bem chamamos de escalares os numeros reais quando estes desempe- nham o seu papel na ac~ao de multiplicar um vetor.

Observa¸c˜ao 1.3 O elemento 0 na propriedade ev3 e unico, pois qual- quer outro 0 ′^ ∈ V satisfazendo a mesma propriedade ev3 ent~ao, pelas propriedades ev3 e ev1 teramos 0 ′^ = 0 + 0 ′^ = 0 ′^ + 0 = 0, isto e, 0 = 0 ′.

Observa¸c˜ao 1.4 Em um espaco vetorial, pela propriedade ev4, para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. Na verdade, para cada u ∈ V existe somente um elemento v ∈ V com esta propriedade. De fato, dado u ∈ V se v e v′^ em V s~ao tais que u + v = 0 e u + v′^ = 0 ent~ao, combinando estas equac~oes com as propriedades ev1,ev2 e ev3, obtemos v = v + 0 = v + (u + v′) = (v + u) + v′^ = (u + v) + v′^ = 0 + v′^ = v′, isto e v = v′. Denotaremos v por −u e u − v por u + (−v).

Observa¸c˜ao 1.5 As quatro primeiras propriedades referem-se apenas a operac~ao de adic~ao e s~ao conhecidas, respectivamente, por proprie- dade comutativa, propriedade associatividade, exist^encia do elemento neutro e exist^encia do elemento inverso. A quinta e a oitava propriedades s~ao exclusivas da multiplicac~ao por escalar e tambem podem ser chamadas de associatividade e ele- mento neutro da multiplicac~ao, respectivamente. A sexta e a setima propriedades relacionam as duas operac~oes e s~ao ambas conhecidas por distributividade.

Observa¸c˜ao 1.6 A rigor, a de nic~ao de espaco vetorial que demos acima se refere a espacos vetoriais reais visto que estamos permitindo

1.1. INTRODUC ~AO E EXEMPLOS 11

que os escalares sejam apenas numeros reais. A noc~ao de espaco vetorial complexo pode ser feita naturalmente a partir da de nic~ao acima com as devidas mudancas. Mais precisamente, pedimos que seja satisfeitas as propriedades ev1 a ev4 e ev8 enquanto que as propriedades ev5 a ev7 devem valer para todo λ, μ ∈ C. No entanto, embora importante, n~ao usaremos o conceito de espaco vetorial complexo.

Um outro exemplo de espaco vetorial, alem dos dois apresentados no incio do texto, e o conjunto dos vetores como apresentados em Geometria Analtica munido da adic~ao e da multiplicac~ao por escalar. Dessa forma, o adjetivo vetorial utilizado na de nic~ao acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma refer^encia aos elementos de V independen- temente de serem ou n~ao vetores. Talvez o exemplo mais simples de espaco vetorial seja o conjunto dos numeros reais com a adic~ao e multiplicac~ao usuais. Mais geralmente, para cada n ∈ N, podemos transformar o conjunto das n-uplas ordenadas de numeros reais, Rn, em um espaco vetorial de nindo a adic~ao de duas n-uplas ordenadas, x = (x 1 ,... , xn) e y = (y 1 ,... , yn), adicionando-se coordenada a coordenada, isto e,

x + y = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn)

e o produto de uma n-upla x = (x 1 ,... , xn) por um escalar λ ∈ R por

λx = (λx 1 ,... , λxn).

E uma rotina bem simples veri car que desse modo^  Rn^ e um espaco ve- torial. Deixamos como exerccio esta tarefa. Veri que tambem que os seguintes exemplos s~ao espacos vetoriais.

1. Sejam n ∈ N e V = Pn(R) o conjunto formado pelo polin^omio nulo e por todos os polin^omios de grau menor ou igual a n com coe cientes reais. De nimos a adic~ao e a multiplicac~ao por escalar da seguinte maneira:

1.2. PROPRIEDADES 13

do que os anteriores e por isso mostraremos as oito propriedades. Como conjunto tomaremos V = (0, ∞), o semi-eixo positivo da reta real. Este conjunto quando agregado as operac~oes usuais de soma e multiplicac~ao n~ao e um espaco vetorial, visto que n~ao possui elemento neutro para a adic~ao. No entanto, se para x, y ∈ V e λ ∈ R, de nirmos a soma entre x e y por x ¢ y = xy, (o produto usual entre x e y) e o produto de x pelo escalar λ como λ ° x = xλ, ent~ao V se torna um espaco vetorial. De fato, veri quemos uma a uma as oito propriedades:

1. x, y ∈ V temos x ¢ y = xy = yx = y ¢ x para quaisquer x, y ∈ V;
2. x ¢ (y ¢ z) = x ¢ (yz) = x(yz) = (xy)z = (x ¢ y)z = (x ¢ y) ¢ z para quaisquer x, y, z ∈ V
3. se x ∈ V ent~ao, como 1 ∈ V, temos 1 ¢ x = 1x = x; observe que neste caso, 1 e o elemento neutro da adic~ao, o qual denotaremos por o;
4. se x ∈ V, isto e, x > 0, ent~ao x−^1 ∈ V e x ¢ x−^1 = xx−^1 = 1 = o;
5. λ ° (μ ° x) = λ ° xμ^ = (xμ)λ^ = xμλ^ = xλμ^ = (λμ) ° x para quaisquer x ∈ V e λ, μ ∈ R;
6. (λ+μ)°x = xλ+μ^ = xλxμ^ = xλ^ ¢xμ^ = (λ°x)¢(μ°x) para quaisquer x ∈ V e λ, μ ∈ R;
7. λ ° (x ¢ y) = λ ° (xy) = (xy)λ^ = xλyλ^ = (λ ° x) ¢ (λ ° y) para quaisquer x, y ∈ V e λ ∈ R;
8. 1 ° x = x^1 = x para qualquer x ∈ V.

1.2 Propriedades

Das oito propriedades que de nem um espaco vetorial podemos concluir varias outras. Listaremos algumas destas propriedades na seguinte

14 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS

Proposi¸c˜ao 1.7 Seja V um espaco vetorial. Temos

1. Para qualquer λ ∈ R, λ0 = 0.
2. Para qualquer u ∈ V, 0u = 0.
3. Se λu = 0 ent~ao λ = 0 ou u = 0.
4. Para quaisquer λ ∈ R e u ∈ V, (−λ)u = λ(−u) = −(λu).
5. Para qualquer u ∈ V, −(−u) = u.
6. Se u + w = v + w ent~ao u = v.
7. Se u, v ∈ V ent~ao existe um unico w ∈ V tal que u + w = v.

Prova:

1. Temos λ0 = λ( 0 + 0 ) = λ0 + λ0 pelas propriedades ev3 e ev7. Utilizando as propriedades ev1 a ev4 e a notac~ao da observac~ao 1.4, obtemos 0 = λ0 + (−(λ0)) = (λ0 + λ0) + (−(λ0)) = λ0 + (λ0 + (−(λ0))) = λ0 + 0 = λ0, isto e λ0 = 0.
2. Temos 0u = ( 0 + 0 )u = 0u + 0u, pela propriedade ev6. Utilizando as propriedades ev1 a ev4 e a notac~ao da observac~ao 1.4, obtemos 0 = 0u + (−(0u)) = (0u + 0u) + (−(0u)) = 0u + (0u + (−(0u)) = 0u + 0 = 0u, isto e, 0u = 0.
3. Se λ 6 = 0 ent~ao pelas propriedades ev8 e ev5 e pelo item 1 desta proposic~ao, u = 1u = (λ−^1 λ)u = λ−^1 (λu) = λ−^10 = 0.
4. Utilizando a propriedade ev6 e o item 2 desta proposic~ao, obtemos λu + (−λ)u = (λ + (−λ))u = 0u = 0. Pela observac~ao 1.4, −(λu) = (−λ)u. Analogamente, utilizando-se a propriedade ev7, mostra-se que −(λu) = λ(−u).

16 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS

6. V = R^2 , (x 1 , y 1 )+(x 2 , y 2 ) = (2x 1 −2y 1 , y 1 −x 1 ), α(x, y) = (3αx, −αx.)
7. V = R^2 , (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ), α(x, y) = (αx, 0).
8. V =

(x, y, z, w) ∈ R^4 ; y = x, z = w^2

, operac~oes usuais de R^4.

9. V = R × R∗, (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 y 2 ), α(x, y) = (αx, yα), onde R∗^ = R \ { 0 }.

Ex. 1.10 Termine a demonstrac~ao da proposic~ao 1.7.

Cap´ıtulo 2

Subespa¸cos Vetoriais

2.1 Introdu¸c˜ao e Exemplos

M

uitas vezes nos depararemos com certos subconjuntos de um espaco vetorial que possuem a propriedade de que a soma de dois de seus elementos e um elemento do proprio subconjunto bem como quando mul- tiplicamos um elemento do subconjunto por um escalar, o resultado con- tinua pertencendo ao subconjunto.

Defini¸c˜ao 2.1 Seja V um espaco vetorial. Dizemos que W ⊂ V e um subespaco vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condic~oes:

(sv1) 0 ∈ W;

(sv2) Se u, v ∈ W ent~ao u + v ∈ W;

(sv3) Se u ∈ W ent~ao λu ∈ W para todo λ ∈ R.

Observa¸c˜ao 2.2 Note que todo subespaco vetorial W de um espaco vetorial V e ele proprio um espaco vetorial. As propriedades comuta- tiva, associativa, distributivas e ev8 s~ao herdadas do proprio espaco vetorial V. O elemento neutro da adic~ao e um elemento de W por

17

2.1. INTRODUC ~AO E EXEMPLOS 19

3. Se (x, y, z) ∈ S ent~ao λx + λy + λz = λ(x + y + z) = 0 para qualquer λ ∈ R. Assim, λ(x, y, z) ∈ S.

Exemplo 2.7 Considere o seguinte conjunto S = {y ∈ C^2 (R; R); y′′^ − y = 0 } onde y′′^ representa a derivada de segunda ordem de y. Veri - quemos que S e um subespaco vetorial de C^2 (R; R).

1. Claramente a func~ao nula satisfaz 0 ′′^ − 0 = 0 ;
2. Se y 1 , y 2 ∈ S ent~ao (y 1 + y 2 )′′^ − (y 1 + y 2 ) = (y 1 ′′ − y 1 ) + (y 2 ′′ − y 2 ) = 0. Logo, y 1 + y 2 ∈ S.
3. Se y ∈ S e λ ∈ R ent~ao (λy)′′^ − λy = λ(y′′^ − y) = 0. Portanto, λy ∈ S.

Deixamos como exerccio a veri cac~ao de que os seguintes exemplos s~ao subespacos vetoriais dos respectivos espacos vetoriais.

Exemplo 2.8 Sejam a 1 ,... , an ∈ R e S = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn; a 1 x 1 +· · ·+ anxn = 0 }. Mostre que S e um subespaco vetorial de Rn.

Exemplo 2.9 O conjunto das func~oes contnuas da reta na reta, de- notado por C(R; R), e um subespaco vetorial de F (R; R).

Exemplo 2.10 O conjunto das func~oes f ∈ C([a, b]; R) tais que ∫ (^) b

a

f(x)dx = 0

e um subespaco vetorial de C([a, b]; R).

Exemplo 2.11 O conjunto das matrizes simetricas quadradas de ordem n com coe cientes reais e um subespaco vetorial de Mn(R).

Exemplo 2.12 Sejam m, n ∈ N com m ≤ n. Ent~ao Pm e um su- bespaco de Pn.

20 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS

2.2 Interse¸c˜ao e Soma de Subespa¸cos

Proposi¸c˜ao 2.13 (Interse¸c˜ao de subespa¸cos) Sejam U e W subespa- cos vetoriais de V. Ent~ao U ∩ W e subespaco vetorial de V.

Prova:

1. Como 0 ∈ U e 0 ∈ W ent~ao 0 ∈ U ∩ W;
2. Se x, y ∈ U ∩ W e λ ∈ R ent~ao x + λy ∈ U e x + λy ∈ W. Portanto, x + λy ∈ U ∩ W.

Quest˜ao: Com a notac~ao da proposic~ao acima, podemos a rmar que U ∪ W e subespaco vetorial de V? Resposta : N~ao. Basta considerar V = R^2 , U = {(x, y) ∈ R^2 ; x + y = 0 } e W = {(x, y) ∈ R^2 ; x − y = 0 }. Note que (1, − 1 ) ∈ U ⊂ U ∪ W e (1, 1) ∈ W ⊂ U ∪ W mas (1, − 1 ) + (1, 1) = (2, 0) 6 ∈ U ∪ W. Se U e W s~ao subespacos vetoriais de um espaco vetorial V e V ′^ e um subespaco de V que contenha U e W, isto e, U ∪ W ⊂ V ′^ ent~ao V ′^ tera que conter todos os vetores da forma u + w, u ∈ U e w ∈ W. Isto motiva a seguinte

Defini¸c˜ao 2.14 Sejam U e W subespacos vetoriais de um espaco ve- torial V. De nimos a soma de U e W como U+W = {u+w; u ∈ U, w ∈ W}.

Proposi¸c˜ao 2.15 (Soma de subespa¸cos) Sejam U, W e V como na de nic~ao acima. Ent~ao U + W e um subespaco vetorial de V. Alem do mais, U ∪ W ⊂ U + W.

Prova: Veri quemos que U + W e subespaco vetorial de V.

1. Como 0 ∈ U e 0 ∈ W ent~ao 0 = 0 + 0 ∈ U + W;