Baixe Análise Combinatória e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Análise Combinatória
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes
de tal modo que:
P 1 é o número de possibilidades da 1 etapa.
P 2 é o número de possibilidades da 2 etapa.
Pk é o número de possibilidades da K-ésima etapa, então: p 1. p 2 ..... p k é o
número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.
Arranjos Simples
Seja B = { b 1 , b 2 ,....., bn } , um conjunto com n elementos( n ∈ N )
Denomina-se arranjo simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer agrupamento
de p elementos distintos, escolhidos entre os elementos de B.
Indica-se:
An,p = Anp
Observação
Arranjo é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente do outro pela ordem ou pela
natureza dos elementos componentes.
Fórmula do número de arranjos
An,p = n (n-1) (n-2),,,,,,,, (n- p +1) ou A n,p =
n p
n −
Arranjos com Repetição
(Arranjos completos)
A
Combinações Simples
Seja B = { b 1 , b 2 ,....., bn } , um conjunto com n elementos( n ∈ N )
Denomina-se Combinação simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer
subconjunto de p elementos do conjunto B.
Indica-se:
Cn,p =
p
n C (^) np
Observação:
Combinação é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente do outro apenas pela
natureza dos elementos componentes.
Fórmula das combinações Simples
Cn,p =
n p p
n −
Propriedades das Combinações Complementares
Permutações Simples
Seja B = { b 1 , b 2 ,....., bn } , um conjunto com n elementos( n ∈ N )
Denomina-se permutação simples dos n elementos de B, todo arranjo dos n elementos de B
tomados n a n.
Indica-se:
Pn = An,n
Observação:
S = { K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6 }
(i) Escreva explicitamente os seguintes eventos : A = {caras e um número par aparecem}, B = {um número primo aparece}, C = {coroas e um número ímpar aparecem}.
(ii) Idem, o evento em que : (a) A ou B ocorre, (b) B e C ocorrem, (c) somente B ocorre.
(iii) Quais dos eventos A, B e C são mutuamente exclusivos?
(i) Para obter A, escolhamos os elementos de S constituídos de um K e um número par : A = {K2, K4, K6}.
Para obter B, escolhamos os pontos de S constituídos de números primos : B = {K2, K3, K5, R2, R3, R5}
Para obter C, escolhamos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar : C = {R1, R3, R5}.
(ii) (a) A ou B = A ∪ B = {K2, K4, K6, K3,K5, R2, R3, R5}.
(b) B e C = B ∩ C = {R3, R5}.
(c) Escolhamos os elementos de B que não estão em A ou C : B ∩ Ac^ ∩ Cc^ = {K3, K5, R2}
(iii) A e C são mutuamente exclusivos, porque A ∩ C = ∅.
Conceito de probabilidade
A definição de probabilidade como quociente do número de “casos favoráveis” sobre o número de “casos possíveis” foi a primeira definição formal de probabilidade, e apareceu pela primeira vez em forma clara na obra Liber de Ludo Aleae de Girolamo Cardano (1501-1576).
Se num fenômeno aleatório as possibilidades são equiprováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento E – p(E) – é:
P(E) = númerodecasospossíveis
númerodecasosfavoráveis
Por exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes
dentre 6 “igualmente prováveis” , portanto, p = 50 % 2
Espaço Equiprovável
Dizemos que um espaço amostral E (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Assim, no experimento do lançamento de uma moeda e observação da face superior, o espaço amostral E ={K,R} é equiprovável se P(K) = 1/2 e P(R)=1/2.
Em geral, num espaço amostral, com n elementos, a probabilidade de um evento elementar é sempre igual ao quociente 1/n. Ainda: num espaço amostral S, equiprovável, de n elementos, a probabilidade de evento formado por 2 elementos é 2/n, a probabilidade de um evento com 3 elementos é 3/n e assim por diante, a probabilidade de um evento com k elementos é K/n (com K≤n). Em conclusão:
Num espaço amostral equiprovável E (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
P(A)=
númerodeelementosdeS
número deelementosdeA
n(S)
n(A)
Propriedades importantes:
- Se A e A são eventos complementares, então:
P ( A )+ P ( A )= 1
- A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). 0 ≤ p(E) ≤ 1
Probabilidade Condicional
É muito comum que, antes da realização de um experimento, já se saiba alguma informação sobre o evento cuja ocorrência é desejada. Nesse caso o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Definição. Seja S um espaço amostral e sejam A e B dois eventos de S.
Chama-se Probabilidade Condicional do evento B, a probabilidade do
evento B ocorrer, sabendo que o evento A já ocorreu.
Fórmula da probabilidade condicional:
p(E 1 e E 2 e E 3 e .....e En-1 e En ) = p(E 1 ).p(E 2 /E 1 ).p(E 3 /E1 e E 2 ). ...... p(En / E 1 e E 2 e ...En-1 ),
Onde:
p(E 2 /E 1 ) é a probabilidade de ocorrer E 2 , condicionada ao fato de já ter ocorrido E 1 ; p(E 3 /E1 e E 2 ) é a probabilidade de ocorrer E 3 , condicionado ao fato de já terem ocorrido E1 e E 2 ; p(En / E 1 e E 2 e ...En-1 ) é a probabilidade de ocorrer En , condicionada ao fato de já terem ocorrido E 1 e E 2 e ...En-
Exemplo. Uma urna tem trinta bolinhas, sendo dez brancas e vinte pretas. Se sortearmos duas bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?
Exemplo 1. Se lançarmos um dado verde e um azul, qual a probabilidade de sair 5 no azul ou 3 no verde?
Resolução: Considere os eventos: A: tirar 5 no dado azul e P(A)=1/6 ; B: tirar 3 no dado verde e P(B)=1/ Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(S)=6.6= possibilidades Daí, temos: P(A ou B)=1/6 +1/6 – 1/36 = 11/ 36
Exemplo 2. Se retirarmos aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual é a probabilidade de ser um 7 ou um ás?
Resolução: Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S)= 52 cartas Considere os eventos: A: sair 7 e P(A) = 7/ B: sair um às e P(B)= 4/ Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 –0 = 8/52 = 2/ Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 7 e ás ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
Exercícios Resolvidos:
1.Considere dois eventos independentes e A e B de um mesmo espaço
amostral. Sabendo que P(AUB)=0,9, P(A)=0,4 e P(B)=x, calcule x.
Resolução:
Sabemos, pela teoria, que:
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩ B).
Como A e B são independentes, temosP(A∩ B)=P(A).P(B).
Isto posto, temos:
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A).P(B)
0,9 = 0,4 + x - 0,4.x ou 0,5 = 0,6 x ou x = 5/
2. Numa sala estão reunidos um brasileiro, um italiano, um alemão, um
inglês e um belga. Chama-se ao acaso uma das pessoas, anota-se a sua
nacionalidade e pede-se que retorne a sala. Repetindo-se a operação
mais 4 vezes, a probabilidade de serem registradas nacionalidades
diferentes é:
a)24/625 b)1/25 c)12/625 d)24/25 e)4/
Resolução
O número de formas em que as pessoas podem ser chamadas é
O número de formas em que podem ser chamadas sem repetição é
A probabilidade de serem registradas nacionalidades diferentes é:
P =
Resposta. (a)
3. Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas
bolas azuis devem ser colocadas nessa urna de modo que, retirando-se
uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a 2/3?
Resolução:
Ora, sendo x o número de bolas azuis, o número total de bolas na urna
será 3 + 5 + x = 8 +x. Sabemos que a probabilidade da bola retirada ser
azul é 2/3, então usando a definição de probabilidades, temos:
3 x 2 x 16 x 16 3
x 8
x = ⇔ = + ⇔ =
5. Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando-se 3
bilhetes, qual a probabilidade de apenas um ser premiado.
Resolução
Em busca de n(a)= número de casos favoráveis e n(s)= número de casos
possíveis.
Para termos um premiado, 2 devem ser não premiados, logo:
n(A) = C 4,1. C 26,2 = 1300
Ora, queremos escolher 3 bilhetes de um total de 30, logo:
n(S)= C 30,3 =
8.Tomando-se, ao acaso, uma das retas determinadas pelos vértices de
um pentágono regular, a probabilidade de que a reta tomada ligue dois
vértices consecutivos é:
a) ½ b) 4/5 c) 1/5 d) 2/5 e) 3/
Resolução:
Escolhendo-se aleatoriamente 1 vértice ao acaso, restarão 4 , dos quais
dois são consecutivos ao escolhido. Deste modo, a probabilidade é
P=1/2.
9. Considere um cubo e suas arestas. A probabilidade de escolhermos
um par de arestas distintas desse cubo e elas serem paralelas entre si é
a) 2/33 b) 5/66 c) 1/11 d) 4/33 e) 3/
Resolução:
Escolhendo-se aleatoriamente uma aresta do referido cubo, restarão 11
arestas , das quais somente 3 são paralelas a aresta escolhida (veja
figura). Daí , a probabilidade é claramente 3/11.
10. Um colégio tem 400 alunos. Destes 100 estudam Matemática, 80
estudam Física, 100 estudam Química, 20 estudam Matemática, Física e
Química, 30 estudam Matemática e Física, 30 estudam Física e Química,
50 estudam somente Química.A probabilidade de um aluno, escolhido ao
acaso, estudar Matemática e Química é:
a)1/10 b)1/8 c)2/5 d)5/3 e)3/
Resolução:
Veja o diagrama de Venn abaixo:
Portanto, a probabilidade procurada é:
11. Num país, 10% da população é portadora de um vírus. Um teste para
detectar ou não a presença do vírus dá 90% de acertos quando aplicado
a portadores e 80% de acertos quando aplicado a não portadores. Qual o
percentual de pessoas realmente portadoras do vírus, dentre aquelas que
o teste classificou como portadoras?
Resolução:
Suponhamos uma população de 100 pessoas. Veja o diagrama
correspondente a questão
CV 90 72 18
SV 80%.90 72
TestecomNãoPortadores
SV semvírus(10- 9 1)
CV comvírus(90%. 10 9) TestecomPortadores
NP nãoportadores( 90 )
P portadores( 10 %. 100 10 ) Populaçãode 100
Portanto, a probabilidade procurada é:
P=
12. Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são
suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se
que 20% são fraudulentas.
Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser
suspeita e fraudulenta?
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade dela ter sido
suspeita?
Resolução:
Suponhamos uma amostra de 100 declarações.
Veja o diagrama correspondente abaixo:
cara e ½ de ocorrer coroa, aplicando a propriedade acima e a regra do
produto para eventos independentes, temos:
P(Cara pelo menos 1 vez) = 1 – P(não ocorrer cara nenhuma das 4
vezes) = 1 -
Resposta. (c)
15. Consideremos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão
estragadas.
Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto,determinar a
probabilidade de:
a)ambas não estejam estragadas
b)pelo menos uma esteja estragada
Resolução:
a) O número de maneiras de escolher 2 frutas dentre 10 é C 10,
Ora, se 3 estão estragadas , temos que 10-3 ou 7 não estão estragadas.
O número de maneiras de esolher duas frutas não estragadas é C7,2.
Deste modo, a probabilidade de ambas não estejam estragadas é:
C
C
P(A)
10 , 2
7 , 2 = = =
b) Ora, P(pelo menos 1 estragada) = 1- P (ambas não estragadas)
16. Um repórter pretende entrevistar apenas 4 dos integrantes de um
conjunto musical, composto por 7 rapazes e 5 garotas. A probabilidade de
que o grupo selecionado para a entrevista tenha pelo menos um
representante de cada sexo é
a) 76/99 b) 26/33 c) 85/99 d) 29/33 e) 91/
Resolução:
Vamos usar o seguinte método: Tudo o que pode e o que não pode e
retirar o que não pode , isto é, Quero = Tudo (1) – Não quero
Ora, P (pelo menos um representante de cada sexo no conjunto) = 1 –
P(somente rapazes no conjunto) – P(somente garotas no conjunto).
Existem C 12, 4 ou 499 maneiras de escoher os 4 representantes do
conjunto. Existem C 7,4 ou 35 maneiras de escolher 4 rapazes dentre os 7
e C 5,4 ou 5 maneiras de escolher 4 garotas dentre as 5. Daí a
probabilidade P procurada é:
P=
C
C
C
C
12 , 4
5 , 4 12 , 4
−^7 ,^4 − = − − =
Resposta. (e)
17. Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas,
das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade p de que
(a) nenhuma seja defeituosa,
(b) exatamente uma seja defeituosa,
(c) pelo menos uma seja defeituosa.
Resolução:
Há C 15,3 = 455 maneiras de escolher 3 lâmpadas dentre 15.
(a) Como há 15 – 5 = 10 lâmpadas não-defeituosas, há C10,
= 120 maneiras de escolher 3 lâmpadas não-defeituosas. Assim, p =
(b) Há 5 lâmpadas defeituosas C 10,2 = 45 pares diferentes de
lâmpadas não-defeituosas; portanto, há 5.45 = 225 maneiras de escolher
3 lâmpadas das quais uma seja defeituosa. Assim, p = 225/455 = 45/91.
(c) O evento em que pelo menos uma é defeituosa é o
complemento do evento em que nenhuma é defeituosa, o qual tem, por
(a), a probabilidade 24/91. Portanto,
p = 1 – 24/91 = 67/
Nestas condições, sorteando-se um aluno, ao acaso, do grupo total e
sabendo-se que é do sexo feminino, a probabilidade de que ele se
destine ao curso de Matemática vale:
a) 1/5 b)1/4 c)1/3 d)1/2 e)
Resolução:
MASC. FEM. TOTAL
MATEMÁTI
CA
FÍSICA 20 30 50
QUÍMICA 10 10 20
TOTAL 50 50 100
Evento A : total de alunos do sexo feminino e do curso de Matemática
Espaço Amostral S: total de alunos do sexo feminino
Analisando a tabela, temos: n(A) = 10 e n(s) = 50
Ora, usando a definição de probabilidades P(A)=
(S)
n
n A
, temos :
P(A) =
Resposta: (a)
20. Ao se tentar abrir uma porta com um chaveiro contendo cinco chaves
parecidas, das quais apenas uma destranca a referida porta, muitas
pessoas acreditam que é mínima a chance de encontrar a chave certa na
primeira tentativa, e chegam mesmo a dizer que essa chave só vai
aparecer na última tentativa. Para esclarecer essa questão, calcule, no
caso de um chaveiro contendo 5 chaves:
a)a probabilidade de se acertar na primeira tentativa
b)a probabilidade de se encontrar a chave certa depois da primeira
tentativa
c)a probabilidade de se acertar somente na última tentativa
Resolução:
a) Na primeira tentativa, temos: P (A) =
b) Após a primeira tentativa, temos: P (B) =
c) Na última tentativa, temos: P (C) =
21. Quatro atiradores atiram simultaneamente em um alvo. Qual a
probabilidade aproximada do alvo ser atingido, sabendo-se que cada
atirador acerta, em média, 25% de seus tiros?
Resolução :
Notemos que: P(alvo ser atingido) + P( não ser atingido) = 1.
Isto posto, a P (alvo ser atingido) = 1 – P( não ser atingido)
Como a probabilidade de um atirador acertar o alvo é 25% ou
, a
de errar é 75% ou
Ora, como os eventos são independentes, aplicando a regra do
produto, temos:
P(alvo não ser atingido por nenhum dos quatro atiradores) =
Logo, P( alvo ser atingido) = 1 -
22. Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com
4 países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita
ao acaso, calcular a probabilidade de que dois países determinados A e B
se encontrem no mesmo grupo.
Resolução:
Resposta: (c)
24. Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas
é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade 1/3 de
escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta.
Um estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele deu a resposta
correta para uma das perguntas, qual a probabilidade de que a
adivinhou?
a) 5/ 7 b)5/9 c)7/ 12 d)7/16 e)7/
Resolução:
A árvore correspondente é dada na figura abaixo:
p. 134
Ora, se o referido estudante sabe 30% das respostas, é fácil concluir que
o mesmo não sabe 70% das respostas do exame.
Logo, se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, a
probabilidade de que a adivinhou é:
P(adivinhou / resposta correta) =
0 , 3 x 1 3
0 , 7 x
0 , 7 x
30 %x 1 3
70 %x
70 %x
Resposta: (d)
25. Em uma cidade 10% das pessoas possuem carro importado. Dez
pessoas dessa cidade são selecionadas ao acaso e com reposição. A
probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam
carro importado é:
a)120(0,1)
7
3
b)(0,1)
3
7
c)120(0,1)
7
(0,9) d)120(0,1)(0,9)
7
e)(0,1)
7
3
Resolução:
A probabilidade de que uma determinada pessoa desta cidade possua
carro importado é 10% ou 0,1. Com efeito, a probabilidade de que esta
pessoa não possua carro importado é 90% ou 0,9. Daí, como são
selecionadas 10 pessoas, a probabilidade de que as 7 primeiras
pessoas possuam carro importado e as três últimas não possuam é:
7
3
Como o problema não exige necessariamente que sejam as sete
primeiras pessoas que possuam carro importado, bastando que sejam
exatamente 7 dentre as 10 selecionadas , temos
7
10
possibilidades, ou
seja, 120.
Portanto, a probabilidade solicitada é 120.(0,1)
7
3
Resposta: (a)
Questões de Probabilidade da UFRGS
