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PERMUTAÇÕES
➢ Um problema é dito de permutação quando os elemen- tos escolhidos forem sempre os mesmos e somente a or- dem das escolhas puder ser alterada. 1. Permutação simples ➢ Caso um problema de permutação tenha todos os seus elementos distintos, dizemos que se trata de uma permu- tação simples. Um dos problemas de permutação mais “famosos” são os problemas de anagramas. ➢ Um anagrama é uma palavra obtida ao embaralhar as letras de uma outra palavra. Por exemplo, vamos supor a palavra PORTA. ➢ A partir das letras da palavra PORTA podemos criar várias outras palavras com significado. A seguir temos alguns exemplos: PARTO TROPA OPTAR PRATO TRAPO TOPAR RAPTO ➢ Também é possível criar “palavras” sem significado con- forme os exemplos a seguir: PATOR APTOR ARTOP RATOP AORTP TOAPR TRPOA OPART ORPTA
➢ De um modo geral, é possível criar 5.4.3.2.1 = 120
anagramas (com ou sem significado) com as letras da palavra PORTA. ➢ Assim, se uma palavra possui n letras (todas distintas), é possível formar n! anagramas e, de um modo ainda mais geral, existem n! maneiras de modificar a ordem de n elementos (todos distintos). Assim, a permutação simples de n elementos ( Pn ) é dada por:
Pn =n!
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Quantos anagramas possui a palavra PERNAMBUCO? Resolução: A palavra PERNAMBUCO possui 10 letras, todas distintas, logo teremos 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800 maneiras de mudar a ordem dessas letras. EXERCÍCIOS DE AULA 01) Nas noites de segunda a sexta, um estudante deseja revisar os conteúdos de cinco disciplinas para o simula- do que fará no sábado pela manhã. Ele irá revisar ape- nas uma disciplina a cada noite. De quantas maneiras distintas esse estudante pode escolher qual disciplina irá revisar em cada dia da semana? a) 720. b) 120. c) 60. d) 24. e) 6. 02) Oito amigos foram ao cinema e irão se sentar em oito cadeiras vazias situadas lado a lado em uma mesma fi- leira da sala. Entre os oito amigos há um casal de namo- rados que deseja se sentar lado a lado. Quantas maneiras distintas existem desses amigos ocupa- rem essas oito cadeiras? a) 8! b) 7! x 6 c) 7! x 2 d) 7! e) 6! x 4 03) Uma pessoa pretende fazer uma viagem de carro de Aracaju para Maceió. Ele escolheu 20 músicas distintas e fez o download pelo seu aplicativo de streaming , já que o sinal de internet na estrada é ruim ou inexistente. Entre as músicas escolhidas, 4 são do gênero sertanejo, 5 são de pagode, 3 são de funk , 4 são de rock e 4 são de MPB. Essa pessoa deseja ainda escolher a sequência que essas músicas irão tocar e decidiu que as músicas de um mesmo gênero toquem uma após a outra. O número de maneiras distintas que essa pessoa possui para escolher essa sequência é igual a
a) 20!.
b)( ) ( ) ( )
2 3
c)( ) ( ) ( )
3
d) 5! 4! 3!...
e) 5!.
04) (UPE 2013) Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir: Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses amigos, Amaro e Danilo, fica- rem sentados em frente um do outro? a) 1 440 b) 1 920 c) 2 016 d) 4 032 e) 5 760
05) Uma hamburgueria decidiu inovar na distribuição das senhas para os seus clientes saberem que seu pedido estava pronto. Ao invés das tradicionais senhas numéri- cas cada cliente recebia uma senha com as cinco letras da palavra BACON. As senhas seriam distribuídas tomando como sequência todas as permutações possíveis dessas cinco letras e se- guindo a ordem alfabética. Assim, a primeira senha distribuí- da seria ABCNO e a última, ONCBA. A alteração da forma das senhas, apesar de inovadora, de- sagradou a maioria dos clientes pois estes não sabiam quan- tos pedidos restavam até que o seu estivesse pronto. Um cliente recebeu a senha CBNOA. Caso a senha fosse a tradicional numérica começando com 001, ele teria recebido a senha a) 006. b) 058. c) 064. d) 072. e) 090
2. Permutação com elementos repetidos ➢ A permutação com repetição possui as mesmas carac- terísticas da permutação simples porém, entre os ele- mentos, há alguns repetidos (iguais). ➢ Observe que, ao mudar a ordem dos elementos repeti- dos, a escolha não se altera. Nesse caso, para evitar que escolhas idênticas sejam contadas várias vezes, necessi- ta-se dividir a quantidade obtida pelo número de formas que é possível mudar a ordem dos elementos repetidos. ➢ A quantidade de maneiras distintas de se permutar n elementos em que a , b , c , ... são as quantidades de ele- mentos repetidos é dada pela expressão: a,b,c,... n
n!
P
a!. b!. c!. ...
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Quantos anagramas possui a palavra BOLO? Resolução: A palavra BOLO possui 4 letras, sendo 2 letras iguais ( O ). Assim, terá: 2 4
P 4.
= = = = 1 anagramas
Quantos anagramas possui a palavra ARACAJU? Resolução: A palavra ARACAJU possui 7 letras, sendo 3 letras iguais ( A ). Assim, terá: 3 7
P 7.6.5.
= = = = 4 anagramas
Quantos anagramas possui a palavra BANANA? Resolução: A palavra BANANA possui 6 letras, sendo 3 letras iguais ( A ) e duas letras iguais ( N ). Assim, terá: 3, 6
P
= = = anagramas
EXERCÍCIOS DE AULA
06) Um triatleta está em fase final de preparação para uma importante competição. Para isso ele treina todos os di- as de segunda à sábado, descansando apenas no do- mingo. Durante os seis dias da semana, em dois deles ele treina natação, em dois outros, ele treina ciclismo e nos dois demais dias, ele treina corrida. A cada semana ele escolhe uma ordem diferente dos dias em que irá praticar cada uma das modalidades. A quantidade total de formas distintas que esse triatleta pode escolher quais os dias que irá treinar cada uma das modali- dades é igual a a) 720. b) 360. c) 180. d) 90. e) 45. 07) Uma pessoa pratica atividades físicas todos os dias de segunda a sexta. Durante três desses cinco dias ela pra- tica musculação e nos outros dois dias ela pratica dança. Nos dias em que pratica musculação, ela opta por um dos 5 treinos disponíveis: bíceps, tríceps, peito, costas ou ombros. Já nos dias em que pratica dança, ela escolhe um dos 4 estilos disponíveis: zumba, walking dance, balé fitness ou frevo. De quantas formas distintas essa pessoa pode escolher suas atividades físicas em uma semana de modo que não repita o mesmo treino de musculação, nem o mesmo estilo de dan- ça? a) 20000. b) 7200. c) 2000. d) 720. e) 120. 08) (UPF 2016) Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A a B é: a) 40320 d) 120 b) 6720 e) 56 c) 256
03) (UEMG 2019) Em uma apresentação na escola, oito amigos, entre eles Carlos, Timóteo e Joana, formam uma fila. Calcule o número de diferentes formas que esta fila de ami- gos pode ser formada de modo que Carlos, Timóteo e Joana fiquem sempre juntos.
a) 6! b) 8! c) 5! 3! d) 6! 3! e)8! 3!
04) (UFMS 2019) O Sr. Asdrúbal se preocupa muito com a segurança na internet, por isso troca mensalmente a se- nha de seu correio eletrônico. Para não esquecer a se- nha, ele utiliza o ano de nascimento de seu gato e a pa-
lavra pet para formar sua senha, totalizando 7 caracte-
res. No momento de alterar a senha, ele apenas inverte a ordem da palavra e dos números. Sabendo que o gato nasceu no ano de 2009 e que as letras da palavra pet são mantidas juntas e nessa mesma ordem, quantas se- nhas distintas o Sr. Asdrúbal consegue formar? P E T 2 0 0 9
a) 5.040. b) 720. c) 120. d) 72. e)60.
05) (EPCAr 2019) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP).
Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do
3º esquadrão, 9 do 2º esquadrão e 2 do 1º esquadrão. Os
demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3º
esquadrão, 4 do 2º esquadrão e 2 do 1º esquadrão.
Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma rede social. Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila:
- as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2º esquadrão que receberam medalha;
- os alunos do 1º esquadrão, que receberam medalha, fica- ram um ao lado do outro; e
- os alunos do 3º esquadrão, que receberam medalha, fica- ram, também, um ao lado do outro. Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas.
a)(24) 9!
b)(72) 9!
c)(144) 9!
d)(288) 9!
e)(864) 9!
06) (UEMG 2010) Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir: A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”. Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posi- ção, o número de maneiras distintas que podem ocorrer nes- sa brincadeira será igual a a) 60 b) 150 c) 600 d) 120 e) 720 07) (UFJF 2011) Para uma viagem, seis amigos alugaram três motocicletas distintas, com capacidade para duas pessoas cada. Sabe-se que apenas quatro desses ami- gos são habilitados para pilotar motocicletas e que não haverá troca de posições ao longo do percurso. De quantas maneiras distintas esses amigos podem se dis- por nas motocicletas para realizar a viagem? a) 24 b) 72 c) 120 d) 144 e) 720 08) (Unigranrio – Medicina 2017) Quantos são os anagra- mas da palavra VESTIBULAR , em que as consoantes aparecem juntas, mas em qualquer ordem? a) 120 b) 720 c) 17.280 d) 34.560 e) 86. 09) (UEFS 2017) Uma estudante ainda tem dúvidas quanto aos quatro últimos dígitos do número do celular de seu novo colega, pois não anotou quando ele lhe informou, apesar de saber quais são não se lembra da ordem em que eles aparecem. Nessas condições, pode-se afirmar que o número de possibi- lidades para a ordem desses quatro dígitos é
a) 240
b) 160
c) 96
d) 24
e) 16
10) Uma repartição pública tem o seu funcionamento inicia- do às 7 horas, porém, devido a um alagamento no traje- to da sua residência ao trabalho, a pessoa responsável por organizar o atendimento atrasou 20 minutos e, ao chegar na repartição, já havia dez pessoas para serem atendidas. Para melhor organizar o atendimento, essa pessoa decidiu criar senhas numeradas de 1 a 10 e distribuir às pessoas que estavam esperando. Percebeu ainda que entre as dez pessoas, havia dois idosos e uma gestante, além de um casal de namorados. O número de maneiras que essa pessoa tem para distribuir essas senhas de atendimento de modo que haja preferência no atendimento dos idosos e da gestante e que o casal de namorados seja atendido um após o outro é igual a
a) 10!.
b) 3!.6!.
c) 3!.7!.
d) 3!.6!.2.
e) 3!.7!.2.
11) (Escola Naval 2013) Um aspirante da Escola Naval tem, em urna prateleira de sua estante, 2 livros de Cálculo, 3 livros de História e 4 livros de Eletricidade. De quantas maneiras ele pode dispor estes livros na prateleira de forma que os livros de cada disciplina estejam sempre juntos? a) 1728 b) 1280 c) 960 d) 864 e) 288 12) (Faculdade Albert Einstein 2017) Oito adultos e um bebê irão tirar uma foto de família. Os adultos se senta- rão em oito cadeiras, um adulto por cadeira, que estão dispostas lado a lado e o bebê sentará no colo de um dos adultos. O número de maneiras distintas de dispor
essas 9 pessoas para a foto é
a)8 8!
b)9!
c) 9 8^8
d) 89
e) 98
13) (IFSUL 2017) O número de anagramas distintos que podemos formar com o termo DIREITO é a) 5040 b) 2520 c) 720 d) 120 e) 7 14) (UERJ 2011) Uma rede é formada de triângulos equilá- teros congruentes, conforme a representação abaixo. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 e) 40 15) (UFU 2017) Para realizar uma venda, uma loja virtual solicita de seus clientes o cadastramento de uma senha pessoal que permitirá acompanhar a entrega de sua compra. Essa senha anteriormente era composta por quatro algarismos e uma letra (minúscula), sem quais- quer restrições de posicionamentos entre letra e alga- rismos. Com o grande aumento no número de vendas, houve a necessidade de ampliação no número de se- nhas, as quais passaram a ser compostas por cinco al- garismos e uma letra (minúscula). Sabe-se que existem
26 letras no alfabeto e 10 algarismos disponíveis.
Se denotarmos por Ne M,respectivamente, o número total
de senhas possíveis, antes e após a mudança, então, a rela-
ção entre Ne Mé dada por:
a) M = 10 N b) M =5!N c)M =6!N
d) M = 12 N e)M = 26 N
16) (FATEC 2016) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab , o direto , o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do
Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 gol-
pes, empregando necessariamente dois jabs , dois dire- tos , um cruzado e um gancho. Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será de
a)180.
b)160.
c)140.
d)120.
e)100.
23) (UERJ 2012) A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. País Descrição Exemplo de placa X 3 letras e 3 algarismos, em qualquer ordem Y um bloco de 3 letras, em qualquer ordem, à esquerda de outro bloco de 4 algarismos, também em qualquer ordem Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p. A
n
p
razão corresponde a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 9 24) (UFPB 2011) A prefeitura de certo município solicitou ao Governo Federal uma verba para a execução das se- guintes obras:
- saneamento básico;
- calçamento de ruas;
- construção de uma escola;
- construção de uma creche;
- construção de casas populares. O Governo Federal aprovou a concessão da verba solicitada, na condição de que fosse estabelecida uma ordem na execu- ção das obras, de modo que, tendo sido liberada a verba para a primeira obra, a verba para a segunda só seria liberada após a conclusão da primeira, e assim sucessivamente até a execução da última obra. Nesse contexto, considere o plane- jamento feito pela prefeitura:
- a primeira obra escolhida foi a construção das casas popula- res;
- o calçamento das ruas só poderá ser executado com o sa- neamento básico concluído. Atendendo às condições estabelecidas pelo Governo Federal e ao planejamento da prefeitura, é correto afirmar que o nú- mero de maneiras possíveis e distintas para a realização dessas 5 obras é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 25) Um grupo de 12 ativistas políticos pretendem fazer uma homenagem à Revolução Francesa. Para isso, 4 deles vestiram camisas com a cor azul, outros 4 vestiram ca- misas com a cor branca e os últimos 4 vestiram camisas com a cor vermelha, em referência às cores da bandeira da França. Em determinada parte da homenagem, os 12 ativistas irão dar as mãos formando um círculo e, para causar um impacto visual, necessitam que as pessoas que possuem camisas com a mesma cor fiquem juntas na formação. A quantidade de maneiras que eles podem formar esse cír- culo é igual a a) ( ) 3
b) 12! c)( ) 4 4! d)( ) 3 4! e) ( )
.^3
EXERCÍCIOS ENEM
01) (ENEM 2016) Para cadastrar-se em um site, uma pes- soa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiús- culas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o al- fabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por
a) 102 262
b) 102 522
c)^2
d)^2
e)^2
02) (ENEM 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algaris- mos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é a) 24. b) 31. c) 32. d) 88. e) 89. LINKS PARA AS VÍDEO AULAS https://bityli.com/BLp2r
GABARITO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) C 02) D 03) D
04) E 05) E 06) D
07) D 08) E 09) D
10) D 11) A 12) A
13) B 14) B 15) D
16) A 17) E 18) A
19) E 20) E 21) C
22) D 23) B 24) C
25) E
EXERCÍCIOS ENEM
01) E 02) E
