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Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Documento contendo exercícios de geometria analítica e álgebra linear, incluindo interpretação de igualdades e desigualdades, cálculo de vetores unitários, distâncias entre pontos, equações de esferas, cálculo de ângulos entre vetores, projeções ortogonais, produto vetorial e equações de planos.

Tipologia: Exercícios

2022

Compartilhado em 06/11/2022

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bg1
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Gabriel Gomes de Souza
Turma: A
Exercícios Gerais 01
1) Interprete as igualdades e as desigualdades abaixo
1- 𝑧 0 - Semi espaço consistindo dos pontos sobre o plano xy e acima dele
2- 𝑥 = -3 - ponto no plano x com valor -3
3- 𝑧 = 0 𝑥 0 𝑦 0 ponto sobre a origem do plano z, diferente da origem do plano
cartesiano.
4- 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 < 4 - A soma dos quadrados dos vetores é menor do que 4
5- 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 4 - A soma dos quadrados dos vetores é menor ou igual a 4
6- 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 > 4 - A soma dos quadrados dos vetores é maior do que 4
2) Encontrar um vetor unitário u com a direção e o sentido do vetor determinado pelos pontos A (1,0,1) e
B (3,2,0)
AB = (2, 2, -1)
||AB|| = 22+ 22+ 1 = 4 + 4 + 1 = 9 = 3
(2
3,2
3,−1
3)
3) Encontre a distância entre os pontos P (2,1,5) e B (-2,3,0)
√ (-2 - 2) ² + (3 - 1) ² + (0 - 5) ²
√16 + 4 + 25 = √45 = 6,7
4) Encontre o centro e o raio de esfera descrita pela equação
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2+ 3𝑥 4𝑧 + 1 = 0
[(X ½)2 1/4] + [(y o)2 - o] + [(z + 2)2 - 4)] + 1 = 0
(X ½)2 + (y o)2 + (z + 2)2= -1 + ¼ + 4
(X ½)2 + (y o)2 + (z + 2)2 = 3,25
Centro:(1/2, 0, -2); Raio ≈ 1,8
5) Encontre a equação da esfera sendo o centro C (1,2,3) e o raio R = 14
[(X 1)2 - 1] + [(y 2)2 - 4] + [(z - 3)2 - 9)] - 14= 0
𝒙𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐𝟐𝒙 𝟒𝒚 𝟔𝒛 +𝟏𝟒 =𝟏𝟒
𝒙𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐𝟐𝒙 𝟒𝒚 𝟔𝒛 = 𝟎
6) Encontre o ângulo entre os vetores dados.
u= i -2j -2k v = 6i +3j +2k
u * v = 6 + (-6) + (-4) = -4
|u| = √1+4+4 = √9 = 3
|v| = √36+9+4 = √49 = 7
cosΘ = −4
3 ∗ 7 = −4
21
Θ
pf3

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Geometria Analítica e Álgebra Linear Gabriel Gomes de Souza Turma: A Exercícios Gerais 01

  1. Interprete as igualdades e as desigualdades abaixo 1 - 𝑧 ≥ 0 - Semi espaço consistindo dos pontos sobre o plano xy e acima dele 2 - 𝑥 = - 3 - ponto no plano x com valor - 3 3 - 𝑧 = 0 𝑥 ≤ 0 𝑦 ≥ 0 ponto sobre a origem do plano z, diferente da origem do plano cartesiano. 4 - 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 < 4 - A soma dos quadrados dos vetores é menor do que 4 5 - 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 ≤ 4 - A soma dos quadrados dos vetores é menor ou igual a 4 6 - 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 > 4 - A soma dos quadrados dos vetores é maior do que 4
  2. Encontrar um vetor unitário u com a direção e o sentido do vetor determinado pelos pontos A (1,0,1) e B (3,2,0) AB = (2, 2, - 1) ||AB|| = √ 22 + 22 + 1 = √ 4 + 4 + 1 = √ 9 = 3
  1. Encontre a distância entre os pontos P (2,1,5) e B (-2,3,0) √ (- 2 - 2) ² + (3 - 1) ² + (0 - 5) ² √16 + 4 + 25 = √45 = 6,
  2. Encontre o centro e o raio de esfera descrita pela equação 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 + 3 𝑥 − 4 𝑧 + 1 = 0 [(X – ½)^2 – 1/4] + [(y – o)^2 - o] + [(z + 2)^2 - 4)] + 1 = 0 (X – ½)^2 + (y – o)^2 + (z + 2)^2 = - 1 + ¼ + 4 (X – ½)^2 + (y – o)^2 + (z + 2)^2 = 3, Centro:(1/2, 0, - 2); Raio ≈ 1,
  3. Encontre a equação da esfera sendo o centro C (1,2,3) e o raio R = √ 14 [(X – 1 )^2 - 1 ] + [(y – 2 )^2 - 4 ] + [(z - 3 )^2 - 9 )] - 14 = 0 𝒙𝟐^ + 𝒚𝟐^ + 𝒛𝟐^ − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟔𝒛 + 𝟏𝟒 = 𝟏𝟒 𝒙𝟐^ + 𝒚𝟐^ + 𝒛𝟐^ − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟎
  4. Encontre o ângulo entre os vetores dados. u= i - 2j - 2k v = 6i +3j +2k u * v = 6 + (-6) + (-4) = - 4 |u| = √1+4+ 4 = √9 = 3 |v| = √36+9+4 = √49 = 7 cosΘ = − 4

3 ∗ 7 =^

− 4 21 Θ ≈ 1 °

  1. Encontre a projeção ortogonal do vetor u = 6i +3j +2k sobre o vetor v = i – 2j --2k u * v = 6 + (-6) + (-4) = - 4 |u| = √1+4+4 = √9 = 3 |v| = √36+9+4 = √49 = 7 − 4 49
  1. Defina Produto Vetorial e pesquise se existe o produto vetorial no 𝑅^2 : R: O produto vetorial é uma operação sobre dois vetores em um espaço vetorial tridimensional; Não, pois matriz formada pelos vetores terá forma 2x3, logo não é possível calcular o determinante.
  2. Dados os vetores abaixo determinem o que se pede. U= 2i +j +k V = - 4i +3j +k encontre (UxV) e (VxU) e ∥ 𝑈𝑥𝑉 ∥ (UxV) = (-8, 3, 1) (VxU) = (8, - 3, - 1) ∥ 𝑈𝑥𝑉 ∥ = √64 + 9 + 1 = √
  3. Encontre a equação do plano 𝜋 que passa pelos pontos dados A (1,-1, 0 ) B (2, 1 , - 1) C (-1, 1 , 2) e determine a área do triângulo determinado por estes pontos. AB = (1, 2, - 1) | AC = (-2, 2, 2) 𝑖 𝑗 𝑘 1 2 − 1 − 2 2 2 = 4i + 2j + 2k – (-4k - 2i) +2j) = 4i + 2j + 2k + 4k + 2i - 2j = 6i + 6k = (6, 0, 6) 6x + 6z + d = 0 ---> 6 + d = 0 ---> d = - 6 Equação do plano - > 6x + 6z – 6 = 0; Area Paralelogramo: √6^2 + 0^2 + 6^2 = √72; Area do Triângulo - > √72 / 2 ≈ 4,24.
  4. Encontre o volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores 𝑣 = 𝑖 + 2 𝑗 − 𝑘 𝑢 = − 2 𝑖 + 3 𝑘 𝑤 = 7 𝑗 − 4 𝑘 v(1,2,- 1 ); u(-2, 0, 3); w(0, 7, - 4) 1 2 − 1 − 2 0 3 0 7 − 4 = 14 - 21 - 16) = |-23| = 23
  5. Encontre as equações vetoriais, paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos P (-3,2,-3) e Q (1,-1 ,4) PQ = (4, - 3, 7) Equação Vetorial: (x, y, z) = (-3, 2, - 3) + t(4,-3,7) Equação Paramétrica: x = - 3 + 4t, y = 2 - 3t, z = - 3 + 7t Equação Simétrica: t =
  1. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P (-3,0 ,7) e tem vetor diretor 𝑛 = 5 𝑖 + 2 𝑗 − 𝑘