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Notas sobre Álgebra
3. ESPAÇOS VETORIAIS
3.1 Vetores no plano e no espaço
Vetores geométricos Os vetores podem ser representados geometricamente como segmentos de reta orientados ou com flechas nos espaços ou. A direção e o sentido da flecha especificam a direção e o sentido do vetor e o comprimento da flecha descreve sua magnitude. A cauda da flecha é dita ponto inicial do vetor e a ponta da flecha é o ponto final. Simbolicamente um vetor é representado por uma letra minúscula.
Se o ponto inicial de um vetor é e o ponto final é , escrevemos. Vetores com mesmo comprimento, direção e sentido são ditos equivalentes. Estes vetores serão considerados iguais, apesar de se encontrarem em posições diferentes. Se o ponto inicial , obtêm-
se um vetor equivalente ao vetor e que esteja na origem do plano, fazendo . Definição. Sejam e dois vetores quaisquer. A soma deles é o vetor , que pode ser determinada geometricamente da seguinte maneira: posicione o vetor de tal maneira que seu ponto inicial coincide com o ponto final de. O vetor de comprimento zero é dito vetor nulo e denotado por ou. Ao estudarmos vetores, um número real é dito escalar. Definição. Se e são dois vetores quaisquer então a diferença de por é dada por
-. Geometricamente, posicione o ponto inicial do vetor com o ponto inicial do vetor , o vetor diferença estará do ponto final do vetor ao ponto final do vetor (nesta ordem).
Vetores em sistemas de coordenadas Seja v um vetor no espaço (plano), suponha que tenha sido posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares. As coordenadas do ponto final de são chamadas de componentes de e escrevemos. Dois vetores são equivalentes se as coordenadas de suas componentes são iguais. Tendo e , a soma destes vetores é dada por. A diferença é dada por . Tendo e um escalar qualquer então temos que. No espaço (tridimensional), o tratamento é similar ao plano. Tem-se a representação de um vetor por A soma, a diferença e o produto por escalar também são similares ao feito para vetores no plano.
Quando um vetor não está posicionado com seu ponto inicial na origem, então temos um vetor , com ponto inicial e ponto final , então
. O mesmo pode ser feito no plano.
A translação de eixos é utilizada de modo a simplificar problemas, obtendo novos eixos coordenados paralelos aos originais. As equações de translação do XYZ para X’Y’Z’ em são , e ; em que são coordenadas da origem das coordenadas. Observe os eixos abaixo, para o caso de :
Exemplo: Dado um sistema de coordenadas a ser transladado para um sistema de coordenadas cuja origem tem coordenadas dadas por. a) Encontre as coordenadas do ponto com coordenadas dadas por. b) Encontre as coordenadas do ponto com coordenadas dadas por. c) Represente geometricamente as situações apresentadas na questão.
Normal de um vetor
O comprimento de um vetor é dito norma de (ou módulo) e denotado por. Segue
do Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor é (em que e são as componentes desse vetor na direção dos eixos X e Y) e para um vetor em temos que
a norma do vetor é.
Para um vetor que não esteja na origem, procedemos do seguinte modo. Seja e os pontos inicial e final de um vetor em , a norma deste vetor é dada pela distância entre os dois pontos:
Para o plano o procedimento é idêntico. O ângulo entre um vetor e o eixo X no é dado por .
Produto escalar e produto vetorial Sejam e dois vetores não-nulos no espaço ou e suponha que estes vetores foram posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem. Pelo ângulo entre e entende- se o ângulo determinado por e que satisfaz.
Definição. Se e são vetores no espaço ou e é o ângulo entre e , então o produto escalar , é definido por:
Mais propriedades Imagine um conjunto em que seja possível somar elementos e multiplicar os elementos por números reais, e que o resultado dessas operações esteja no conjunto. Imagine ainda que essas operações têm ‘boas’ propriedades, aquelas que estamos acostumados a usar quando somamos e quando multiplicamos por números reais: Podemos somar os elementos trocando a ordem, ou agrupando-os como quisermos, sem que o resultado seja alterado; Existe um elemento que quando somado a outro resulta sempre nesse outro; Feita a soma, é possível desfazê-la com uma subtração, e todo elemento de pode ser subtraído de outro; Multiplicar por um não faz efeito; Multiplicar seguidamente por vários reais é o mesmo que multiplicar pelo produto deles; Multiplicar o resultado de uma soma por um número real é o mesmo que multiplicar cada parcela e depois somar; Multiplicar por um elemento uma soma de reais é o mesmo que multiplicar cada real pelo elemento em questão e depois somar os resultados.
Existem vários conjuntos em que a adição e a multiplicação por números reais que fazemos usualmente possuem estas propriedades. Os conjuntos , e são exemplos. Os conjuntos de matrizes de mesma ordem também são exemplos. Estes conjuntos são chamados de espaços vetoriais.
3.2 Espaços vetoriais
Considere um conjunto no qual estão definidas duas operações: uma adição, que a cada par de elementos e de associa um elemento de , chamado soma de e , e uma multiplicação por escalar, que a cada número real e a cada elemento de associa um elemento de , chamado produto de por. Dizemos que o conjunto munido dessas operações é um espaço vetorial real (ou um espaço vetorial sobre , ou ainda, um – espaço vetorial ) se são satisfeitas as seguintes condições, para todos os elementos de , aqui designados pelas letras , e , e todos os números reais, aqui designados pelas letras e (axiomas) : (1) Se e são objetos em então é um objeto em ; (2) (comutatividade); (3) (associatividade); (4) Existe um elemento em , que designaremos por , que satisfaz para qualquer em (existência de elemento neutro para a adição); (5) Para cada , existe um elemento de , que designaremos por – , que satisfaz (existência de inverso aditivo, também chamado de simétrico ou oposto); (6) Se é qualquer escalar e é um objeto em , então é um objeto em ; (7) (associatividade); (8) (distributividade); (9) (distributividade); (10) (multiplicação por ).
Por meio desta definição é possível concluir que não são espaços vetoriais o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros. Em nenhum dos dois a operação
multiplicação por escalar está bem definida: ao multiplicar um número inteiro não nulo por ,
que é um número real, a resposta certamente não será um número inteiro (o resultado é um valor fora do conjunto). Para verificar se um conjunto é ou não um exemplo de espaço vetorial, partimos do princípio que no conjunto dos números reais a adição e a multiplicação têm todas as propriedades dadas na definição de espaço vetorial (ou é, está se utilizando o fato de que é um Corpo ). A seguir seguem alguns exemplos de espaços vetoriais: , , , , e polinômios de grau menor ou igual a ( natural não nulo).
Exemplo: Confira a seguir a prova de que é espaço vetorial. Sejam e são elementos de , e é um número real. As operações usuais são: e. (são exatamente os axiomas 1 e 6). Considere que , e , todos em , e números reais. Então segue:
;
;
o par satisfaz ;
tomando – , temos ;
;
;
; 10..
Seja formado por um único objeto, que denotamos por , e defina e , para todos os escalares. Todos os axiomas de espaço vetorial valem. Temos então o espaço dito espaço vetorial nulo.
3.3 Subespaço vetorial
Um subconjunto de um espaço vetorial é dito subespaço vetorial de se é um espaço vetorial em relação às operações de adição e multiplicação por escalar definidas em. Ou seja, para verificar se um conjunto é subespaço vetorial , precisamos verificar os axiomas 1, 4, 5 e 6. Teorema. Se é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial , então é um subespaço de se, e somente se, valem as seguintes condições: a) Se e são vetores em , então está em. b) Se é um escalar qualquer e é um vetor qualquer em , então está em.
Exemplos: Subespaços de Retas pela origem
Subespaços de
Retas pela origem Planos pela origem
Há como verificar que estes exemplos são os únicos subespaços de e.
O sistema em questão tem solução se, e somente se, os valores de , e são tais que se
tenha , ou é. Tal descrição é a equação de um plano em
contendo a origem.
Para determinar o subespaço gerado, procedemos sempre analogamente ao exemplo dado. Assim que ocorre linhas de zeros, podemos obter equações que descrevem o espaço. Se tais linhas não ocorrem, isso significa que não existem restrições para que o elemento genérico esteja no subespaço gerado, ou é, o subespaço em questão coincide com o espaço todo.
Definição. Se é um conjunto não-vazio de vetores então a equação vetorial tem pelo menos uma solução, a saber, , , ,
. Se esta é a única solução, então o conjunto é chamado linearmente independente (LI). Se existirem outras soluções, então é um conjunto linearmente dependente (LD).
Exemplos: a) Verifique se , e é linearmente dependente. b) Verifique se , e é linearmente dependente. c) Verifique que , e é linearmente independente.
Base de um espaço vetorial Definição. Se é um espaço vetorial qualquer é um conjunto de vetores em , dizemos que é uma base de se valem as condições: a) é linearmente independente. b) gera.
Teorema. Se é uma base de um espaço vetorial então cada vetor em pode ser expresso da forma de uma única maneira.
Tomando os vetores , e , estes compõem um conjunto linearmente independente em. O conjunto também gera , pois qualquer vetor em pode ser escrito como:
Tal conjunto é uma base de , denominada base canônica de. As coordenadas de em relação à base canônica são
Exemplo: Sejam , e. Mostre que o conjunto é uma base de. Para mostrar que o conjunto gera , cabe mostrar que um vetor qualquer pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores em. Expressando a equação em termos de componentes, tem-se:
ou igualmente,
Assim, para mostrar que gera , cabe mostrar que o sistema acima tem solução para qualquer escolha de. Primeiro é preciso mostrar que é linearmente independente, e para isso verifica-se que a única solução de é. Expressando esta equação em termos de componentes, segue:
Resolvendo tal sistema, observa-se que ele só possui a solução trivial, sendo independente linearmente com. Resta verificar que a matriz de coeficientes dos sistemas acima tem determinante não- zero:
Assim, é uma base de. Por completude, resolvendo o sistema
em função de , temos que e dado por: , e. Resolva o exemplo a seguir e confira.
Exemplo: Seja a base de do exemplo anterior. a) Encontre o vetor de coordenadas de em relação a. É preciso encontrar escalares , e tais que ou, em termos de componentes,. Igualando em termos de componentes:
Ao resolver o sistema, tem-se , e. Portanto.
b) Encontre o vetor em cujo vetor de coordenadas em relação à base S é. Usando que em , segue que
3.4 Lista de Exercícios
- Desenhe um sistema de coordenadas e marque os pontos cujas coordenadas são: a) d) g) j)
a) Em , , e. b) Em , , e. c) Em , , , e. d) Em , , e. e) Em , , , e.
- Determine tal que o vetor seja combinação linear dos vetores , e.
- Escreva o vetor como combinação linear dos vetores , e : , e.
- Escreva o polinômio como combinação linear de e .
