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Guias e Dicas
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Algebra linear - callioli, Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Parte do livro callioli e suas respectivas atividades

Tipologia: Notas de aula

2019

Compartilhado em 30/10/2019

emanuel-alves-26
emanuel-alves-26 🇧🇷

9 documentos

Pré-visualização parcial do texto

Baixe Algebra linear - callioli e outras Notas de aula em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Definição de Transformação Linear Definição (transformação linear) T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2). para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Definição de Transformação Linear Definição (transformação linear) T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2). para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Definição de Transformação Linear Definição (transformação linear) T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2). para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R. Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Notação Notação Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas as transformações lineares de U em V . Observação Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, é espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Notação Notação Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas as transformações lineares de U em V . Observação Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, é espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 1 T : R3 → R2 (x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1) é linear? T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3) = (αx3 + y3, −(αx1 + y1)) = α(x3, −x1) + (y3, −y1) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 1 T : R3 → R2 (x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1) é linear? T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3) = (αx3 + y3, −(αx1 + y1)) = α(x3, −x1) + (y3, −y1) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 1 T : R3 → R2 (x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1) é linear? T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3) = (αx3 + y3, −(αx1 + y1)) = α(x3, −x1) + (y3, −y1) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 2 T : Rn → Rm x 7→ Am×nx é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αAx + Ay = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 2 T : Rn → Rm x 7→ Am×nx é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αAx + Ay = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 2 T : Rn → Rm x 7→ Am×nx é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αAx + Ay = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 2 T : Rn → Rm x 7→ Am×nx é linear? T (αx + y) = A(αx + y) = αAx + Ay = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 3 T : R3 → R2 (x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2) é linear? T (1, 1, 1) = (1, 1) T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1) Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 3 T : R3 → R2 (x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2) é linear? T (1, 1, 1) = (1, 1) T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1) Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL TL – Exemplo 3 T : R3 → R2 (x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2) é linear? T (1, 1, 1) = (1, 1) T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1) Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Teorema Teorema Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un} base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, então T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U. u = ∑n i=1 αiui T (u) = T (∑n i=1 αiui ) = ∑n i=1 αiT (ui) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Teorema Teorema Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un} base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, então T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U. u = ∑n i=1 αiui T (u) = T (∑n i=1 αiui ) = ∑n i=1 αiT (ui) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Exemplo Exemplo Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). (x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1) T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Exemplo Exemplo Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). (x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1) T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Exemplo Exemplo Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). (x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1) T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Definição (núcleo, imagem) O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo. Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0} A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do contra-domínio que são imagem por T de algum vetor do domínio. Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U} Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Definição (núcleo, imagem) O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo. Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0} A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do contra-domínio que são imagem por T de algum vetor do domínio. Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U} Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Observação Nuc(T ) é subespaço vetorial de U. Im(T ) é subespaço vetorial de V . Definição (nulidade, posto) A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo ν(T ) = dim(Nuc(T )) O posto de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem dim Im(T ) = dim(Im(T )) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Exemplo T : R2 → R3, T (x , y) = (x + y , −2(x + y), 0) T (x , y) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0 Nuc(T ) = 〈(1,−1)〉 Im(T ) = 〈(1,−2, 0)〉 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Exemplo T : R2 → R3, T (x , y) = (x + y , −2(x + y), 0) T (x , y) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0 Nuc(T ) = 〈(1,−1)〉 Im(T ) = 〈(1,−2, 0)〉 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Exemplo T : R2 → R3, T (x , y) = (x + y , −2(x + y), 0) T (x , y) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0 Nuc(T ) = 〈(1,−1)〉 Im(T ) = 〈(1,−2, 0)〉 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Lema Seja T : U → V uma TL. Então: T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0} T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Lema Seja T : U → V uma TL. Então: T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0} T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Teorema (do Núcleo e Imagem) Seja T : U → V uma TL. Então dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U). Prova Seja {u1, . . . , uν} base de Nuc(T ) e sejam v1, . . . , vr tais que {u1, . . . , uν , v1, . . . , vr} seja base de U. Basta verificar que {T (v1), . . . , T (vr )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Núcleo e Imagem Teorema (do Núcleo e Imagem) Seja T : U → V uma TL. Então dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U). Prova Seja {u1, . . . , uν} base de Nuc(T ) e sejam v1, . . . , vr tais que {u1, . . . , uν , v1, . . . , vr} seja base de U. Basta verificar que {T (v1), . . . , T (vr )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Espaço Vetorial das TLs Definição (operações entre TLs) Dados T , S ∈ L(U; V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e a sua multiplicação por escalar como: T + S : U → V u 7→ T (u) + S(u) e αT : U → V u 7→ αT (u) . Lema (espaço vetorial das TLs) L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Espaço Vetorial das TLs Definição (operações entre TLs) Dados T , S ∈ L(U; V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e a sua multiplicação por escalar como: T + S : U → V u 7→ T (u) + S(u) e αT : U → V u 7→ αT (u) . Lema (espaço vetorial das TLs) L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30