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Programação Linear
Problemas propostos 4 - Exercícios | 11º ANO | Porto Editora | Geometria II
- Produção de rádios Uma empresa produz dois tipos de rádios: Modelo A Modelo B ∑ O Material custa 10 euros; ∑ O Material custa 15 euros; ∑ Leva 1 hora a produzir ∑ Leva meia hora a produzir No máximo, a companhia dispõe de 20 000 euros para material e 1000 horas para a produção. Com estas limitações, se a empresa tem 10 euros de lucro para cada rádio do modelo A e 12 euros por cada rádio do tipo do modelo B, quantos rádios de cada modelo deve produzir de modo a obter o máximo lucro?
Resolução:
Vamos em primeiro lugar construir uma tabela onde sintetizamos toda a informação: Tempo de produção ( horas) Custo (euros) Lucro (euros) Modelo A (x) 1 10 10 Modelo B (y) 1/2^15 Limitações logísticas 1000 20 000 Agora vamos definir as variáveis de decisão : x Número de rádios do tipo A y Número de rádios do tipo B Em seguida definimos a função objectivo: L x y , 10 x 12 y (lucro) Agora vamos definir as restrições :
- Lógicas ou implícitas 0 0
x y
- Logísticas ou técnicas (^1) 1000 (limitação relativa ao tempo de produção) 2 10 15 20000 (lim itação relativa ao custo da matéria prima)
x y x y
Síntese:
. , 10 12 : 0 0 (^1 ) 2 10 15 20000
Máx L x y x y sujeito a x y x y x y
O passo seguinte será a representação gráfica das condições para definir a região admissível :
x 0 y 0
Determinar a intersecção com os eixos coordenados: Eixo dos 0 2000 ; 0, 2000 Eixo dos 0 1000; 1000, 0
condição x y tempo
x y y x
xx x y A yy y x B
Determinar a intersecção com os eixos coordenados: Eixo dos 0 1333, 3 ; 0;1333, 3 Eixo dos 0 2000; 2000, 0
condição x y custo
y x
xx x y A yy y x B
Utilizando agora o teorema fundamental da programação linear que diz o seguinte: Seja S a região admissível e z ax by a função objectivo. Se s é limitada, então z,
tem máximo ou mínimo em S e cada um destes ocorre pelo menos num dos vértices de S. Se S não é limitada, então o valor máximo ou mínimo de z pode não existir. Se existir ocorre num vértice de S. Assim podemos determinar os vértices da região admissível : Pontos A B C eO , ,
A 0;1333, 3
C (1000, 0)
Ponto B Para determinar as coordenadas do ponto B temos que resolver o sistema: (^1 ) 2 10 15 20000
x y x y
Resolução pelo método misto (adição ordenada + substituição)
x y^ x^ y x y x^ y x y x y x y x y Cálculos auxiliares x
^ ^ ^ ^ ^
y x
y x y
y y x y x y y y y x x x
B (500,1000)
Com a calculadora gráfica ou com o Geogebra (por exemplo) podemos confirmar os resultados:
Fazendo agora uma tabela podemos ver que a solução óptima é B (500,1000)
x y L(x,y)=10x+12y 0 1333,3 16000 1000 0 10000 500 1000 17000 ( LUCRO MÁXIMO)
Este resultado pode ser confirmado utilizando a resolução gráfica através de rectas de nível
Começamos por representar a recta de nível da família: 10 x 12 y k
Para k 0 ( lucro=0) , temos:
3.. Medicamentos mais baratos
No mercado estão disponíveis dois medicamentos:
Medicamento A em que uma unidade custa 5 euros e é formada por: ∑ 1 unidade de fibras; ∑ 1 unidade de proteínas; ∑ 3 unidades de vitaminas
Medicamento B em que uma unidade custa 8 euros e é formada por: ∑ 4 unidade de fibras; ∑ 1 unidade de proteínas; ∑ 1 unidade de vitaminas
Um doente necessita, por dia, no mínimo de: ∑7 unidades e fibras; ∑4 unidades de proteínas ∑8 unidades de vitaminas
Nestas condições, determine quantas unidades de cada um dos medicamentos devem ser utilizados de modo a minimizar o custo do tratamento.
Resolução:
Vamos em primeiro lugar construir uma tabela onde sintetizamos toda a informação: Fibras Proteínas Vitaminas Custo (euros) Medicamento A 1 1 3 5 Medicamento B 4 1 1 8 Limitações 7 4 8 Agora vamos definir as variáveis de decisão : x Número de unidades do Medicamento A y Número de unidades do Medicamento B Em seguida definimos a função objectivo: C x y , 5 x 8 y (custo do tratamento ) Agora vamos definir as restrições :
- Lógicas ou implícitas 0 0
x y
- Logísticas ou técnicas 4 7 (limitação relativa às fibras) 4 (limitação relativa às proteínas) 3 8 (limitação relativa às vitaminas)
x y x y x y
Síntese:
. , 5 8 : 0 0 4 7 4 3 8
Min C x y x y sujeito a x y x y x y x y
O passo seguinte será a representação gráfica das condições para definir a região admissível :
x 0 y 0
Determinar a intersecção com os eixos coordenados: Eixo dos 0 7 ; 0,^7 4 4 Eixo dos 0 7 ; 7, 0
condição x y
x y y x
xx x y A yy y x B
^
Determinar a intersecção com os eixos coordenados: Eixo dos 0 4 ; 0, 4 Eixo dos 0 4 ; 4, 0
condição x y x y y x
xx x y A yy y x B
De seguida vamos construir a região admissível (conjunto das soluções do problemas)
Utilizando agora o teorema fundamental da programação linear que diz o seguinte: Seja S a região admissível e z ax by a função objectivo. Se s é limitada, então z, tem máximo ou mínimo em S e cada um destes ocorre pelo menos num dos vértices de S. Se S não é limitada, então o valor máximo ou mínimo de z pode não existir. Se existir ocorre num vértice de S. Como neste caso queremos minimizar a função objectivo custo do medicamento a solução óptima será encontrada num dos vértices (A,C,D ou G) Determinação das coordenadas de G G (0, 8)
Determinação das coordenadas de D D (7, 0)
Determinação das coordenadas de A Vamos determinar o ponto de intersecção das rectas 3 x y 8 e x y 4
x y x y x y x y Cálculos auxiliares x y
^
x y
x y x y y y x x x
A (2, 2)
Determinação das coordenadas de C Vamos determinar o ponto de intersecção das rectas x 4 y 7 e x y 4
A (3,1)
Fazendo agora uma tabela podemos ver que a solução óptima é C (3,1)
x y L(x,y)=5x+8y 0 8 64 7 0 35 2 2 26 3 1 23 ( custo mínimo)
4 7 ^1 4 7
x y x y x y x y Cálculos auxiliares x
^
4 y 7 x
y x y
x y x x y y y
Podemos verificar que a recta que nos interessa é aquela que tem menor ordenada na origem e toca a região admissível em pelo menos um ponto, o que acontece com o ponto C. Esse valor de k corresponde ao custo mínimo.
Resposta: O custo do medicamento é mínimo se forem utilizados 3 unidades do medicamento A e 1 unidade do medicamento B
