Produto Interno de Vetores e Autovalores, Notas de estudo de Matemática

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Álgebra Linear II

Licio H. Bezerra

Fermín S. V. Bazán

Florianópolis, 2008

Coordenação Pedagógica das Licenciaturas à Distância UFSC/CED/CFM

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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica

B574a

Bezerra, Licio Hernanes Álgebra Linear II / Licio Hernanes Bezerra, Fermín S. Viloche

Bazán. - Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2005.

91p. ISBN 978-85-99379-54-

1.Álgebra linear I. Bazán, Fermín S. Viloche. II. Título.

CDU 681.31:

Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/

Sumário

• 1 Produto Interno
  • 1.1 Definição e exemplos
  • 1.2 Norma definida a partir de um produto interno
  • 1.3 Ângulo entre vetores
  • 1.4 Ortogonalidade
    • 1.4.1 Método de Gram-Schmidt
      • um subespaço vetorial 1.5 Projeção ortogonal de um vetor sobre
  • 1.6 Matrizes ortogonais
  • 1.7 Reflexões de Householder
  • 1.8 Matriz de um produto interno em relação a uma base.........
• 2 Autovalores e Autovetores de um Operador Linear
  • 2.1 Autovalores e autovetores
  • 2.2 Polinômio característico e Polinômio minimal
  • 2.3 Operadores diagonalizáveis
  • 2.4 Matrizes hermitianas.................................................................
  • 2.5 Transformações unitárias e forma canônica de Schur
• 3 Formas Multilineares
  • 3.1 Formas bilineares - quadrática associada 3.1.1 Forma bilinear simétrica: forma
  • 3.2 Diagonalização de formas quadráticas
  • 3.3 A função determinante

Apresentação

Caro aluno,

A Álgebra Linear desenvolve-se dentro de espaços vetoriais, os quais

são estruturas muito simples, que contêm apenas soma e produto por

escalar, e é impressionante como a teoria desenvolve-se com tão pou-

co. É instigante descobrir como problemas associados ao cotidiano das

pessoas são descritos elegantemente pela Álgebra Linear. Problemas

como distribuição de energia elétrica, ou de logística para instalação

de telefones em grandes cidades, envolvem resolução de sistemas line-

ares cujas matrizes são enormes; problemas de compressão de dados,

derivados tanto de áudio como de imagem, têm o cálculo de autova-

lores como ferramenta básica para sua resolução. A substituição do

analógico pelo digital embute a real substituição da realidade físico-

química pela simulação matemática.

Pode-se perguntar por que um licenciado aprende Álgebra Linear se

ele pretende principalmente atuar em escolas de ensino fundamental

e médio. Respondemos a essa questão assim: com a Álgebra Linear,

você, licenciando, deixa as portas abertas para o futuro do conheci-

mento tecnológico, ao mesmo tempo em que solidifica seu conheci-

mento do presente para atender às demandas dos vários alunos que

lhe encontram, que estão a cada dia mais imersos nesse mundo veloz.

Cremos ser possível viver em um mundo natural, com florestas, ani-

mais e pessoas tentando viver em harmonia, lendo livros (estes nun-

ca serão substituídos por imagens digitais, assim como cinema não

é incompatível com teatro), com tempo para o ócio e o prazer, com a

Álgebra Linear resolvendo problemas de poluição ambiental, logística

de policulturas agrícolas etc.

A disciplina Álgebra Linear II é a continuação natural da disciplina

Álgebra Linear I, que lhe introduziu na teoria de matrizes e no de-

senvolvimento da estrutura algébrica dos espaços vetoriais sobre um

corpo. Desta vez, munimos os espaços vetoriais de um produto in-

terno para que se configure neles uma geometria e possamos, dessa

maneira, falar de ângulo entre vetores, de tamanho de vetor etc. Na

seqüência, apresentamos mais um problema que a Álgebra Linear ti-

picamente estuda: o problema dos autovalores de operadores lineares.

Finalmente, definimos a noção de formas multilineares para formali-

zar rigorosamente o estudo de determinantes.

Dividimos, assim, este livro em três Capítulos: produto interno, auto-

valores e formas multilineares. Esperamos que você utilize este livro

como um mapa para descobrir um pouco da Álgebra Linear.

Licio H. Bezerra

Fermín S. V. Bazán

Produto Interno

Neste capítulo, iremos munir um espaço vetorial, que é

uma estrutura puramente algébrica, de uma geometria,

que nos permite falar de ângulo entre vetores, projetar um

vetor ortogonalmente sobre outro, comparar vetores por

tamanho etc.

1.1 Definição e exemplos

Quando estudamos vetores no espaço, em Geometria Analítica,

somos apresentados ao produto interno de dois vetores u e v ,

denotado por u v , , o qual é definido por u v , = || u || || v || cos,

em que  é o menor ângulo entre os vetores, 0 ≤  ≤ . A partir

dessa definição, demonstram-se algumas propriedades do pro-

duto interno: simetria ( u v , = v u , ), positividade ( u u , ≥ 0 e

u u , = 0 ⇔ u = 0

) e bilinearidade ( ku + u ', v = k u v , + u ', v e

u kv , + v ' = k u v , + u v , '). Uma conseqüência dessas proprieda-

des é que, dada { i , j k , }

uma base ortonormal do espaço, se os

vetores u e v escrevem-se, nessa base, como u x i 1 y 1 (^) j z k 1

→ → → = + + e

v x 2 (^) i y 2 (^) j z k 2

→ → → = + + , temos que

u v , = x x 1 2 (^) + y y 1 2 (^) + z z 1 2.

Por conseguinte, se w x i y j z k

→ → → = + + ,

2 2 2 || w ||= x + y + z.

O conceito de produto interno é generalizado para um espaço ve-

torial qualquer de um modo usual em Matemática: a partir da

abstração de algumas propriedades de um modelo (no caso, o

produto interno de vetores do espaço euclidiano).

Definição: Seja V um espaço vetorial real. Se , : V × V → ℜ é

uma função tal que

1. (^) ( ∀ ∈ v V ) v v , ≥ 0 e v v , = 0 ⇔ v = 0 ;

2. ( ∀ v w , ∈ V ) v w , = w v , ;

Exemplo 3: Sejam 1 2 u = ( u , u )e 1 2 v = ( v , v )dois vetores do

2 ℜ. Seja

u v , = u v 1 2 (^) + u v 2 1. Afirmamos que essa função não é um produto

interno em

2 ℜ , pois, apesar de satisfazer os itens ii e iii da defi-

nição, a função não é positiva. Como contra-exemplo, tomemos o

vetor u = (1, −1) : u u , = 1.( 1)− + −( 1).1 = − 2 < 0.

Exemplo 4: Seja V = C a b [ , ] o espaço vetorial das funções reais

contínuas em [ , a b ] , a < b. Sejam f e g duas funções de V. Va-

mos definir a seguinte função de V × V em ℜ :

b

a

f g = f x g x dx ∫

Note que, como f e g são funções contínuas em [ , a b ], o seu

produto também é contínuo em [ , a b ] e, logo, integrável nesse in-

tervalo. Verificamos, facilmente, que as propriedades (ii) e (iii) são

satisfeitas por essa função. Para mostrar que (i) é verdadeira, pre-

cisamos de um pouco de Análise. A primeira parte de (i) é satis-

feita porque, para toda função contínua f ,

2 ( ( )) ( )

b

a

f x dx ≥ m b − a ∫

em que m é o valor mínimo de

2 f no intervalo [ , a b ]. Para mos-

trar que f , f = 0 ⇒ f = 0 (a recíproca é óbvia), vamos supor

que f ≠ 0. Assim, como f é contínua, existe um intervalo [ , c d ],

c < d , contido em [ , a b ] , tal que f ( ) x ≠ 0 para todo x ∈ [ , c d ].

Logo,

2 f ( ) x > 0 para todo x ∈[ , c d ]e, como

2 f também é contí-

nua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existem m M , > 0 tais

que

2 m ≤ f ( ) x ≤ M para todo x ∈ [ , c d ]. Assim,

2 2 2 2 2 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) (

b c d b d

a a c d c

f x dx = f x dx + f x dx + f x dx ≥ f x dx ≥ m ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2 2 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) 0

b c d b d

a a c d c

f x dx = f x dx + f x dx + f x dx ≥ f x dx ≥ m d − c > ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ou seja, f , f ≠ 0. Esse produto interno é chamado de produto

interno usual em C a b [ , ].

Exercício 1: Verifique se as seguintes funções definidas em

2 ℜ

são produto interno ou não.

a) u v , = u v 1 1 (^) + u v 2 1 (^) + u v 1 2 (^) + u v 2 2 ;

b) u v , = u v 1 1 (^) − u v 2 1 (^) − u v 1 2 (^) + 4 u v 2 2 ;

1 1 2 1 2 2 c) u v , = u v + u v + 4 u v ;

u v , = u v 1 2 (^) − u v 2 1 d) ;

1 1 2 1 1 2 2 2

m u v u v u v u v u v m

e) = + + + , em que (^) m é um inteiro

positivo;

1 1 2 1 1 2 2 2

m u v u v u v u v u v m

f) (^) = − − + , em que m é um inteiro

positivo;

g) u v , = 2 u v 1 1 (^) + 4 u v 2 2 ;

h) u v , = 2 u v 1 1.

1.2 Norma definida a partir de um

produto interno

No produto interno definido no espaço euclidiano, vimos que a

norma de um vetor u satisfaz à equação u = u u ,. Na genera-

lização do conceito de produto interno, definiremos norma, dado

um produto interno, utilizando essa equação.

Definição: Seja V um espaço vetorial real. Seja , : V × V → ℜ

um produto interno. A norma induzida por esse produto interno

é definida pela equação seguinte:

u = u u ,

Exemplo 5: Seja

2 V = ℜ. Considere o produto inter-

no entre dois vetores u = ( u 1 (^) , u 2 ) e v = ( v 1 (^) , v 2 ) definido por

u v , = u v 1 1 (^) + u v 2 1 (^) + u v 1 2 (^) + 4 u v 2 2. A norma induzida por esse produ-

to interno é

2 2 u = u 1 (^) + 2 u u 1 (^) 2 + 4 u 2.

Exemplo 6 : Seja V = C a b [ , ]o espaço das funções reais contínu-

as em [ , a b ] , a < b. Considere o produto interno usual de duas

funções de V , f e g (que é dado por , ( ) ( )

b

a

f g = f x g x dx ∫

). A

norma induzida por esse produto interno é

2 ( ( ))

b

a

f = f x dx ∫

Note que, por Cauchy-Schwarz, essa definição faz sentido, uma

vez que

, 1 1

u v

u v

1.4 Ortogonalidade

A definição de ângulo entre vetores permite-nos falar em con-

juntos de vetores ortogonais, em que o ângulo entre cada dois

vetores é igual a  2.

Definição: Seja V um espaço vetorial real munido de um produ-

to interno , : V × V → ℜ. Sejam v 1 (^) ,..., vn vetores de V. Dizemos

que v 1 (^) ,..., vn são ortogonais se, para todos i e j tais que i ≠ j ,

vi , v (^) j = 0.

É importante notar que a ortogonalidade depende do produto in-

terno: dois vetores não-nulos podem ser ortogonais em relação a

um produto interno, mas o ângulo entre eles pode ser diferente

de  2 em relação a outro produto interno. Uma observação in-

teressante é que o vetor nulo é o único vetor ortogonal a todos os

vetores de um espaço vetorial com produto interno. Um resultado

interessante é o seguinte:

Proposição: Sejam v 1 (^) ,..., vn vetores não-nulos de V , um espaço

vetorial real munido de um produto interno , : V × V → ℜ. Se

v 1 (^) ,..., vn são ortogonais (em relação a esse produto interno) então

são linearmente independentes.

Prova: Suponha que existam 1

n a a ∈ℜ tais

que a v 1 1 (^) +  + a vn n = 0. Logo, para todo índice i ,

a v 1 1 (^) +  + a vn n , vi = 0, vi = 0. No entanto,

2 a v 1 1 (^) + + a vn n , vi = a 1 (^) v 1 , vi + ... + an vn , vi = ai vi , vi = ai vi

pois os vetores são ortogonais dois a dois. Assim, como os veto-

res são não-nulos, para todo índice i , ai = 0 , isto é, escreve-se o

vetor zero de uma única maneira como combinação linear dos ve-

tores v 1 (^) ,..., vn , que é a combinação trivial. Dessa maneira, v 1 (^) ,..., vn

são linearmente independentes.

Corolário (Teorema de Pitágoras Generalizado) : Sejam u e v

dois vetores ortogonais em um espaço vetorial real V munido de

um produto interno. Assim:

2 2 2 u + v = u + v.

Prova: É deixada para você, leitor, como exercício.

Em geral, falamos em conjunto ortogonal de vetores para dizer

que os vetores do conjunto são ortogonais. Por exemplo: dizemos

que uma base de um espaço vetorial é ortogonal, significando que

os vetores da base são ortogonais. Uma pergunta que emerge na-

turalmente é se sempre existem bases ortogonais para qualquer

espaço vetorial real. Vamos responder a essa pergunta feita no

caso do espaço ser finitamente gerado de uma forma concreta:

vamos construir uma base ortogonal a partir de uma base qual-

quer. Um método prático para isso é o método de Gram-Schmidt ,

descrito a seguir.

1.4.1 Método de Gram-Schmidt

Sejam v 1 (^) ,..., vn de V , um espaço vetorial real munido de um

produto interno , : V × V → ℜ. Vamos definir, a partir des-

ses vetores, um conjunto ortogonal de vetores w 1 (^) ,..., wn tais que

[ v 1 (^) ,..., vn ] = [ w 1 ,..., wn ].

i) w 1 (^) = v 1

2 1 2 2 2 1 1

v , w w v w w

ii) = −

3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 1 2

v , w v , w w v w w w w

iii) = − −

n)

1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1

n ,^ n ,^ n , n n n n n

v w v w v w w v w w w w w w

− − −

Note que, para todo i , wi ≠ 0 , pois os vetores v 1 (^) ,..., vn são linear-

mente independentes. A prova de que esses vetores são ortogo-

nais é feita por indução:

2 a)^ V^ = ℜ , munido do produto interno usual, v 1 (^) = (1,1),

v 2 (^) = (1, 2);

3 b)^ V^ = ℜ , munido do produto interno usual, v 1 (^) = (1,1,1),

2 v = (1, 2,1), 3 v = (1, 2, 2);

4 c) V = ℜ , munido do produto interno usual, v 1 (^) = (1,1,1,1),

v 2 (^) = (1, 0, 0,1), v 3 (^) = (1, 2, 0, 2), v 4 (^) = (3, 2, 0, 2);

d) V = C [ 1,1]− , munido do produto interno usual, f 1 (^) ( ) x = 1 ,

f (^) 2 ( ) x = x ,

2 f (^) 3 ( ) x = x.

A seguir, apresentamos algumas definições.

Definição: Seja V um espaço vetorial real munido de um pro-

duto interno , : V × V → ℜ. Seja W um subespaço vetorial de V.

Seja v um vetor de V tal que v ∉ W. Dizemos que v é ortogonal

a W se v é ortogonal a todo vetor de W.

Exercício 3: Sejam v 1 (^) ,..., vn vetores de V , um espaço vetorial real

munido de um produto interno , : V × V → ℜ. Seja 1

[ ,..., ]

n W = v v.

Seja v um vetor de V tal que v ∉ W. Mostre que v é ortogonal a

W se, e somente se, para todo i , v é ortogonal a vi.

Definição: Seja V um espaço vetorial real munido de um produ-

to interno , : V × V → ℜ. Sejam W 1 e W 2 subespaços vetoriais de

V. Dizemos que W 1 é ortogonal a W 2 se, para todo vetor w 1 de

W 1 e todo vetor w 2 de W 2 , w 1 (^) , w 2 = 0. Se, além disso, W 1 (^) + W 2 = V ,

então dizemos que W 2 é o complemento ortogonal de W 1 e

denotamo-lo por 1

W

⊥

. Observe que, como 1 W é ortogonal a 2

W ,

W 1 (^) ∩ W 2 = {0}e, logo, W 1 (^) ⊕ W 2 = V.

Definição: Dizemos que um conjunto de vetores é ortonormal

se os vetores do conjunto são ortogonais (dois a dois) e unitários

(isto é, de norma igual a 1).

Exercício 4: Transforme as bases encontradas nos exercícios ante-

riores em bases ortonormais.

1.5 Projeção ortogonal de um vetor

sobre um subespaço vetorial

Definição: Seja V um espaço vetorial real não-nulo munido de

um produto interno. Seja W um subespaço vetorial de V , W ≠ V.

Seja v ∈ V. Um vetor w ∈ W é dito uma projeção ortogonal de v

sobre W se ( v − w )for ortogonal a todo vetor de W.

Proposição: Se existe uma projeção ortogonal de v sobre W ,

então ela é única.

Prova: Sejam w e w dois vetores de W tais que ( v − w ) e

( v − w ) são ortogonais a todo vetor de W. Em particular, como

( w − w ) ∈ W , 0 = v − w w , − w = v − w w , − w. Desenvolven-

do os cálculos, concluímos que w w , − w = w w , − w e, logo,

w − w w , − w = 0. Ou seja, w = w.

Vamos mostrar que, se W é um subespaço de dimensão finita de

um espaço vetorial real V com produto interno, então a projeção

ortogonal de qualquer vetor de V sobre W existe e, logo, é única.

Seja { v 1 ,..., vn }uma base de um subespaço W de um espaço veto-

rial real V , com produto interno ,. Seja v ∈ V. A projeção orto-

gonal de v sobre [ v 1 ,..., vn ]é um vetor v ∈ [ v 1 ,..., vn ]tal que v − v

é ortogonal a [ v 1 ,..., vn ]. Vamos mostrar que esse vetor v existe.

Para isso, seja 1

n w w uma base ortonormal de 1

[ ,..., ]

n v v , ob-

tida a partir do método de Gram-Schmidt. Procuramos por um

vetor v = a w 1 1 (^) +  + a wn n tal que v − v seja ortogonal a [ w 1 ,..., wn ],

que é igual a [ v 1 ,..., vn ], isto é, tal que v − v seja ortogonal a todo

vetor da base { w 1 ,..., wn }. Assim, para todo i , temos:

0 = v − v w , (^) i = v − a w 1 1 +  a wn n , wi = v w , (^) i − ai wi , wi = v w , i − ai

ou seja, ai = v w , i. Assim, a projeção ortogonal de v sobre

[ v 1 ,..., vn ]existe e é o vetor

v = v w , 1 (^) w 1 +  + v w , (^) n wn.

o

v

v

Figura 1.1 - Projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço.