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Notas sobre Álgebra
5. ORTOGONALIDADE
5.1 [RECORDAR] Produto interno e comprimento e ortogonalidade
Chama-se produto interno no espaço vetorial uma função em que a todo par de vetores associa um número real, indicado por ou , tal que os seguintes axiomas sejam verificados: axioma de simetria axioma de aditividade para todo real axioma de homogeneidade e se, e somente se, axioma de positividade
O número real é chamado produto interno dos vetores e. As seguintes propriedades são decorrentes destes quatro axiomas: ,
Exemplo 1: No espaço vetorial , a função que associa a cada par de vetores e o número real é um produto interno.
Verifiquemos:
- Se , então:
- e se, e somente se, , isto é, se
Este produto interno observado no exemplo é diferente do produto interno usual no. Este seria definido por:. Se e são vetores quaisquer do , o número real define o produto interno usual no.
Exemplos 2 e 3:
- Em relação ao produto interno usual do , calcule sendo dados: a) e
b) e
c) e
- Calcule novamente em relação ao produto interno apresentado no exemplo 1 ( ).
Dado um vetor de um espaço vetorial , chama-se módulo, norma ou comprimento de o número real não-negativo, indicado por , definido por:. Observe que se for um vetor do com produto interno usual, tem-se
A distância entre dois vetores (ou pontos) e é o número real representado por e definido por:. Sendo e vetores do com produto interno usual, tem-se: ou
Se , o vetor é dito vetor unitário e diz-se que está normalizado. Todo vetor
não-nulo pode ser normalizado, fazendo:.
Exemplo 4: Considere o espaço com produto interno , sendo e. Dado o vetor , em relação a esse produto interno tem-se:
Normalizando :
Com relação ao produto interno usual, tem-se:
E normalizando:
Diz-se que dois vetores e de são ortogonais , e se representa por , se, e somente se,.
Exemplo 5: Seja um espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno
. Verifique que em relação a este produto interno, os vetores e são ortogonais.
Observe que o vetor é ortogonal a qualquer. Se , então para qualquer e se e , então.
5.2 Conjuntos ortogonais de vetores
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, para.
é uma base ortogonal. [Verifique]
Para ortonormalizar:
é uma base ortonormal. [Verifique]
5.4 Lista de Exercícios
- Em relação ao produto interno usual do , calcule sendo dados: a) e b) e
c) e d) e
e) e f) e
- Considere o munido do produto interno usual. Sendo , e de , determine o vetor tal que , e.
- Seja o espaço vetorial munido do produto interno . Determinar e , tais que , e e.
- Seja com o produto interno usual. Determine a componente do vetor tal que .
- Determine o valor de para que os vetores e sejam ortogonais em relação ao produto interno usual do.
- Calcule o produto interno dos vetores e segundo cada um dos seguintes produtos internos: a) b) c)
- No , sabe-se que é ortogonal em relação ao produto interno usual; ortonormalize esta base.
- Dada a base do , construa uma base ortonormal em relação ao produto interno usual de.
- Dada a base do , construa uma base ortonormal em relação ao produto interno usual de.
- Dada a base do , construa uma base ortonormal em relação ao produto interno usual de. Faça o mesmo, mas adotando como produto interno definido:
