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EQE-358 – MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. E VARISTO E ARGIMIRO
Capítulo 3
Interpolação Polinomial
Teorema de Weierstrass : se f ( x ) é uma função contínua em um intervalo fechado [ a , b ], então para cada > 0, existe um polinômio de grau n () tal que:
| f ( x ) p (^) n ( x )| < x [ a , b ]
Embora seja um teorema motivador para usar polinômios, o valor de n () geralmente não é conhecido, principalmente quando f ( x ) não é dada explicitamente. Outro motivo para usar polinômios na aproximação de funções é que suas derivadas e integrais são fáceis de determinar e também são polinômios.
Como o polinômio de Taylor, descrito no capítulo anterior, concentra a sua precisão próxima ao ponto x 0 , ele não é adequado para a maioria das aplicações práticas onde, geralmente, se deseja uma boa aproximação em todo o intervalo de definição da função f ( x ). Contudo, o polinômio de Taylor é de grande utilidade na análise numérica para estimativas de erros de técnicas numéricas. Portanto, neste capítulo são abordados polinômios que utilizam dados em vários pontos do intervalo, chamados de polinômios interpoladores.
Dados n +1 pares de valores { x (^) i , f ( x (^) i )}, i = 0, 1, 2, ..., n , existe um e somente um polinômio pn ( x ) de grau n no qual
f ( x (^) i ) = pn ( x (^) i ) , i = 0, 1, 2, ..., n. Portanto, embora existam várias fórmulas de interpolação polinomial, se elas utilizarem as mesmas informações nos pontos nodais { x 0 , x 1 , x 2 , ..., x (^) n }, então os polinômios obtidos serão os mesmos.
Naturalmente, se f ( x ) for um polinômio de grau n , então a aproximação também será
exata x x i.
Expressando o polinômio interpolador na forma: 0
n i n i i
p x c x
os coeficientes ci são soluções do sistema abaixo de n +1 equações algébricas lineares:
2 3. I NTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
2 0 1 0 2 0 0 0 2 0 1 1 2 1 1 1
2 0 1 2
n n n n
n n n n n n
c c x c x c x f x c c x c x c x f x
c c x c x c x f x
^ ^ ^ ^
cujo determinante da matriz dos coeficientes:
2 0 0 0 2 1 1 1
2
n n
n n n n
x x x x x x V
x x x
é chamado de determinante de Vandermonde, sendo não-nulo se xi xj i j.
O problema desta técnica de determinação dos coeficientes é a sua tendência de propagar os erros de arredondamento à medida que os pontos nodais se aproximam uns dos outros, pois o determinante de Vandermonde tende a zero nestas situações, gerando um sistema de equações mal condicionado.
Exercício: implementar o código abaixo no MATLAB ou SCILAB para interpolar a função
senh( ) ( ) senh( )
x y f x x
que é a solução analítica do problema de reação com difusão em um partícula catalítica esférica isotérmica com reação de primeira ordem ( x é o raio adimensional e y é a concentração adimensional). Utilizar como pontos nodais, pontos igualmente espaçados entre 0,1 e 0,9, com espaçamento uniforme de 0,1 para o caso (a) e de 0,04 para o caso (b). Após obter o polinômio, interpolar a função nos valores de 0 a 1 em intervalos de 0,01. Note que entre 0 e 0,1 e entre 0,9 e 1 os valores serão extrapolados. Comparar os dois casos.
dx=0.1; % para o caso (a) dx=0.04; % para o caso (b)
x=[0.1:dx:0.9]'; % pontos nodais
phi=5; y=sinh(phix)./(xsinh(phi)); % valor da função nos pontos nodais
n=length(x); % número de pontos
xc=[0:0.01:1]'; % pontos para interpolação m=length(xc); yc(1)=phi/sinh(phi); yc(2:m)=sinh(phixc(2:m))./(xc(2:m)sinh(phi)); % formação da matriz de Vandermonde Um=ones(n,1); % vetor de tamanho n x 1 com todos elementos iguais a 1 M=Um; for i=1:n- M=[M x.^i]; end
C=inv(M)*y; % coeficientes polinomiais (inversão sem pivotamento) % C=M\y; % coeficientes polinomiais (inversão com pivotamento parcial)
4 3. I NTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Este algoritmo está implementado de forma comentada no código acima.
As fórmulas de interpolação mais comumente usadas e que não fazem uso do determinante de Vandermonde são a fórmula interpoladora das diferenças divididas de Newton e os polinômios interpoladores de Lagrange.
3.1 Tabela de diferenças de Newton
Partindo do conceito de derivada:
0 0
0 0 0
( ) lim x x x x
df f x f x f x dx (^) x x
a aproximação (^00) 0
[ , ]
f x f x f x x x x
para x x 0 é chamada de primeira diferença dividida
ou diferença dividida de ordem 1 com relação a x e x 0.
Aplicando o teorema do valor médio diferencial : ( ) ( ) ( ) f b f a f b a
^
para f ( x ) C^1 [ a , b ] e algum [ a , b ], então:
f x x [ , 0 ] f ( ) para algum [ x , x 0 ],
ou seja, f [ x , x 0 ] está relacionada com a derivada primeira de f ( x ).
Considerando o problema da interpolação linear passando pelos pontos { x 0 , f ( x 0 )} e { x 1 , f ( x 1 )}, temos:
f ( ) x p 1 (^) ( ) x a 0 (^) a 1 (^) ( x x 0 )
como f ( x 0 (^) ) p 1 (^) ( x 0 (^) ) a 0 (^) f ( x 0 )
f ( x 1 (^) ) p 1 (^) ( x 1 (^) ) f ( x 1 (^) ) f ( x 0 (^) ) a 1 (^) ( x 1 (^) x 0 )
e (^1 1 01 ) 1 0
[ , ]
f x f x a f x x x x
, ou seja, p 1 (^) ( ) x f ( x 0 (^) ) f x [ 1 (^) , x 0 (^) ] ( x x 0 ).
Usando a definição de erro (ou resíduo) da aproximação:
f ( ) x p 1 (^) ( ) x R 1 ( ) x
e sabendo que R 1 ( x ) deve se anular em x 0 e x 1 :
R 1 (^) ( ) x g x ( ) ( x x 1 (^) )( x x 0 )
ou ainda (^1 0 1 0 0 00 1 0 ) 0
( ) ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) [ , ] ( )
f x f x R x f x f x f x x x x x x f x x x x x x
1 ^0 1 0 ^0 0 1 01 1
[ , ] [ , ]
( ) [ , ] [ , ] ( ) ( )( )
f x x f x x R x f x x f x x x x x x x x x x
onde (^0 1 01 ) 1
[ , ] [ , ]
[ , , ]
f x x f x x f x x x x x
3.1 TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 5
Definindo a função: Q t ( ) f t ( ) p 1 (^) ( ) t ( t x 1 (^) )( t x 0 ) g x ( )
ela se anula pelo menos em t = x 1 , t = x 0 e t = x , logo Q t ( ) deve se anular pelo menos duas
vezes no intervalo [ x , x 0 ] e Q ( ) t deve se anular pelo menos uma vez em um ponto t = [ x ,
x 0 ]:
Q ( ) f ( ) p 1 ( ) 2! g x ( ) 0
como p 1 ( ) 0 (polinômio de grau 1) temos:
( ) ( ) 2!
f g x
Agora, se mais um ponto { x 2 , f ( x 2 )} for incluído no conjunto de pontos nodais:
f ( ) x p 2 (^) ( ) x a 0 (^) a 1 (^) ( x x 0 (^) ) a 2 (^) ( x x 1 (^) )( x x 0 )
fica evidente pelo exposto acima que
a 2 = f [ x 2 , x 1 , x 0 ]
podendo também ser tomado como uma boa aproximação para R 1 ( x ) se f ( )^ x for uma função
suave (que não muda bruscamente para diferentes valores de x ). Isto mostra que as fórmulas das diferenças divididas de Newton podem ser usadas para determinar o grau apropriado do polinômio interpolador em função da qualidade desejada da aproximação.
Retomando a expressão: 2 1 0 2 0 1 0 2 1
[ , ] [ , ]
[ , , ]
f x x f x x f x x x x x
2 0 1 0 2 0 1 0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1
[ , , ]
f x f x f x f x x x x x x^ x^ f^ x^ f^ x^ x^ x^ f^ x^ f^ x f x x x x x x x x x x x
^ ^ ^ ^
1 0 2 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 0 1 0 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , , ] ( )( )( )
x x f x x x f x x x f x f x x x x x x x x x
ou ainda
1 0 2 1 0 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 2 0 1 0 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , , ] ( )( )( )
x x f x x x f x x x f x x x f x f x x x x x x x x x
1 0 ^2 1 ^2 1 ^1 0 2 1 0 2 0 1 0 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , , ] ( )( )( )
x x f x f x x x f x f x f x x x x x x x x x
2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 0 2 0 2 0
( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ , ] [ , , ]
f x f x f x f x x x x x f x x f x x f x x x x x x x
ou seja, f [ x 2 , x 1 , x 0 ] = f [ x 1 , x 2 , x 0 ] = f [ x 0 , x 2 , x 1 ] = f [ x 0 , x 1 , x 2 ] = f [ x 1 , x 0 , x 2 ] = f [ x 2 , x 0 , x 1 ], a ordem dos argumentos das fórmulas das diferenças divididas é indiferente. Das expressões acima, podemos observar também que:
2 1 0 2 1 0 2 0 2 1 1 0 1 2 0 1 0 2
( ) ( ) ( ) [ , , ] ( )( ) ( )( ) ( )( )
f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x
3.1 TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 7
A tabela das diferenças divididas de Newton é construída da seguinte maneira:
i x (^) i y (^) i 0 x 0 f [ x 0 ] f [ x 1 , x 0 ] 1 x 1 f [ x 1 ] f [ x 2 , x 1 , x 0 ] f [ x 3 , x 2 , x 1 , x 0 ] 2 x 2 f [ x 2 ] f [ x^ n ,^ x^ n -1 , ...,^ x 1 ,^ x 0 ] f [ x (^) n , x (^) n -1 , x (^) n -2, x (^) n -3 ] n 1 x (^) n -1 f [ x (^) n -1 ] f [ x (^) n , x (^) n -1 , x (^) n -2] f [ x (^) n , x (^) n -1 ] n x (^) n f [ x (^) n ]
Para um x qualquer entre x 0 e x (^) n , a interpolação polinomial de grau n é obtida através das expressões:
0 0 ^ ^ ^0 ^ ^0 ^ ^0 0
f x f x f x x f x f x x x f x x x x
, mas:
^ ^ 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1
f x x f x x f x x x f x x f x x x x f x x x x x
, mas:
^ ^ 2 1 0 1 0 2 1 1 1 0 2 1 0 2 2 1 0 2
f x x x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x x x
1 1 0 2 0 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1 1 0
n n n n n n n n
f x x x f x x x f x x x x x x f x x x f x x x x x f x x x x
e, finalmente:
1 1 0 1 2 0 1 1 0
1 2 0 1 1 0 1 1 0
n n n n n n n n n n n n n n
f x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x x f x x x x x x f x x x x x
onde o último termo: (^1 1 ) 0
[ , , , , , ] ( )
n n n i i
f x x (^) x x x x x
(^) é o erro da interpolação, que pode ser
estimado com o uso de um ponto adicional { x (^) n +1 , f ( x (^) n +1 )} próximo a x.
Exemplos:
8 3. I NTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
a) A tabela abaixo contém os valores da viscosidade (em centipoise) de uma solução contendo 60% de sacarose a várias temperaturas. Construa a Tabela de Diferenças destes dados.
T ( o^ C)
(centipoise)
b) Refaça a Tabela de Diferenças adotando ln() no lugar de :
T
( o^ C)
ln() 1 2 3
10 4, -0, 20 4,037774 0, -0,051112 -0, 30 3,526655 0, -0, 40 3,
Algoritmo : Interpolação polinomial de Newton
Dados n +1 pontos { x (^) i , yi }, deseja-se interpolar a função em x = x * Para i = 0, 1, 2, ..., n , faça Ai ,0 y (^) i Para i = 1, 2, ..., n , faça Para j = 0, 1, 2, ..., n i , faça
1, -1 , - ,
j i j i j i i j j
A A
A
x x
p 1 y *^ A 0, Para i = 1, 2, ..., n , faça p ( x * x (^) i- 1 ) p y *^ y *^ + p A 0, i
i x (^) i y (^) i 1 2 n -2 n -1 n 0 x 0 A 0,0 A 0,1 A 0,2 A 0, n- 2 A 0, n- 1 A 0, n 1 x 1 A 1,0 A 1,1 A 1,2 A 1, n- 2 A 1, n- 1 2 x 2 A 2,0 A 2,1 A 2,2 A 2, n- 2 3 x 3 A 3,0 A 3,1 A 3,2 n 2 x (^) n -2 An -2,0 An -2,1 An -2, n 1 x^ n -1 An -1,0 An -1, n x (^) n An , 0
10 3. I NTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
1 1 0 1 1 1 0
n n n n n n j j
P (^) x a (^) x x x x x x (^) x x a (^) x x
(^)
e chamando de 0
n i j j j i
q x x x
(^) o numerador de i (^) ( ) x , i = 0, 1, 2, ..., n , resulta que:
i i i i
q x x q x
e 1 1
n i ( )^ n i
P x a q x x x
^ ^
Aplicando o limite para x x (^) i na segunda expressão: (^11)
lim ( ) i
n x x n^ i i
P x P x x x
, temos:
an (^) 1 qi ( xi ) Pn 1 ( xi ) e 1 1
n i i n i
P x x x x P x
, i = 0, 1, 2, ..., n.
Sabendo que f ( x ) = pn ( x ) + Rn ( x ) e que Rn ( x ) deve se anular em x (^) i , i = 0, 1, 2, ..., n , então Rn ( x ) = Pn+ 1 ( x ) G ( x ), que procedendo de maneira análoga à seção anterior, a função:
Q t ( ) f t ( ) pn ( ) t Pn (^) 1 ( ) t G x ( )
deve se anular em t = x (^) i , i = 0, 1, 2, ..., n e em t = x , ou seja, em no mínimo n + 2 vezes dentro do intervalo [ x 0 , x (^) n ]. Portanto, Q ( n +1)( t ) deve se anular em pelo menos um ponto neste intervalo, t = :
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) n n n n Q f pn Pn G x (^)
como p ( n^ n 1)^ ( ) 0 (polinômio de grau n ) e Pn ( ^ n 1 1)( ) an (^) 1 ( n 1)!, temos:
( 1)
1
n
n
f G x a n
e
( 1)
0
n (^) n n i i
f R x x x n
^
com [ x 0 , x (^) n ].
Exemplo: obter o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 para os seguintes dados:
i x (^) i y (^) i = f ( x (^) i ) 0 0 - 1 1 1 2 3 25
2 1 2 0 0 1 0 2
x x x x x x x x x x x x x
2 0 2 1 1 0 1 2
x x x x x x x x x x x x x
2 0 1 2 2 0 2 1
x x x x x x x x x x x x x
3.3 ANÁLISE DE ERROS 11
2 2 2 0 1 2 0
( ) (^) i ( ) ( (^) i ) 5 ( ) ( ) 25 ( ) 2 4 5 i
p x x f x x x x x x
(^)
Comparando com as diferenças divididas de Newton, a interpolação de Lagrange tem como desvantagens a sua dificuldade em obter uma estimativa do erro e a necessidade de reconstruir todos os interpoladores de Lagrange com a adição de novos pontos. Ou seja, não é um método adequado quando o grau do polinômio não é conhecido a priori. Além disto, demanda uma quantidade maior de cálculos quando várias interpolações precisam ser obtidas com o mesmo conjunto de pontos nodais. Uma maneira de construir os polinômios de Lagrange de maneira recursiva para a inclusão gradual de novos pontos até uma precisão desejada é através do uso do método de Neville (não abordado aqui, mas pode ser encontrado em Burden e Faires, 2003).
Algoritmo : Interpolação polinomial de Lagrange
Dados n +1 pontos { x (^) i , yi }, deseja-se interpolar a função em x = x * Para i = 0, 1, 2, ..., n , faça pi 1 Para j = 0, 1, 2, ..., n , faça
Se i j :
j i i i j
x x p p x x
y *^ 0 Para i = 0, 1, 2, ..., n , faça y *^ y *^ + pi y (^) i
Ao final do algoritmo y *^ contém o valor interpolado de f ( x ) em x = x *^.
3.3 Análise de erros
Ao aproximarmos uma função f ( x ) pelo polinômio de Taylor de grau n , vimos que o erro de truncamento da aproximação é dado por:
( 1) 1 0
[ ( )]
n n n
f x R x x x n
, com [ x 0 , x ].
Contudo, como o valor de f (^ n 1)^ [ ( )] x não pode, geralmente, ser calculado por não
conhecermos a função ( x ), podemos apenas estabelecer um limite superior para o erro da
aproximação, tomando o valor máximo de | f (^ n 1)^ ( ) | x no intervalo [ a , b ].
No caso da interpolação polinomial, vimos que o erro da aproximação é dado por:
( 1)
0
[ ( )]
n n n i i
f x R x x x n
^
com [ x 0 , x (^) n ]
3.3 ANÁLISE DE ERROS 13
Interpolação Comparação da Função Real com a Interpolada
Erro da Interpolação (^12)
1
2 n
R x dx
Interpolação Polinomial de Segundo Grau com Pontos Igualmente Espaçados 01 0 1
1 1
Y (^) k Z (^) k
1 z (^) k 1
(^11 0 )
Interpolação Polinomial de Terceiro Grau com Pontos Igualmente Espaçados 01 0 1
1 1
Y (^) k Z (^) k
1 z (^) k 1
1 0 1
0
Interpolação Polinomial de Décimo Grau com Pontos Igualmente Espaçados 1 0 1
1
0
1
1.846^2
0.
Y (^) k Z (^) k
1 z (^) k 1
(^21 0 )
1
0
Interpolação Polinomial de Décimo Grau como Pontos as Raízes do 11 o^ Polinômio de Chebyshev
0.5 1 0 1
0
1 1
5.327 10 ^3
Y (^) k Z (^) k
1 z (^) k 1 11 0 1
0
Neste exemplo foram usados pontos igualmente espaçados para construir os polinômios interpoladores. Porém, é possível determinar os pontos nodais que geram um polinômio interpolador com o menor resíduo possível entre polinômios de mesmo grau. Para determinar estes pontos nodais ótimos, partimos da expressão do erro:
( 1) ( 1) 1 0
[ ( )] [ ( )]
n (^) n n n i n i
f x f x R x x x P x n n
onde Pn +1 ( x ) é o polinômio nodal com an +1 = 1. Reescrevendo Pn +1 ( x ) na forma:
1 1 0
n n i n i i
P (^) x x c x
(^)
os n +1 coeficientes c (^) i podem ser determinados de maneira a minimizar o MSE:
0 ,^1 ,...,
arg min ( ) c c c n c MSE c
sendo
(^1 1) ( 1)^2 2 1 0 0 0
[ ( ; )]
n (^) n n i n i i
f x c MSE R x dx x c x dx n
(^) c c
Aplicando o teorema do valor médio da integral:
14 3. I NTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
( 1)^2 1 0 0
[ ( )]
n (^) n n i i i
f MSE x c x dx n
^ ^
c c
Como o mínimo do MSE ( c ) ocorre quando c (^) MSE 0 , temos:
( 1) ( 1) 1 ( 1)^21 2 2 1 1 0 0
( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )]
[( 1)!] ( 1)!
n n n k n n k k
MSE f df f P x dx x P x dx c n d c n
^
^
c c c c ,
k = 0, 1, ..., n
Se considerarmos independente de c [válido quando f ( n +1)( x ) for constante], então,
1 1 0
x Pk n^ ^ ( ) x dx^ ^0 ,^ k^ = 0, 1, 2, ...,^ n
O que permite concluir que Pn +1 ( x ) é um polinômio ortogonal no intervalo [0, 1] em relação à função peso w ( x ) = 1. O polinômio que satisfaz essa condição de ortogonalidade é o polinômio de Jacobi, Pn (^ 1 , ) ( ) x , com = 0 e = 0. Portanto, uma boa aproximação para os
pontos nodais que minimizam o MSE são as raízes do polinômio de Jacobi Pn (0,0) 1 ( ) x. Se o
intervalo utilizado fosse [-1, 1], então teríamos o polinômio de Legendre.
3.4 Critério de minimização do erro máximo
Até o momento utilizamos as condições: f ( x (^) i ) = pn ( x (^) i ) , i = 0, 1, 2, ..., n
para determinarmos os coeficientes de pn ( x ). Outro critério que pode ser utilizado é a minimização do erro absoluto máximo da aproximação nos pontos dados:
0 ,^1 ,^ ,
min max ( ) ( ) c c c n i i^ n^ i f x p x
ou para o caso de f ( x ) ser conhecida:
0 ,^1 ,^ ,
min max ( ) ( ) c c c n (^) a x b n f x p x
Este critério é conhecido como princípio minimax de Chebyshev e o polinômio obtido é chamado de polinômio ótimo ou minimax.
Normalizando z [ a , b ] para o intervalo [-1, 1]: 2 z b a x b a
é possível observar que os monômios 1, x , x^2 , ..., x n^ de 0
n i n i i
p x c x
(^) possuem magnitude
máxima em x = 1 e mínima em x = 0, não havendo uma distribuição uniforme dos erros. Logo, se for possível encontrar um polinômio que distribua os erros de forma mais uniforme, a minimização do erro máximo resultará na melhor aproximação possível. Os polinômios que apresentam esta propriedade são os polinômios de Chebyshev:
16 3. I NTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Estes polinômios originaram das funções trigonométricas cos(), cos(2), cos(3), ..., cos( n ) que distribuem seus máximos e mínimos de maneira uniforme no intervalo [0, ]. Ao aplicar a mudança de variável:
x = cos() x [-1, 1]
e a propriedade: cos( n ) = 2 cos() cos[( n– 1)] – cos[( n– 2)], resulta nos polinômios de Chebyshev.
Pela condição de ortogonalidade, os coeficientes da aproximação:
0
n i i i
f x a T x
(^)
podem ser determinados por:
1 (^0 ) 1
f x a dx x
^
e
1
1 2
k k
f x T x a dx x
^
, k = 1, 2, ..., n.
Como 1 2
dx d x
, então (^0) 0
a f (cos ) d
^
e 0
ak f (cos ) cos( k ) d
^
, k = 1, 2, ..., n.
As n raízes de Tn ( x ) são reais (característica de um polinômio ortogonal), ocorrem no intervalo [-1, 1] e são dadas por:
(2 1) cos k 2
k r n
^
, k = 1, 2, ..., n.
Usando as n +1 raízes de Tn +1 ( x ) como pontos nodais da interpolação de Lagrange, a aproximação da função também pode ser realizada por:
0
n n i i i
f x p x x f x
(^) , com x (^) i = r (^) i +.
Representando os monômios x k^ por: 0
k k i i i
x a T x
(^) , é possível construir a tabela:
Potências de x em função dos polinômios de Chebyshev:
1 = T 0 ( x ) x = T 1 ( x ) x^2 = [ T 2 ( x )+ T 0 ( x )]/ x^3 = [ T 3 ( x )+3 T 1 ( x )]/ x^4 = [ T 4 ( x )+4 T 2 ( x )+3 T 0 ( x )]/ x^5 = [ T 5 ( x )+5 T 3 ( x )+10 T 1 ( x )]/ x^6 = [ T 6 ( x )+6 T 4 ( x )+15 T 2 ( x )+10 T 0 ( x )]/ x^7 = [ T 7 ( x )+7 T 5 ( x )+21 T 3 ( x )+35 T 1 ( x )]/ x^8 = [ T 8 ( x )+8 T 6 ( x )+28 T 4 ( x )+56 T 2 ( x )+35 T 0 ( x )]/ x^9 = [ T 9 ( x )+9 T 7 ( x )+36 T 5 ( x )+84 T 3 ( x )+126 T 1 ( x )]/
3.5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES 17
que tem utilidade na telescopagem de séries.
Normalizando os polinômios de Chebyshev de tal forma que o coeficiente de maior grau seja igual 1, obtém-se os polinômios de Chebyshev mônicos :
1
n n (^) n
T x T x
Que possui a propriedade de um polinômio miminax:
(^1) [ 1,1] [ 1,1]
max ( ) max ( ) ( ) 2 n^ x^ n^ x n^ n T^ x^ P^ x^ P^ x
E se [ 1,1] [ 1,1]
max (^) n ( ) max (^) n ( ) x x
P x T x
, então Pn ( ) x Tn ( ) x.
3.5 Telescopagem de séries
A telescopagem de séries de potências ou economia de Chebyshev consiste em expressar os monômios da série em termos dos polinômios de Chebyshev, coletar os coeficientes de cada polinômio Ti ( x ) e truncar a série nos monômios de Chebyshev de alta ordem sabendo que seu coeficiente representa o erro máximo da aproximação, pois | Ti ( x )| 1. A série truncada pode então ser re-expressa em termos dos monômios de x. Este procedimento é equivalente a fazer sucessivas reduções de grau do polinômio até a precisão desejada usando o polinômio Chebyshev mônico:
pn (^) 1 ( ) x pn ( ) x a Tn n ( ) x , com ( ) 1 ( ) ( ) (^1) 2
n n n n n (^) n
a p x p (^) x a T x
onde an é o coeficiente de x (^) n de pn ( x ).
Exemplo: reduzir o grau do seguinte polinômio que aproxima a função f ( x ) = e x :
2 3 4 4 ( )^1 2 6 p x x x^ x^ x e^ x x [-1, 1]
Mantendo um erro máximo inferior a 0,05.
O erro da aproximação por p 4 ( x ) é:
(5) 5 4
f x R x
e R x
Reduzindo o grau da aproximação para p 3 ( x ):
Caso 1) Sem telescopagem:
2 3 3 ( )^1 2
x x p x x , temos:
(4) 4 3
f x R x
e R x , que está acima de 0,05.
Caso 2) Com telescopagem:
- 3.5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES
20 3. I NTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
