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Bibliografia b´asica do curso: [3, 2, 1, 4]
Autor: Leandro Fiorini Aurichi - [email protected] Vers˜ao: 2008
1 Espa¸cos vetoriais
Comecemos com a defini¸c˜ao de espa¸co vetorial.
Defini¸c˜ao 1.1. (V, ⊕, ) ´e dito um espa¸co vetorial^1 se V ´e um conjunto que cont´em um elemento que denotaremos por 0 e se ⊕ : V × V −→ V e : R × V −→ V s˜ao fun¸c˜oes que satisfazem as seguintes propriedades:
(A1) ∀u, v, w ∈ V (u ⊕ v) ⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w)
(A2) ∀u, v ∈ V u ⊕ v = v ⊕ u
(A3) ∀u ∈ V u ⊕ 0 = u
(A4) ∀v ∈ V ∃u ∈ V v ⊕ u = 0
(M1) ∀α ∈ R ∀u, v ∈ V α (u ⊕ v) = (α u) ⊕ (α v)
(M2) ∀α, β ∈ R ∀v ∈ V (αβ) v = α (β v)
(M3) ∀α, β ∈ R ∀v ∈ V (α + β) v = (α v) ⊕ (β v)
(M4) ∀v ∈ V 1 v = v
Cada elemento de V ´e chamado de vetor. ⊕ ´e chamada de soma e ´e chamada de multi- plica¸c˜ao por escalar.
Vamos ver alguns exemplos de espa¸cos vetoriais. Note que, para isso, precisamos exibir um conjunto, determinar duas opera¸c˜oes e mais um elemento que far´a o papel do elemento 0 destacado acima. Tudo isso de forma que sejam satisfeitas as propriedades da defini¸c˜ao.
No que se segue, quando aparecer = quer dizer que a igualdade vale pela defini¸⊕ c˜ao de ⊕ que for dada no exemplo. Analogamente, quando aparecer = a justificativa ´e a defini¸c˜ao de.
Quando aparecer =, a igualdade se d´R a por propriedades dos n´umeros reais. Quando aparecer A = a justificativa ´ (^1) e a propriedade (A1) da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. Analogamente para as
propriedades (A2), ..., (A4) e (M1), ..., (M4).
(^1) na verdade a defini¸c˜ao apresentada aqui ´e a de um espa¸co vetorial sobre R, mas, como s´o trabalharemos com espa¸cos desta forma, omitiremos o “sobre R”
Exemplo 1.2. Considere (R^2 , ⊕, ) onde R^2 := {(a, b) : a, b ∈ R} e, dados (a, b), (c, d) ∈ R^2 e α ∈ R, definimos (a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d) e α (a, b) := (αa, αb). Considere como 0 o elemento (0, 0). E poss´´ ıvel mostrar que (R^2 , ⊕, ) satisfaz todas as propriedades de um espa¸co vetorial. Como exemplo, vamos mostrar que satisfaz as propriedades (A3) e (A4), deixando as outras como exerc´ıcio:
(A3) Note que, dado (a, b) ∈ R^2 temos (a, b) ⊕ (0, 0) = (⊕ a + 0, b + 0) = (R a, b) e, portanto, temos (A3).
(A4) Seja (a, b) ∈ R^2. Considere (−a, −b) que, de fato, pertence a R^2. Note que (a, b) ⊕
(−a, −b) = (⊕ a − a, b − b) = (0R , 0) = 0 e, portanto, temos (A4).
Apesar do nome vetor ter um certo apelo geom´etrico, os elementos de um espa¸co vetorial n˜ao precisam estar num plano, nem mesmo em qualquer outra figura geom´etrica. O pr´oximo exemplo mostra exatamente isso.
Exemplo 1.3. Considere (F, ⊕, ) onde F := {f : f ´e fun¸c˜ao de R em R} e ⊕ : F × F −→ F e : R×F −→ F s˜ao fun¸c˜oes dadas por (f ⊕g)(x) = f (x)+g(x) e (α f )(x) = αf (x). Para quem n˜ao est´a acostumado, esta nota¸c˜ao pode parecer confusa. Uma maneira de se ler a defini¸c˜ao de ⊕ ´e a seguinte: dadas f, g ∈ F queremos que f ⊕ g seja uma fun¸c˜ao de R em R de forma que, para cada x ∈ R, seu valor neste ponto seja o mesmo que f (x) + g(x). Como o elemento 0, considere a fun¸c˜ao z : R −→ R dada por z(x) := 0 para qualquer x ∈ R. Novamente, pode-se mostrar que (F, ⊕, ) satisfaz a defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. Como exemplo, verifiquemos as propriedades (M3) e (M4) deixando as outras como exerc´ıcio.
(M3) Sejam α, β, x ∈ R e f ∈ F. Temos
((α + β) f )(x) = (α + β)f (x) R = αf (x) + βf (x) = (α f )(x) ⊕ (β f )(x)
(M4) Sejam f ∈ F e x ∈ R. Temos (1 f )(x) = 1f (x) =R f (x).
As opera¸c˜oes assim definidas s˜ao as usuais de F.
Note que, no exemplo 1.2, poder´ıamos ter considerado, em vez do R^2 , Rn^ := {(x 1 , ..., xn) : x 1 , ..., xn ∈ R} com ⊕ e an´alogos, isto ´e, (x 1 , ..., xn) ⊕ (y 1 , ..., yn) := (x 1 + y 1 , ..., xn + yn) e α (x 1 , ..., xn) := (αx 1 , ..., αxn) para (x 1 , ..., xn), (y 1 , ..., yn) ∈ Rn^ e α ∈ R. Essas opera¸c˜oes assim definidas s˜ao as usuais no Rn. Desta maneira, em particular, temos que (R, ⊕, ) ´e um espa¸co vetorial onde ⊕ e s˜ao a soma e o produto usuais respectivamente.
O que nos impede de tentar fazer o mesmo e obter que (Z, ⊕, ), onde Z ´e o conjunto dos n´umeros inteiros e ⊕ e s˜ao, respectivamente, a soma e o produto usuais, ´e um espa¸co vetorial? Pode-se verificar que as propriedades (A1), ..., (A4) e (M1), ..., (M4) s˜ao satisfeitas. O problema aqui ´e que, dados z ∈ Z e α ∈ R, α z = αz n˜ao necessariamente pertence a Z (tome, por
Dem.: Seja u ∈ V tal que 0v +u = 0. Tal u existe por (A4). Temos que 0v R = (0+0)v M 3 = 0v +0v.
Assim, temos que 0 = 0v + u = (0v + 0v) + u A = 0^1 v + (0v + u) = 0v + 0 A = 0^3 v.
Defini¸c˜ao 1.8. Sejam V um espa¸co vetorial e v ∈ V. Dizemos que u ∈ V ´e um elemento oposto a v se v + u = 0.
Pela propriedade (A4) da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial, temos que todo elemento v tem um oposto. O pr´oximo resultado diz que existe apenas um ´unico oposto para cada elemento.
Proposi¸c˜ao 1.9. Sejam V um espa¸co vetorial e v ∈ V. Suponha que u, w ∈ V s˜ao elementos opostos a v. Ent˜ao u = w.
Dem.: Temos u A =^3 u + 0 = u + (v + w) A 1 = (u + v) + w A = (^2) (v + u) + w = 0 + w A = (^2) w + 0 A 3 = w
Vamos agora ver que, dado um elemento v, para encontrarmos seu oposto, basta multiplic´a-lo pelo escalar −1.
Proposi¸c˜ao 1.10. Sejam V um espa¸co vetorial e seja v ∈ V um elemento qualquer. Ent˜ao − 1 v ´e oposto a v (e, por 1.9, ´e o ´unico elemento oposto a v).
Dem.: Temos v + (− 1 v) M = 1^4 v + (− 1 v) M = (1^3 − 1)v = 0R v 1.7 = 0. Logo, − 1 v ´e o oposto de v.
Por comodidade, quando tivermos v, u ∈ V e α ∈ V , denotaremos v + (−αu) simplesmente por v − αu. Analogamente, o oposto de v ser´a denotado simplesmente por −v.
Vamos agora a algumas propriedades elementares:
Proposi¸c˜ao 1.11. Sejam V um espa¸co vetorial, v ∈ V e α ∈ R. Temos:
(i) α(−v) = −αv;
(ii) α0 = 0.
(iii) Se αv = 0 ent˜ao α = 0 ou v = 0;
Dem.: (i) α(−v) = α(− 1 v) M = (^2 α · (−1))v =R −αv.
(ii) α 0 A =^3 α(0 + 0) M =^1 α0 + α0. Somando-se −α0 em ambos os lados da igualdade, temos, pela parte (i), 0 = α0.
(iii) Suponha α 6 = 0. Vamos ent˜ao mostrar que v = 0. Considere α−^1 ∈ R tal que α−^1 α = 1. De α0 = 0 temos α−^1 (αv) = α−^1 0. Aplicando (ii) ao lado direito da igualdade, temos que α−^1 (αv) = 0. Assim, temos que 0 = α−^1 (αv) M = (^2 α−^1 α)v = 1v M =^4 v.
1.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1.1. Considere M 2 :=
a b c d
: a, b, c, d ∈ R
, ⊕ : M 2 × M 2 −→ M 2 dada por
( a 1 b 1 c 1 d 1
a 2 b 2 c 2 d 2
a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2
e : R × M 2 −→ M 2 dada por
α
a b c d
αa αb αc αd
Mostre que (M 2 , ⊕, ) ´e um espa¸co vetorial. As opera¸c˜oes assim definidas s˜ao as usuais para M 2.
Exerc´ıcio 1.2. Considere Q o conjunto dos n´umeros racionais, ⊕ e a soma e o produto usuais de n´umeros reais. (Q, ⊕, ) ´e um espa¸co vetorial? Justifique.
Exerc´ıcio 1.3. Exiba os elementos neutros dos seguintes espa¸cos vetoriais: R^3 e M 2 (cada um com a soma e a multiplica¸c˜ao por escalar usuais).
Exerc´ıcio 1.4. Seja f ∈ F. Determine qual ´e a fun¸c˜ao representada por −f.
Exerc´ıcio 1.5. Seja V := {r ∈ R : r > 0 }. Considere sobre V as seguintes opera¸c˜oes ⊕ : V × V −→ V e : R × V −→ V dadas por r ⊕ s := rs e α r := rα^ onde r, s ∈ V e α ∈ R. Mostre que (V, ⊕, ) ´e um espa¸co vetorial e exiba o elemento neutro de V.
2 Subespa¸cos vetoriais
Vejamos agora um modo de obter espa¸cos vetoriais “novos” a partir de “velhos”. Dado (V, +, ·) um espa¸co vetorial, podemos tentar criar um novo espa¸co (S, ⊕, ) simplesmente tomando S ⊂ V e fazendo com que ⊕ e sejam as restri¸c˜oes de + e · respectivamente. E, ´e claro, queremos que (S, ⊕, ) satisfa¸ca as propriedades da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. Ou seja, temos a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 2.1. Seja (V, +, ·) um espa¸co vetorial. Dizemos que (S, ⊕, ) ´e um subespa¸co ve- torial de V se (S, ⊕, ) ´e um espa¸co vetorial, S ⊂ V e, dados u, v ∈ S e α ∈ R temos que u ⊕ v = u + v e α v = α · v. Dizemos que ⊕ e s˜ao as opera¸c˜oes induzidas por + e · respectivamente.
Por comodidade, normalmente usaremos os mesmos s´ımbolos para as opera¸c˜oes no espa¸co ori- ginal e no subespa¸co. E, quando as opera¸c˜oes estiverem claras no contexto, diremos simplesmente que S ´e subespa¸co de V.
O pr´oximo resultado ´e simples, mas ´e importante tˆe-lo em mente.
Proposi¸c˜ao 2.2. Se (S, ⊕, ) ´e subsespa¸co vetorial de (V, +, ·), ent˜ao, dados u, v ∈ S e α ∈ R, temos que u + v ∈ S e αv ∈ S.
Dem.: Como S ´e espa¸co vetorial, temos que ⊕ : S × S −→ S. Logo, dados u, v ∈ S, temos que u ⊕ v ∈ S. Como u + v = u ⊕ v, temos que u + v ∈ S. Analogamente, temos o resultado para αv.
Vamos agora a um exemplo de subespa¸co.
Exemplo 2.3. Seja (D, +, ·) onde D :=
a 0 0 b
: a, b ∈ R
e + e · s˜ao as restri¸c˜oes das
opera¸c˜oes em M 2. Vamos ver que D ´e subespa¸co de M 2. Para isso, precisamos ver, primeiramente, que as opera¸c˜oes + e ·, que s˜ao as restri¸c˜oes da opera¸c˜oes de M 2 , de fato s˜ao fun¸c˜oes de D × D em D e R × D em D respectivamente. Ou seja, precisamos mostrar que, dados A, B ∈ D e α ∈ R,
temos que A + B ∈ D e αA ∈ D. Sejam A :=
a 1 0 0 a 2
, B :=
b 1 0 0 b 2
∈ D. Temos que ( a 1 0 0 a 2
b 1 0 0 b 2
a 1 + b 1 0 0 a 2 + b 2
∈ D. Para mostrar que αA ∈ D ´e an´alogo
(exerc´ıcio). Observe tamb´em que o elemento
∈ D faz o papel de elemento neutro em
D. Assim, para concluirmos que D ´e de fato um espa¸co vetorial, s´o resta mostrar que valem as propriedades (A1), ..., (A4), (M1), ..., (M4) da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. Como exemplo,
vamos mostrar a propriedade (A2) deixando as outras como exerc´ıcio: Sejam A :=
a 1 0 0 a 2
B :=
b 1 0 0 b 2
∈ D. Temos
A + B =
a 1 0 0 a 2
b 1 0 0 b 2
a 1 + b 1 0 0 a 2 + b 2
b 1 0 0 b 2
a 1 0 0 a 2
= B + A
O pr´oximo exemplo mostra que podemos ter (V, +, ·), (S, ⊕, ) ambos espa¸cos vetoriais e com S ⊂ V mas sem que S seja subespa¸co de V.
Exemplo 2.4. Considere (R, +, ·), onde + e · s˜ao as opera¸c˜oes usuais. Considere (P, ⊕, ), onde P := {r ∈ R : r > 0 } e ⊕ e s˜ao as opera¸c˜oes definidas no exerc´ıcio 1.5, isto ´e, dados r, s ∈ P e α ∈ R, temos que r ⊕ s = rs e α r = rα. Pelo exerc´ıcio 1.5, temos que (P, ⊕, ) ´e um espa¸co vetorial. Mas, apesar de P ⊂ R, n˜ao ´e verdade que (P, ⊕, ) ´e subespa¸co vetorial de (R, +, ·). Isso se d´a porque as opera¸c˜oes em P n˜ao s˜ao as opera¸c˜oes induzidas por R. De fato, considere 1 , 2 ∈ P. Por um lado, tomando as opera¸c˜oes em P , temos que 1 ⊕ 2 = 1 · 2 = 2. Por outro lado, tomando as opera¸c˜oes em R, temos que 1 + 2 = 3.
O pr´oximo exemplo mostra que podemos ter (S, +, ·), com S ⊂ V , “definir”as opera¸c˜oes em S como as de V e, ainda assim, S n˜ao ser subespa¸co de V.
Exemplo 2.5. Considere [0, 1] ⊂ R. Temos que ([0, 1], +, ·), onde + e · s˜ao as restri¸c˜oes das opera¸c˜oes usuais de R, n˜ao ´e um subespa¸co vetorial de R. Para ver isso, suponha que seja. Ent˜ao, dados a, b ∈ [0, 1] temos, por 2.2, que a + b ∈ [0, 1]. Como 1 ∈ [0, 1], temos que 1 + 1 = 2 ∈ [0, 1], contradi¸c˜ao. Logo, [0, 1] n˜ao ´e subespa¸co vetorial de R.
Vimos que, dado um subconjunto S de um espa¸co vetorial V ´e necess´ario fazer muitas veri- fica¸c˜oes para decidir se ele ´e um subespa¸co vetorial ou n˜ao. Temos que verificar as oito propri- edades de espa¸co vetorial, a existˆencia de um elemento neutro e ainda verificar se as restri¸c˜oes das duas opera¸c˜oes tˆem contra dom´ınio S. O pr´oximo resultado mostra uma maneira mais f´acil de fazer tal decis˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.6. Seja (V, ⊕, ) um espa¸co vetorial. Seja S ⊂ V. Ent˜ao (S, +, ·), onde + e · s˜ao as restri¸c˜oes das opera¸c˜oes de V , ´e um subespa¸co vetorial se, e somente se, s˜ao satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:
(a) 0 ∈ S;
2.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.1. Sejam V um espa¸co vetorial e S ⊂ V. Suponha que, dados u, v ∈ S e α ∈ R temos que u + v ∈ S e αv ∈ S. Mostre que 0 ∈ S se, e somente se, S ´e n˜ao vazio.
Exerc´ıcio 2.2. Seja V espa¸co vetorial e S ⊂ V. Mostre que S com as opera¸c˜oes restritas de V ´e um subespa¸co vetorial de V se, e somente se, S ´e n˜ao vazio e, dados α ∈ R e u, v ∈ S temos αu + v ∈ S.
Exerc´ıcio 2.3. Seja V um espa¸co vetorial. Considere S := { 0 } ⊂ V. S com as opera¸c˜oes induzidas por V ´e um subespa¸co vetorial?
Exerc´ıcio 2.4. Decida se os conjuntos abaixo s˜ao subespa¸cos vetoriais de R^3 com as opera¸c˜oes induzidas pelas opera¸c˜oes usuais de R^3. Justifique suas afirma¸c˜oes. (a) A := {(x, y, z) ∈ R^3 : z = 0}
(b) B := {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y = z}
(c) C := {(x, y, z) ∈ R^3 : xy = 0}
(d) D := {(x, y, z) ∈ R^3 : x + z = 0}
(e) E := {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + z^2 = 1})
Exerc´ıcio 2.5. Sejam V um espa¸co vetorial e A, B ⊂ V subespa¸cos vetoriais de V. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras? Justifique suas respostas. (a) A ∩ B ´e um subespa¸co vetorial de V.
(b) A ∪ B ´e um subespa¸co vetorial de V.
(c) {a + b : a ∈ A e b ∈ B} ´e um subespa¸co vetorial de V.
(d) Se A ⊂ B ent˜ao A ´e subespa¸co vetorial de B.
Exerc´ıcio 2.6. Seja S subespa¸co vetorial de V. Seja 0V o elemento neutro de V e 0S o elemento neutro de S. Mostre que 0V = 0S.
Exerc´ıcio 2.7. Considere S := {A ∈ M 2 : detA 6 = 0} ∪
. S com as opera¸c˜oes induzidas por M 2 ´e subespa¸co vetorial de M 2?
3 Combina¸c˜oes lineares e subespa¸cos gerados
Segue imediatamente das propriedades de espa¸cos vetoriais que podemos sempre somar dois elementos e que podemos multiplicarmos qualquer elemento por um n´umero real sempre tendo como resultado outro elemento do espa¸co. O pr´oximo resultado simplesmente diz que podemos, na verdade, somar qualquer quantidade (finita) de elementos do espa¸co e sempre obteremos outro elemento do espa¸co. Al´em disso, cada elemento desta soma pode ser multiplicado por um escalar sem preju´ızo algum. Antes de mostrar tal resultado, vamos demonstrar uma importante ferramenta matem´atica que nos ser´a ´util:
Teorema 3.1 (Princ´ıpio da indu¸c˜ao). Seja P uma propriedade. Suponha que sabemos que tal propriedade vale para o n´umero 0 e que, sempre que ela vale para um n´umero n ∈ N ela tamb´em vale para o n´umero n + 1. Ent˜ao a propriedade P vale para todos os n´umeros^1 m ∈ N.
Dem.: Suponha que existe um n´umero para o qual a propriedade P n˜ao vale. Seja n o menor n´umero para o qual n˜ao vale P. Por hip´otese, temos que n 6 = 0. Assim, temos que n − 1 ∈ N e, como n − 1 < n, temos que a propriedade P vale para n − 1. Por hip´otese, temos que a propriedade P vale para (n − 1) + 1 = n, contradi¸c˜ao.
Corol´ario 3.2. Seja P uma propriedade que vale para um n´umero m ∈ N e que se ela vale para um n´umero n ∈ N ela tamb´em vale para n + 1. Ent˜ao a propriedade P vale para todo n´umero k ∈ N com k ≥ m.
Dem.: Considere a propriedade P ′^ tal que P ′^ vale para um n´umero n se, e somente se, P vale para n + m. Aplicamos o teorema para P ′^ e obtemos o resultado.
Proposi¸c˜ao 3.3. Seja V um espa¸co vetorial. Sejam α 1 , ..., αn ∈ R e v 1 , ..., vn ∈ V. Ent˜ao
∑^ n
i=
αivi ∈ V
Dem.: Por indu¸c˜ao^2 sobre n. Caso n = 1, temos que α 1 v 1 ∈ V pela defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. Agora suponha que vale o resultado para∑ n e vamos mostrar para n + 1. Por hip´otese, temos que n i=1 αivi^ ∈^ V^. Assim^ n∑+
i=
αivi = (
∑^ n
i=
αivi) ︸ ︷︷ ︸ ∈V
∈ V
(^1) Uma vers˜ao “informal”deste resultado que talvez ajude a entendˆe-lo melhor: se h´a uma fila infinita de bolas e sabemos que a primeira est´a pintada e que, se alguma est´a pintada, ent˜ao a pr´oxima tamb´em est´a pintada, podemos concluir que toda a fila est´a pintada. (^2) ou seja, a propriedade aqui considerada ´e que dados α 1 , ..., αn ∈ R e v 1 , ..., vn temos que Pni=1 αivi ∈ V.
Com esse resultado, fazemos a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 3.8. Sejam V um espa¸co vetorial e A ⊂ V um subconjunto n˜ao vazio. Denotamos por [A] := {v ∈ V : ∃n ≥ 1 , v 1 , ..., vn ∈ A e α 1 , ..., αn ∈ R
∑n i=1 α^1 vi^ =^ v}^ o^ subespa¸co vetorial gerado por A. E, neste caso, dizemos que A ´e um conjunto gerador para [A]. Por conven¸c˜ao, dizemos que [∅] = 0.
Por comodidade, quando exibirmos os elementos de um conjunto A, omitiremos as chaves. Por exemplo, em vez de denotar por [{u, v, w}], usaremos [u, v, w].
Exemplo 3.9. Considere o espa¸co vetorial R^3 com as opera¸c˜oes usuais. Temos que [(0, 1 , 2), (1, 0 , 0)] = {(a, b, 2 b) : a, b ∈ R}. De fato, considere (a, b, 2 b) e vamos mostrar que (a, b, 2 b) ∈ [(0, 1 , 2), (1, 0 , 0)]. Para isso, basta notar que (a, b, 2 b) = b(0, 1 , 2) + a(1, 0 , 0). Assim, temos que {(a, b, 2 b) : a, b ∈ R} ⊂ [(0, 1 , 2), (1, 0 , 0)]. Para o outro lado, considere α(0, 1 , 2)+β(1, 0 , 0) = (β, α, 2 α). Tomando- se a = β e b = α, temos que α(0, 1 , 2)+β(1, 0 , 0) ∈ {(a, b, 2 b) : a, b ∈ R}. Logo, temos a igualdade.
J´a o subespa¸co S := {(x, y, z) : z = 0} ´e gerado por {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0)}. De fato, seja (x, y, 0) ∈ S. Ent˜ao (x, y, 0) = x(1, 0 , 0) + y(0, 1 , 0). E, dados α, β ∈ R, temos que α(1, 0 , 0) + β(0, 1 , 0) = (α, β, 0) tem a terceira coordenada 0 e, portanto, pertence a S.
Exemplo 3.10. Considere S ⊂ M 2 dado por
a 0 0 b
: a, b ∈ R
. Temos que S ´e gerado por
{( 1 0 0 0
De fato, seja
a 0 0 b
∈ S. Temos que
( a 0 0 b
= (a − b 2
b 2
Por outro lado, ´e f´acil ver que qualquer combina¸c˜ao linear de
e
´e da forma ( a 0 0 b
3.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.1. Considere R^2 com as opera¸c˜oes usuais. Escreva (1, 2) como combina¸c˜ao linear de {(1, 1), (0, 4)}.
Exerc´ıcio 3.2. Considere R^3 com as opera¸c˜oes usuais. Considere S := [(1, 0 , 0), (1, 1 , 0)]. Dˆe uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para S.
Exerc´ıcio 3.3. Seja V um espa¸co vetorial. Mostre as seguintes afirma¸c˜oes: (a) Seja S ⊂ V. Ent˜ao S ⊂ [S];
(b) Sejam S 1 ⊂ S 2 ⊂ V. Ent˜ao [S 1 ] ⊂ [S 2 ];
(c) Seja S ⊂ V. Ent˜ao [S] = [[S]].
Exerc´ıcio 3.4. Considere R^3 com as opera¸c˜oes usuais. Considere S := {(a, b, a + 2b) : a, b ∈ R}. (a) Mostre que S ´e subespa¸co de R^3 com as opera¸c˜oes usuais.
(b) Encontre um conjunto com exatamente 2 elementos que seja um gerador para S.
(c) Encontre um conjunto com exatamente 3 elementos que seja um gerador para S.
(d) Encontre A, B ⊂ R^3 tais que A ∩ B = ∅ e [A] = [B] = S.
Exerc´ıcio 3.5. Sejam V um espa¸co vetorial e v ∈ V. Mostre que [V r {v}] = V.
Exerc´ıcio 3.6. Seja V um espa¸co vetorial e seja S ⊂ V um subconjunto qualquer. Mostre que S = [S] se, e somente se, S ´e um subespa¸co vetorial de V.
Exerc´ıcio 3.7. Considere M 2 com as opera¸c˜oes usuais. Considere
S :=
a b c d
∈ M 2 : a = c
A :=
(a) S ´e um subespa¸co vetorial de M 2? Justifique.
(b) Relacione S com [A], justificando suas afirma¸c˜oes.
Exerc´ıcio 3.8. Sejam V um espa¸co vetorial e A ⊂ V um conjunto n˜ao vazio. Suponha que S seja um subespa¸co de V tal que A ⊂ S. Mostre que [A] ⊂ S.
Exerc´ıcio 3.9. Sejam V um espa¸co vetorial e A ⊂ V um conjunto n˜ao vazio. Mostre que [A] =
{S ⊂ V : S ⊃ A e S ´e subespa¸co de V }.
Exemplo 4.5. Considere F com as opera¸c˜oes usuais. Temos que que as fun¸c˜oes sen(x) e cos(x) s˜ao linearmente independentes. De fato, sejam α, β ∈ R tais que, para todo x ∈ R, temos que αsen(x) + βcos(x) = 0. Fazendo x = 0, temos que 0 = αcos0 + βsen0 = α. E, fazendo x = π 2 , temos que 0 = βsen π 2 = β. Logo, α = β = 0. Por outro lado, temos que as fun¸c˜oes f (x) := 2sen(x), g(x) := sen(x)−cos(x) e h(x) := sen(x)+2cos(x) s˜ao linearmente dependentes. De fato, temos que
−
f (x) + 2g(x) + h(x) = 0
para qualquer x ∈ R.
Agora vamos ao resultado da “rec´ıproca” do primeiro exemplo desta se¸c˜ao. Sua afirma¸c˜ao ´e a de que se n vetores s˜ao linearmente dependentes, ´e porque um deles ´e combina¸c˜ao linear dos outros.
Proposi¸c˜ao 4.6. Sejam V um espa¸co vetorial e v 1 , ..., vn ∈ V. Suponha que v 1 , ..., vn s˜ao li- nearmente dependentes. Ent˜ao existe k tal que 1 ≤ k ≤ n tal que vk ´e combina¸c˜ao linear de {vi : 1 ≤ i ≤ n e i 6 = k}, isto ´e, existem αi ∈ R tais que
vk =
∑^ n
i = 1 i 6 = k
αivi
Dem.: Como v 1 , ..., vn s˜ao linearmente dependentes, existem α 1 , ..., αn ∈ R, com pelo menos um βi 6 = 0, tais que
∑n i=1 βivi^ = 0. Seja^ k^ tal que^ βk^6 = 0. Temos
vk =
∑^ n
i = 1 i 6 = k
βi βk
vi
O pr´oximo resultado ser´a ´util para quando formos cuidar da minimalidade de conjuntos geradores. Ele simplesmente diz que, se um conjunto gerador finito ´e linearmente dependente, ent˜ao existe um elemento dele que podemos “descartar”.
Corol´ario 4.7. Seja V um espa¸co vetorial. Seja A ⊂ V finito^1 e linearmente dependente. Ent˜ao existe v ∈ A tal que [A] = [A r {v}].
Dem.: Escreva A = {v 1 , ..., vn}. Pelo resultado anterior, existem k e αi ∈ R tais que
vk =
i = 1 i 6 = k
αivi
(^1) Veja o exercicio 4.
Vamos mostrar que [A] = [A r {vk}]. E claro que [´ A r {vk}] ⊂ [A] (ver exercicio 3.3). Assim, resta mostrar que [A] ⊂ [A r {vk}]. Seja u ∈ [A]. Sejam β 1 , ..., βn ∈ R tais que v =
∑n i=1 βivi. Temos v =
∑n i=i βivi = βkvk +
∑n i = 1 i 6 = k
βivi
= βk
∑n i = 1 i 6 = k
αivi +
∑n i = 1 i 6 = k
βivi
Logo, v ∈ [A r {vk}].
O pr´oximo resultado diz que podemos aumentar um conjunto linearmente independente com elementos que n˜ao sejam combina¸c˜ao linear dele.
Proposi¸c˜ao 4.8. Sejam V um espa¸co vetorial e A ⊂ V um subconjunto linearmente indepen- dente. Seja v ∈ V tal que v /∈ [A]. Ent˜ao A ∪ {v} ´e linearmente independente.
Dem.: Suponha que n˜ao. Ent˜ao existem v 1 , ..., vn ∈ A e α, α 1 , ..., αn ∈ R n˜ao todos nulos tais que αv +
∑n i=1 αivi^ = 0. Note que^ α^6 = 0 pois, caso contr´ario, ter´ıamos^
∑n i=1 αivi^ = 0 com algum αi 6 = 0 o que contraria o fato de A ser linearmente independente. Assim, temos que v = −
∑n i=
αi α vi^ o que contraria o fato de^ v /∈^ [A].
4.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 4.1. Sejam V um espa¸co vetorial e A ⊂ V. Mostre que, se 0 ∈ A, ent˜ao A ´e linearmente dependente.
Exerc´ıcio 4.2. Considere R^4 com as opera¸c˜oes usuais. Decida se cada conjunto de vetores ´e linearmente dependente ou n˜ao. Justifique suas respostas:
(a) {(1, 0 , 0 , 0), (0, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0), (0, 0 , 0 , 1)}
(b) {(1, 1 , 0 , 0), (2, 2 , 4 , 4), (0, 0 , 1 , 1)}
(c) {(x, y, z, w) : x + y + z + w = 0}
(d) {(0, 0 , 0 , 2), (0, 0 , − 1 , 3), (0, 4 , 2 , 1), (1, 2 , 3 , 4)}
(e) {(0, 2 , 2 , 4), (1, 0 , 2 , 2), (1, 2 , 2 , 0)}
Exerc´ıcio 4.3. Seja V um espa¸co vetorial. Sejam A, B ⊂ V. Decida se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ou falsas e justifique suas respostas:
5 Bases
Agora temos material suficiente para tomarmos conjuntos geradores minimais.
Defini¸c˜ao 5.1. Sejam V um espa¸co vetorial e B ⊂ V. Dizemos que B ´e uma base para V se B ´e linearmente independente e [B] = V.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 5.2. Considere R^4 com as opera¸c˜oes usuais. Temos que B := {(1, 0 , 1 , 0), (0, 1 , 0 , 1), (1, 0 , 0 , 1), (0, 0 , 1 , 1)} ´e uma base para R^4. De fato, seja (a, b, c, d) ∈ R^4. Considere α, β, γ, δ ∈ R tais que α(1, 0 , 1 , 0) + β(0, 1 , 0 , 1) + γ(1, 0 , 0 , 1) + δ(0, 0 , 1 , 1) = (a, b, c, d). Temos
α + γ = a β = b α + δ = c β + γ + δ = d
De onde, temos α = a − d + b + c−a+ 2 d−b, β = b, γ = d − b − c−a+ 2 d−b, δ = c−a+ 2 d−b. Assim, temos que [B] = R^4. Vamos agora mostrar que B ´e linearmente independente. Sejam α, β, γ, δ ∈ R tais que α(1, 0 , 1 , 0) + β(0, 1 , 0 , 1) + γ(1, 0 , 0 , 1) + δ(0, 0 , 1 , 1) = (0, 0 , 0 , 0). Temos
α + γ = 0 β = 0 α + δ = 0 β + γ + δ = 0
De onde temos que α = β = γ = δ = 0.
Exemplo 5.3. Para cada k ∈ N, considere pk : R −→ R dada por pk(x) = xk. Seja n ∈ N. Chamamos de polinˆomios de grau menor ou igual a n o subespa¸co vetorial de F gerado por p 0 , ..., pn. Denotamos tal espa¸co por Pn. Temos que B := {p 0 , ..., pn} ´e uma base para Pn. De fato, pela pr´opria defini¸c˜ao, j´a temos que [B] = Pn. Resta mostrar que B ´e linearmente independente. Sejam α 0 , ..., αn ∈ R tais que
∑n i=0 αipi^ = 0. Isto ´e, dado qualquer^ y^ ∈^ R, temos que (α 0 p 0 + · · · αnpn)(y) = α 0 y^0 + · · · + αnyn^ = 0 (1)
Mas temos que um polinˆomio identicamente nulo tem todos os seus coeficientes nulos. Logo, α 0 = · · · αn = 0.
N˜ao apresentaremos aqui a demonstra¸c˜ao do pr´oximo resultado pois ela precisa de um pouco de material que foge do nosso escopo. Al´em disso, para os principais exemplos tratados aqui, apresentaremos uma vers˜ao mais fraca (mas suficiente) deste resultado na pr´oxima se¸c˜ao.
Teorema 5.4. Seja V um espa¸co vetorial. Ent˜ao existe B ⊂ V base para V.
Dem.: Ver [3], p. 76.
5.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 5.1. Exiba uma base para cada espa¸co vetorial e demonstre que a mesma de fato ´e uma base. Considere para cada conjunto as opera¸c˜oes usuais.
(a) M 2
(b) R^3
(c) R
Exerc´ıcio 5.2. Sejam V um espa¸co vetorial e B uma base para V. Considere C, D ⊂ V tais que C ( B e D ) B. Mostre que C e D n˜ao s˜ao bases de V.
Exerc´ıcio 5.3. Sejam V um espa¸co vetorial e B uma base para V. Seja α ∈ R com α 6 = 0. Mostre que C := {αv : v ∈ B} ´e uma base para V.
Exerc´ıcio 5.4. Sejam V um espa¸co vetorial e S ⊂ V um subespa¸co tal que S 6 = { 0 }. Considere B base para V. E verdade que, necessariamente,´ B ∩ S 6 = ∅?
Exerc´ıcio 5.5. Sejam U, V espa¸cos vetoriais. Sejam A base para U e B base para V. Considere U × V (veja o exercicio 1.12). O conjunto C := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} ´e uma base para U × V?
6 Sistemas lineares
Antes de prosseguirmos com os espa¸cos vetoriais, vamos ver uma aplica¸c˜ao no estudo de sistemas lineares homogˆeneos. Vamos fazer essa aplica¸c˜ao agora pois um dos resultados ser´a utilizado na seq¨uˆencia de nosso trabalho.
Defini¸c˜ao 6.1. Dizemos que um sistema com n equa¸c˜oes nas inc´ognitas x 1 , ..., xk ´e um sistema linear homogˆeneo se cada uma das suas equa¸c˜oes ´e da forma α 1 x 1 + α 2 x 2 + · · · + αkxk = 0 com α 1 , ..., αk ∈ R. Dizemos que v = (v 1 , ..., vk) ∈ Rk^ ´e uma solu¸c˜ao para o sistema se, para cada equa¸c˜ao α 1 x 1 + · · · αkxk = 0 temos que α 1 v 1 + · · · + αkvk = 0. Dado um sistema linear homogˆeneo E com k inc´ognitas, denotamos por Sol(E) o conjunto {v ∈ Rk^ : v ´e solu¸c˜ao de E}. Chamamos Sol(E) de espa¸co solu¸c˜ao de E.
