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TransformaçõesLineares Revisão de FunçõesDefinição Projeção, Rotação eReflexãoNúcleo e Imagem composição deTLs/produto dematrizes Função InversaInversa de TL
Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear) T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α~u + ~v ) = αT (~u) + T (~v 2 ). para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T ( 0 ) = T (− 0 + 0 ) = − T ( 0 ) + T ( 0 ) = 0
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear) T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α~u + ~v ) = αT (~u) + T (~v 2 ). para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T ( 0 ) = T (− 0 + 0 ) = − T ( 0 ) + T ( 0 ) = 0
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear) T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α~u + ~v ) = αT (~u) + T (~v 2 ). para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T ( 0 ) = T (− 0 + 0 ) = − T ( 0 ) + T ( 0 ) = 0
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Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear) T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α~u + ~v ) = αT (~u) + T (~v 2 ). para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T ( 0 ) = T (− 0 + 0 ) = − T ( 0 ) + T ( 0 ) = 0
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TL – Notação
Notação Denotamos portransformações lineares de L(U; V ) o conjunto de todas as U em V.
Observação Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, é espaço vetorial.
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TL – Exemplo 1
T : (^) (x R^3 → R^2 1 ,^ x 2 ,^ x 3 )^7 →^ (x 3 ,^ −x 1 )
é linear?
T (α x + y ) = T (αx 1 + y 1 , αx 2 + y 2 , αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3 , −(αx 1 + y 1 )) = α(x 3 , −x 1 ) + (y 3 , −y 1 ) = αT ( x ) + T ( y ) Sim.
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TL – Exemplo 1
T : (^) (x R^3 → R^2 1 ,^ x 2 ,^ x 3 )^7 →^ (x 3 ,^ −x 1 )
é linear?
T (α x + y ) = T (αx 1 + y 1 , αx 2 + y 2 , αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3 , −(αx 1 + y 1 )) = α(x 3 , −x 1 ) + (y 3 , −y 1 ) = αT ( x ) + T ( y ) Sim.
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TL – Exemplo 1
T : (^) (x R^3 → R^2 1 ,^ x 2 ,^ x 3 )^7 →^ (x 3 ,^ −x 1 )
é linear?
T (α x + y ) = T (αx 1 + y 1 , αx 2 + y 2 , αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3 , −(αx 1 + y 1 )) = α(x 3 , −x 1 ) + (y 3 , −y 1 ) = αT ( x ) + T ( y ) Sim.
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TL – Exemplo 1
T : (^) (x R^3 → R^2 1 ,^ x 2 ,^ x 3 )^7 →^ (x 3 ,^ −x 1 )
é linear?
T (α x + y ) = T (αx 1 + y 1 , αx 2 + y 2 , αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3 , −(αx 1 + y 1 )) = α(x 3 , −x 1 ) + (y 3 , −y 1 ) = αT ( x ) + T ( y ) Sim.
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TL – Exemplo 1
T : (^) (x R^3 → R^2 1 ,^ x 2 ,^ x 3 )^7 →^ (x 3 ,^ −x 1 )
é linear?
T (α x + y ) = T (αx 1 + y 1 , αx 2 + y 2 , αx 3 + y 3 ) = (αx 3 + y 3 , −(αx 1 + y 1 )) = α(x 3 , −x 1 ) + (y 3 , −y 1 ) = αT ( x ) + T ( y ) Sim.
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TL – Exemplo 2
T : R x n → 7 → (^) ARm m×n x
é linear?
T (α x + y ) = A(α x + y ) = αA x + A y = αT ( x ) + T ( y ) Sim.
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TL – Exemplo 2
T : R x n → 7 → (^) ARm m×n x
é linear?
T (α x + y ) = A(α x + y ) = αA x + A y = αT ( x ) + T ( y ) Sim.
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TL – Exemplo 2
T : R x n → 7 → (^) ARm m×n x
é linear?
T (α x + y ) = A(α x + y ) = αA x + A y = αT ( x ) + T ( y ) Sim.
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TL – Exemplo 2
T : R x n → 7 → (^) ARm m×n x
é linear?
T (α x + y ) = A(α x + y ) = αA x + A y = αT ( x ) + T ( y ) Sim.
