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Notas sobre Álgebra
4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
4.1 Transformações lineares
Para dizer que
T
é uma transformação do espaço vetorial
V
no espaço vetorial
W
escreve-se
T :V →W
. Sendo
T
uma função, cada vetor
v ∈ V tem um só vetor imagem
w ∈ W , que
será indicado por w=T ( v ).
Exemplo:
Considere V =R
2
e W =R
3
. A transformação T : R
2
→ R
3
, tal que a lei que a define seja
T ( x , y )=( 3 x ,− 2 y , x− y ). Esta transformação associa vetores v=
x , y
∈ R
2
com vetores R
3
Calculemos, por exemplo,
T (−1,3 )
T ( 2,1)
e
T ( 0,0 )
T (−1,3 )=( 3 ∙ (− 1 ) ,− 2 ∙ 3,− 1 − 3 ) =(− 3 ,−6, 4 )
T ( 2,1) =( 3 ∙ 2 ,− 2 ∙ 1, 2 − 1 )=( 6 ,−2, 1 )
T ( 0,0 )=( 3 ∙ 0 ,− 2 ∙0, 0 − 0 ) =( 0, 0, 0 )
Definição. Seja V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T :V →W é chamada
transformação linear de V em W se:
I)
T ( u+ v )=T ( u) +T ( v ) ;
II) T ( αuu) =αuT ( u)
para
∀ u , v ∈ V e
∀ αu ∈ R .
Exemplo:
Verifique se T : R
2
→ R
3
, T ( x , y )=( 3 x ,− 2 y , x− y ) é linear.
I) Sejam
u= (
x
1
, y
1
) e
v= (
x
2
, y
2
) vetores genéricos de R
2
. Pela definição, verifica-se:
T ( u+v )=T
(
x
1
2
, y
1
2
)
T ( u+ v )=
(
x
1
2
)
(
y
1
2
)
(
x
1
2
)
(
y
1
2
)
T ( u+ v )=
(
3 x
1
2
,− 2 y
1
− 2 y
2
, x
1
2
− y
1
− y
2
)
T ( u+v )=
(
3 x
1
,− 2 y
1
, x
1
− y
1
)
(
3 x
2
,− 2 y
2
, x
2
− y
2
)
T ( u+ v )=T ( u) +T ( v )
II) Para todo αu ∈ R e para qualquer u= (
x
1
, y
1
)
∈ R
2
, tem-se:
T ( αuu) =T
(
αu x
1
, αu y
1
)
T ( au)= (
3 αu x
1
,− 2 αu y
1
, αu x
1
−αu y
1
)
T ( αuu) =αu
(
3 x
1
,− 2 y
1
, x
1
− y
1
)
T ( αuu) =αuT ( u)
Há uma propriedade que facilita ainda mais verificar que T não é linear:
Propriedade 1. Em toda transformação linear T :V →W , a imagem do vetor 0 ∈ V e é o
vetor
0 ∈ W
, isto é
T ( 0 )= 0
. A recíproca não é válida, ou é, se
T ( 0 )= 0
, não se pode garantir que
T
seja linear.
Uma matriz A ( m× n) sempre determina uma transformação linear T
A
:R
n
⟶ R
m
, em que a
imagem
T
A
( v )= Av é o produto da matriz A pelo vetor v ∈ R
n
considerado como uma matriz de
ordem n × 1. Uma transformação linear desse tipo é dita multiplicação por A_._ O inverso ocorre, ou
é, uma transformação linear T : R
n
⟶ R
m
sempre pode ser representada por uma matriz
m× n .
Exemplo:
Seja a matriz
A=
[
]
. Essa matriz determina uma transformação. Verifique-a.
T
A
:R
2
⟶ R
3
T
A
( v )= Av e é linear. Veja:
T
A
( u+v ) =A ( u+v ) =Au+ Av=T
A
( u) +T
A
( v ) e
T
A
( αuu)= A ( αuu)=αu ( Au) =αu T
A
( u)
Efetuando Av, em que v=
x , y
ϵ R
2
é um vetor coluna de ordem 2 × 1 , resulta:
[
]
[
x
y
]
[
x + 2 y
− 2 x + 3 y
4 y
]
e, portanto,
T
A
é definida por:
T
A
( x , y )=( x + 2 y ,− 2 x+ 3 y , 4 y )
Propriedade 2. Se T :V ⟶ W for uma transformação linear, então
T
(
a
1
v
1
2
v
2
)
=a
1
T
(
v
1
)
+a
2
T
(
v
2
)
para
∀ v
1
, v
2
∈ R
Exemplo:
Seja T : R
3
→ R
2
uma transformação linear e
B=
{
v
1
, v
2
, v
3
} uma base do R
3
, sendo
v
1
v
2
e
v
3
. Determine
T ( 5, 3,− 2 )
, sabendo que
T
(
v
1
)
T
(
v
2
)
e
T
(
v
3
)
Vamos expressar v=( 5,3,− 2 ) como combinação linear dos vetores da base:
v=a
1
v
1
+a
2
v
2
3
v
3
( 5, 3,− 2 )=a
1
( 0,1, 0 ) +a
2
( 1, 0, 1 ) + a
3
, daí segue:
{
a
2
+a
3
a
1
+a
3
a
2
sistema, cuja solução é:
a
1
a
2
e
a
3
e então:
( 5, 3,− 2 )=− 4 v
1
− 2 v
2
3
. Logo:
T ( 5, 3,− 2 ) =− 4 T
(
v
1
)
− 2 T
(
v
2
)
+ 7 T
(
v
3
)
T ( 5, 3,− 2 ) =− 4 (1,− 2 )− 2 ( 3, 1 )+ 7 ( 0, 2 )
T ( 5, 3,− 2 ) =(− 4 − 6 + 0, 8 − 2 + 14 )
T ( 5, 3,− 2 ) =(−10, 20 )
4.2 Matriz de uma transformação linear
{
2 a
12
22
a
12
22
, tal sistema tem por solução
a
12
e
a
22
T
(
v
3
)
=T ( 0, 0, 1 )=T
(
v
3
)
B
=a
13
w
1
23
w
2
T
(
v
3
)
=T ( 0, 0, 1 )=( 2 ∙ 0 − 0 +1, 3 ∙ 0 + 0 − 2 ∙ 1 ) =( 1 ,− 2 )=a
13
( 2, 1 )+a
23
{
2 a
13
23
a
13
23
, tal sistema tem por solução
a
11
e
a
21
Logo:
[ T ] B
A
[
]
b) Se v=( 3,−4, 2 ) (coordenadas em relação à base canônica do R
3
), calcule
T ( v )
B
utilizando a
matriz encontrada.
Sabe-se que [
T ( v ) ]
B
=[ T ]
B
A
[ v ]
A
. Como
v está expresso com componentes na base canônica,
isto é,
v=( 3,−4, 2 ) = 3 ( 1,0, 0 ) − 4 ( 0,1, 0 ) + 2 ( 0, 0, 1 ), teremos que, primeiramente, expressá-lo na
base A. Seja v
A
=( a ,b ,c ), isto é,
( 3,−4, 2 )=a ( 1, 1, 1 ) +b ( 0, 1, 1 )+ c ( 0, 0, 1 ) ou:
{
a= 3
a+b=− 4
a+b+c= 2
, com solução
a= 3 ,
b=− 7 e
c= 6 , ou seja,
v
A
. Portanto:
[ T ( v ) ]
B
[
]
[
]
[ T
v
]
B
[
]
O vetor coordenada de T ( v ) na base canônica é:
T ( v )= 31 ∙( 2, 1 )− 10 ∙ ( 5, 3 )
T ( v )=( 12, 1 )
4.3 Lista de Exercícios
- Verifique que se T:R → R, T ( x )= 3 x é linear
- Verifique que se T:R → R, T ( x )= 3 x + 1 não é linear. Verifique também usando a propriedade 1.
- Verifique que T: R
3
→ R
2
, com T ( x , y , z )=( 3 x +2, 2 y−z ) não é linear.
- Verifique quais das transformações a seguir são lineares:
a) T : R
2
→ R
3
, T ( x , y )=( x− y , 2 x + y , 0 ).
b) T : R
2
→ R
2
, T ( x , y )=( x+ 2, y + 3 ).
c) T : R
2
→ R
, T ( x , y )=|x|.
- Considere o operador linear T : R
3
→ R
3
definido por
T ( x , y , z )=( x + 2 y+ 2 z , x + 2 y−z ,−x + y + 4 z ).
a) Determine o vetor u ∈ R
3
tal que T ( u )=(−1, 8,− 11 ).
b) Determine o vetor v ∈ R
3
, tal que T ( v )=v.
- Sabendo que T : R
2
→ R
3
é uma transformação linear e que T ( 1,− 1 )=( 3, 2,− 2 ) e
T (−1, 2 )=(1,−2, 3 )
, determine
T ( x , y ) .
- (PROFMAT – Ceará – 2018) a) Determine uma transformação linear T : R
2
→ R
3
tal que
T ( 1, 2 )=( 3, 1, 1 ) e T ( 1, 1 )=( 1, 1, 1 ).
b) Determine uma transformação linear T : R
3
→ R
3
tal que ( 1, 2, 0 )=( 3, 1, 1 ) e T ( 1, 1,0)=(1, 1, 1 ).
- Um operador linear T : R
2
→ R
2
é tal que T ( 1, 0 ) =( 3 ,− 2 ) e T ( 0, 1 )=(1, 4 ). Determine T ( x , y ).
- Seja T: R
3
→ R
2
, T ( x , y , z )=( x + y−z , 2 x− y+ z ), linear. Considere as bases
A=
{
v
1
, v
2
, v
3
}, com
v
1
v
2
e
v
3
e
B=
{
w
1
, w
2
}, sendo
w
1
e
w
2
a) Determine [ T ] B
A
b) Se v=( 2, 1 ,− 3 ), calcule
T ( v )
B
utilizando a matriz encontrada.
- Dadas as bases A= {
}
do R
2
e B= {
}
do R
3
, determine a
transformação linear T : R
2
→ R
3
cuja matriz é:
[ T ] B
A
[
]
