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TABELA DE PRIMITIVAS
f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R e x ∈ I, intervalo de R
Primeiras regras
f (x)dx
= f (x)
f ′(x)dx = f (x) + C
αf (x)dx = α
f (x)dx, α ∈ R
[f (x) ± g(x)]dx =
f (x)dx ±
g(x)dx
Primitivas imediatas
xndx = x
n+ n+1 +^ C,^ n^6 =^ −1 e^ x >^0
x dx^ = ln^ |x|^ +^ C,^ x^6 = 0
exdx = ex^ + C
cos xdx = sin x + C
sin xdx = − cos x + C
sec^2 xdx = tan x + C
cosec^2 xdx = − cot x + C
1+x^2 dx^ = arctan^ x^ +^ C^ =^ −arccot^ x^ +^ K
√ 1 −x 2 dx = arcsin x + C = − arccos x + K e x ∈ (− 1 , 1)
cosh xdx = sinh x + C
sinh xdx = cosh x + C
√x (^2) +1 dx = arsinhx + C
√x (^2) − 1 dx = arcoshx + C
Integra¸c˜ao por partes (^) ∫
u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) −
u′(x)v(x)dx
Mudan¸ca de vari´aveis u = ψ(x) ∫ f (ψ(x)) ψ′(x)dx =
f (u)du = F (u) + C = F
ψ−^1 (x)
Casos particulares
f (ax + b)dx = (^1) a F (ax + b) + C, a 6 = 0 •
∫ (^) ψ′(x) ψ(x) dx^ = ln^ |ψ(x)|^ +^ C,^ ψ
′(x) 6 = 0
Integra¸c˜ao de frac¸c˜oes racionais
∫ (^) Pm(x) Qn(x) dx,^ onde^ Pm, Qn^ s˜ao polin´omios de grau^ m, n
(1) fazer, se necess´ario, a divis˜ao dos polin´omios (numerador deve ter grau inferior ao do denominador );
(2) determinar zeros, e sua multiplicidade, do denominador Qn(x) = a 0 Πj (x − aj )αj ︸ ︷︷ ︸ ra´ızes reais
Πs(x^2 + bsx + cs)βs ︸ ︷︷ ︸ ra´ızes complexas (b^2 s − 4 cs<0) (3) partir o integral de acordo com as ra´ızes do denominador: ∫ Pm(x) Qn(x)
dx = 1 a 0
j
A 1
x − aj
+ A^2
(x − aj )^2
Aαj (x − aj )αj
s
B 1 x + C 1 x^2 + bsx + cs
)]
dx
1
2
(4) resolver o integral de cada uma das parcelas:
i)
∫ (^) dx x−a = ln^ |x^ −^ a|^ +^ C^ ii)^
∫ (^) dx (x−a)m^ =^
m− 1 (x−a)m−^1 +^ C,^ m^ = 2,^3 ,^ · · ·
iii)
∫ (^) Ax+B (x^2 +bx+c)m^ dx,^ com^ b
(^2) − 4 c < 0 e m = 1, 2 , 3 , · · ·
- H´a uma mudan¸ca linear de vari´avel, u = αx + β, que transforma o denominador x^2 + bx + c em u^2 + 1; O integral reduz-se ent˜ao a ∫ Ax + B x^2 + bx + c dx^ =
C 1 u + C 2 (u^2 + 1)m^ du^ =^
C 1
2 u (u^2 + 1)m^ du^ +^ C^2
(u^2 + 1) − u^2 (u^2 + 1)m^ du
- se m > 1 usar integra¸c˜ao por partes no segundo integral para baixar o grau do denominador; proceder at´e obter denominador u^2 + 1;
- se m = 1 ent˜ ∫ ao C 12 u + C 2 u^2 + 1 du^ =^ C^1
2 u u^2 + 1 du^ +^ C^2
u^2 + 1 du ambos resol´uveis por t´ecnicas anteriores.
Outras mudan¸cas comuns cos^2 u + sin^2 u = 1 ⇔ 1 + tan^2 u = sec^2 u e cosh^2 u − sinh^2 u = 1
f (
1 − x^2 )dx fazer substitui¸c˜ao x = sin u, dx = cos udu; (note que sin^2 u = 1 − cos^2 u)
f (
1 + x^2 )dx fazer substitui¸c˜ao x = sinh u, dx = cosh udu; (note que cosh^2 u = sinh^2 u + 1) tamb´em funciona usar x = tan u, dx = sec^2 udu;
f (
x^2 − 1)dx fazer substitui¸c˜ao x = cosh u, dx = sinh udu; (note que sinh^2 u = cosh^2 u − 1) tamb´em funciona usar x = sec u, dx = sec u tan udu;
f (sinm^ x, cosn^ x)dx i) se n ´e ´ımpar (n = 2N + 1) ent˜ao fazer cosn(x) = [1 − sin^2 (x)]N^ cos(x) e usar u = sin(x), du = cos(x)dx;
ii) se m ´e ´ımpar (m = 2M + 1) ent˜ao fazer sinm(x) = [1 − cos^2 (x)]M^ sin(x) e usar u = cos(x), du = − sin(x)dx;
iii) se ambos, m e n, s˜ao pares, usar as f´ormulas
cos^2 x = 1 + cos(2x) 2
sin^2 x =^1 −^ cos(2x) 2 para reduzir a um dos casos i) ou ii).
Mudan¸ca universal x = 2 arctan(u) ⇔ u = tan( x 2 ) ∫ f (sin(x), cos(x)) dx =
f
2 u u^2 + 1
, 1 −^ u
2 u^2 + 1
2 du u^2 + 1 onde sin(x) = 2 sin(
x 2 ) cos(^
x 2 ) =
2 tan( x 2 ) sec^2 ( x 2 )
=
2 u u^2 + 1
cos(x) = cos^2 ( x 2
) − sin^2 ( x 2
= cos^2 (
x 2
)[1 − tan^2 (
x 2
)]
1 − u^2 u^2 + 1
