3 -2
-4 3
A=
Álgebra Linear
2ª Lista de Exercícios – Matrizes – Operações e Propriedades 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dadas
1 -3 2 1 4 1 0 2 1 -1 - 2
A= 2 1 -3 B= 2 1 1 1 C= 3 -2 -1 -1
4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0
Mostre que AB = AC.
AB=
-3 -3 0 1
AC=
-3 -3 0 1
1 15 0 -5 1 15 0 -5
-3 15 0 -5 -3 15 0 -5
2. Explique por que, em geral, e
Solução. No caso das matrizes, já vimos que nem sempre há comutatividade na operação de
multiplicação. Não podemos confundir a operação de multiplicação nos números reais, onde ab = ba. E
no caso dos produtos notáveis, temos (a+b)2 = (a+b).(a+b) = (a2 + ab + ba + b2) e nesse caso ab + ba =
2ab. Na multiplicação de matrizes, A.B e B.A pode não ser 2AB, o mesmo acontecendo no caso da
diferença de quadrados: ab – ba = 0 (reais), mas AB – BA pode não ser zero.
3. Dadas
2 -3 -5 -1 3 5 2 -2 -4
A= -1 4 5 B= 1 -3 -5 C= -1 3 4
1 -3 -4 -1 3 5 1 -2 -3
a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.
AB=
00 0
BA=
0 0 0
AC=
2 -3 -5
CA=
2 -2 -4
0 0 0 0 0 0 -1 4 5 -1 3 4
0 0 0 0 0 0 1 -3 -4 1 -2 -3
b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 – B2 = (A–B) (A+B) e (A + B)2 = A2 + B2.
Solução.
i) Observamos que ACB = AB (pois AC=A) e AB=0. Da mesma forma CBA=CAB=AB=0.
ii) Como AB = BA, podemos cancelá-los em : A2 + AB – BA – B2 = A2 – B2.
iii) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Como AB = BA = 0, (A + B)2 = A2 + B2.
4. Se , ache B tal que B2 = A.
Solução. A matriz B é da forma:
B= abB2 =abxab=a2+ bc ab + bd
c d c d c d ac + cd bc + d2
Igualando os termos com a matriz A, temos:
a2 + bc = 3 (*)
bc + d2 = 3. Logo a2 = d2 e a = + d.
Repara que AB = AC
não implica em B = C.
Verificando a condição de a = - d, que se ab + bd = -2
isso implicaria que –db + db = 0 = -2. Impossível. Logo
só há a opção a = d.
