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vestibular
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Dicas elaboradas
pelo professor Tupy do
Sistema de Ensino Energia.
Combinações simples são agrupamentos sem repetição e que se distinguem pelo
tamanho ou pela natureza de seus elementos.
Considere n elementos diferentes, n N*.
Para calcularmos o total de combinações simples de p elementos (p N*, p n),
utilizamos a expressão:
Permutações são agrupamentos sem repetição e que se distinguem pelo
tamanho ou pela ordem de seus elementos.
Considere n elementos distintos, n N*.
Para calcularmos o total de permutações simples de n elementos, usamos a
expressão:
Para (a + b) , em que n é um expoente natural diferente de zero, temos:
A expressão acima equivale a:
Termo geral: Número binomial:
n
Considere n elementos quaisquer, n N.
Suponha que, entre eles, um elemento compareça α vezes; outro, β
vezes; outro, δ vezes; e assim listamos todos os elementos repetidos.
Para calcularmos o número de permutações possíveis dos n elementos,
utilizamos:
Probabilidade é um número que estima a chance de um evento de interesse ocorrer. Dado
um experimento aleatório em que n(E) indica o número de elementos do espaço amostral E,
e n(A) o número de elementos de um evento A, definimos a probabilidade de ocorrer o
evento A pelo quociente:
Na prática, calculamos a probabilidade de um evento ocorrer dividindo o número de
resultados de interesse pelo número de resultados possíveis.
Cada possível ordem dos 6 caracteres é uma permutação com repetição:
Há 60 diferentes maneiras de se ordenar os 6 caracteres dados.
No lançamento de 2 dados há 36 resultados possíveis. Entre eles, há 9 resultados de interesse:
A chance de ocorrer 2 números primos no lançamento de 2 dados é de 25%.
Cada possível ordem de largada é uma permutação simples dos 10 pilotos.
. . . . . . . . .
P = 10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 3.628.800
10
Há 3.628.800 diferentes maneiras de se ordenar 10 pilotos num grid de largada.
Cada sorteio de 6 números é uma combinação possível:
São possíveis 50.063.860 resultados no sorteio da Mega-Sena.
Combinação simples Permutação simples
Binômio de Newton
Permutação com repetição
Probabilidade
Exemplo de aplicação:
Número de maneiras de se ordenar os caracteres 1, 5, 5, A, A, A de uma SENHA.
Exemplo de aplicação:
Probabilidade de ocorrer 2 números primos no lançamento de 2 dados.
Espaço amostral:
Exemplo de aplicação:
Grid de largada numa corrida com 10 pilotos.
Exemplo de aplicação:
Número de resultados possíveis no sorteio da Mega-Sena
Análise Combinatória (parte 2)
n!
p! (n – p)!
C =
p
n
( ) ( ) ( ) ( )
n
(a + b) = a +
n n–1 1 n–2 2 n
. .
a b + a b + ... + b
n
0
n
1
n
2
n
n
6!
2! 3!
P = = 60
2,3
6
n!
α! β! δ!...
P =
α, β, δ,...
n
60!
6! 54!
C = = 50.063.860
6
60
n!
p! (n – p)!
C =
n, p
ou P = n!
n
n(A)
n(E)
P(A) =
número de resultados de interesse
número de resultados possíveis
P =
9
36
1
4
P = = = 0,25
111111
222222
333333
444444
555555
666666
123456
123456
123456
123456
123456
123456
( )
n
(a + b) = an–p p
. . b
n
0
Σ
n
p = 0
( )
T = a
p+1
n–p p
. . b
n
p
n
p
( )
n!
p! (n – p)!
=