Matrizes, Notas de estudo de Matemática

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MATRIZES

Sumário

• Matrizes
  • Matrizes especiais
  • Matriz transposta
  • Igualdade de matrizes
  • Matriz oposta
  • Soma e subtração de matrizes
  • Multiplicação de matrizes
    • Multiplicação de um número real por uma matriz
    • Multiplicação de matriz por outra matriz
  • Matriz identidade
    • Propriedades
  • Matriz inversa
  • Determinante
    • Caso 2 x
    • Caso 3x3....................................................................................................................

o Já a diagonal secundária é formada quando a soma de i mais j é igual ao

número da ordem mais 1. Como esse exemplo é uma matriz de ordem

3 i + j = 3 + 1 = 4.

o O traço da raiz quadrática é a soma dos elementos da diagonal principal.

o Uma matriz quadrática é simétrica quando A = A

t

, ou seja, a matriz é

igual a sua transposta.

o Uma matriz quadrática é antissimétrica quando A = - A

t

Matriz transposta

Uma matriz transposta de A, indicada por A

t

quando A

t

= (a ji

mxn

, ou seja, as linhas e

colunas se invertem. Exemplo faça a transposta de A onde:

Originalmente 2 ficava na posição a 11

, invertendo fica a 11

. Originalmente 4 ficava na

posição a 12

, invertendo fica a 21

. Originalmente 6 ficava na posição a 21

, invertendo fica a 12

e assim

por diante.

𝑡

Igualdade de matrizes

Duas matrizes são iguais quando elementos das mesmas posições também são iguais. A

= B pois:

Matriz oposta

Quando todos os elementos ficam com os elementos opostos trocando seu sinal, Assim

A → - A. Exemplo:

Soma e subtração de matrizes

Para somar ou subtrair matrizes você soma ou subtrai os elementos de mesma posição

criando uma matriz nova. Exemplo:

Assim é possível fazer equações com matrizes. Exemplo: resolva a equação A + X = B

sendo que:

Resolvendo temos:

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de um número real por uma matriz

Não há mistério; basta multiplicar todos os elementos da matriz pelo número. Exemplos:

Multiplicação de matriz por outra matriz

Agora há uma complexidade um pouco maior. Dado o exemplo das matrizes A = (a ij

2x

e B = (b ij

3x

obtenha A*B onde:

Quando multiplicamos duas matrizes é gerado outra matriz que possui a quantidade de

linhas da primeira e a quantidade de colunas da segunda.

O número que estará na posição c 11

é o produto de a 11

por b 11

(-2 * 1 = - 2 ) mais o produto

de a 12

por b 21

(6 * - 8 = - 48 ) mais o produto de a 13

por b 31

(4 * 7 = 28). O número que estará na

posição c 12

é o produto de a 11

por b 12

(-2 * 3 = - 6 ) mais a 12

por b 22

(6 * 9 = 54) mais a 13

por b 32

Substituindo 2 em 1 temos:

Aplicando em 1:

Substituindo 4 em 3:

Substituindo em 3:

Então a matriz é:

Matriz identidade

Uma matriz identidade de ordem n indicada por I n

é uma matriz quadrada onde todos

os termos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros são 0. Exemplos:

Propriedades

• Multiplicar uma matriz por uma matriz identidade pode ter o mesmo efeito de

multiplicar por 1 desde que :

o Sendo A uma matriz quadrada de ordem n:

𝑛

𝑛

o Sendo A = (a ij

mxn

com m ≠ n:

𝑚

𝑛

• A ordem dos fatores altera o produto nas matrizes, isto é, A * B ≠ B * A.
• O produto de duas matrizes pode dar um resultado nulo mesmo que nenhuma

das matrizes seja nula. Exemplo:

o (

Matriz inversa

Uma matriz de A é inversa, indicada por A

• 1

quando A * A

• 1

= In.

Exemplo: Determine A

• 1

sendo que:

Como o exercício nos pede para determinar a inversa de A podemos montar uma

equação:

− 1

𝑛

Sabemos que a matriz identidade é de ordem 2, pois a matriz A também é de ordem 2.

Voltando a resolver:

Tiramos quatro equações:

Substituindo 1 em 2

Indicamos a determinante por três formas: det 𝐴, 𝑑𝑒𝑡 = (

Caso 3x

Para calcularmos uma determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 temos que

seguir os seguintes passos. Dada a matriz:

Reescrever as duas primeiras colunas da matriz:

Depois multiplicar os termos de cada diagonal em azul e reservar:

Depois multiplicar os termos de cada diagonal em preto e inverter seu sinal.

Agora basta somar os dois passos anteriores:

det 𝐴 = 36 + 0 + (− 4 ) + 0 + (− 16 ) + (− 3 )

det 𝐴 = 36 − 4 − 16 − 3

det 𝐴 = 36 − 23

det 𝐴 = 13

Referências

IEZZI, Gelson et al. Matemática : ciência e aplicações. 2º ano ensino médio. 9. ed. São

Paulo: Saraiva, 2016. v. 2.