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Este documento, apresentado pelo professor francisco medeiros, aborda os conceitos de polinômio característico e autovalores em álgebra linear, incluindo a obtenção da matriz de t em relação a uma base b de u e a relação entre autovalores e autovetores. Além disso, é apresentado um exemplo de cálculo do polinômio característico e dos autovalores.
Tipologia: Notas de estudo
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Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
Introdu¸c˜ao `a ´Algebra Linear
Francisco Medeiros
homepage: http://docente.ifrn.edu.br/franciscomedeiros
e-mail: [email protected]
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
Motiva¸c˜ao
Defini¸c˜ao e Exemplos
Exerc´ıcios
Polinˆomio Caracter´stico
Exerc´ıcios
Conclus˜ao do Trabalho - Operadores Diagonaliz´aveis
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
I (^) Operadores lineares em espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
I (^) Operadores lineares em espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita
Sejam U um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T : U → U um
operador linear. Vimos:
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
I (^) Operadores lineares em espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita
Sejam U um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T : U → U um
operador linear. Vimos:
I (^) como obter a matriz de T com rela¸c˜ao a uma determinada
base B de U;
I (^) que a matriz [T ] B ´e muito usada quando queremos fazer
c´alculos envolvendo T ;
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
I (^) Operadores lineares em espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita
Sejam U um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e T : U → U um
operador linear. Vimos:
I (^) como obter a matriz de T com rela¸c˜ao a uma determinada
base B de U;
I (^) que a matriz [T ] B ´e muito usada quando queremos fazer
c´alculos envolvendo T ;
I (^) que a matriz [T ] muda quando mudamos a base.
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
I (^) Procurar uma forma para a matriz de T de modo que facilite
bastante os c´alculos envolvendo T.
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
I (^) Procurar uma forma para a matriz de T de modo que facilite
bastante os c´alculos envolvendo T.
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
Pela natureza da opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes, a forma
mais simples que uma matriz poderia ter para facilitar tais
c´alculos, seria a forma diagonal:
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
Pela natureza da opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes, a forma
mais simples que uma matriz poderia ter para facilitar tais
c´alculos, seria a forma diagonal:
λ 1
0 λ 2 · · · 0
0 0 · · · λ n
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
Suponhamos no entanto que, para um certo T , exista uma base
′ = {v 1 , v 2 ,... , v n } para U tal que [T ] B ′ seja a matriz diagonal:
λ 1 0 · · · 0
0 λ 2
0 0 · · · λn
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
Suponhamos no entanto que, para um certo T , exista uma base
′ = {v 1 , v 2 ,... , v n } para U tal que [T ] B ′ seja a matriz diagonal:
λ 1
0 λ 2 · · · 0
0 0 · · · λ n
Como se comportam os vetores dessa base em rela¸c˜ao ao operador
linear T?
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
Sendo v 1 = (1, 0 , 2), v 2 = (1, 1 , 5) e v 3 = (1, 1 , 1), temos que
B = {v 1 , v 2 , v 3 } ´e uma base para o R
3 ; consideremos o operador
linear T : R
3 → R
3 cuja matriz em rela¸c˜ao `a base canˆonica ´e
[T ]can =
Defini¸c˜ao e Exemplos Polinˆomio Caracter´stico
Sendo v 1 = (1, 0 , 2), v 2 = (1, 1 , 5) e v 3 = (1, 1 , 1), temos que
B = {v 1 , v 2 , v 3 } ´e uma base para o R
3 ; consideremos o operador
linear T : R
3 → R
3 cuja matriz em rela¸c˜ao `a base canˆonica ´e
can
Vamos determinar a matriz de T em rela¸c˜ao `a base B.
Trabalhando com a base canˆonica temos:
